50.1 ตัวแปรสุ่มและการแจกแจง
โยนเหรียญสามครั้ง ผลเป็นลำดับหัวก้อย แต่ถ้าเราสนใจจำนวนหัว เราเปลี่ยนผลแต่ละลำดับให้เป็นตัวเลข ตัวแปรสุ่มทำหน้าที่เชื่อมการทดลองกับตัวเลขนี้
ในบทที่ 44 เราถามทีละคำถาม เช่น โอกาสได้หัวสองครั้งเท่าไร โอกาสได้หัวอย่างน้อยหนึ่งครั้งเท่าไร แต่ละคำถามต้องกลับไปนับปริภูมิตัวอย่างใหม่ ถ้าเราจัดทำตารางไว้ครั้งเดียวว่าจำนวนหัวแต่ละค่ามีโอกาสเท่าไร ทุกคำถามจะตอบได้จากตารางนี้ทันที และในหน้า 50.2 เราจะใช้ตารางเดียวกันหาค่าเฉลี่ยระยะยาวด้วย ตารางนั้นคือสิ่งที่หน้านี้เรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็น
ไม่ต่อเนื่องกับต่อเนื่อง
นิยาม
ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างไปจำนวนจริง ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องมีค่าที่เป็นไปได้จำกัดหรือนับได้ ส่วนตัวแปรสุ่มต่อเนื่องใช้ความหนาแน่นบรรยายโอกาสบนช่วง
นิยมเขียนตัวแปรสุ่มด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น และเขียนค่าที่มันเป็นได้ด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น ข้อความ จึงหมายถึงเหตุการณ์ที่ผลการทดลองทำให้ มีค่าเป็น ซึ่งเป็นเซตย่อยของปริภูมิตัวอย่างเหมือนเหตุการณ์ในบทที่ 44 ทุกประการ
วิธีแยกสองชนิดให้ถามว่าค่าของตัวแปรได้มาจากการนับหรือการวัด ถ้านับ เช่น จำนวนนักเรียนที่มาสายในเช้าวันหนึ่ง จำนวนข้อที่ตอบถูก จำนวนครั้งที่โยนเหรียญจนกว่าจะได้หัว ค่าที่เป็นไปได้เรียงเป็นรายการได้ จึงเป็นตัวแปรไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างสุดท้ายนับได้ไม่จำกัด แต่ยังไล่เป็น ได้ จึงยังเป็นไม่ต่อเนื่อง ถ้าวัด เช่น เวลาที่ใช้เดินทางมาโรงเรียน ส่วนสูง น้ำหนักกระเป๋า ระหว่างสองค่าใดก็ยังมีค่าอื่นแทรกได้เสมอ จึงเป็นตัวแปรต่อเนื่อง
สำหรับไม่ต่อเนื่อง ต้องไม่ติดลบและรวมทุกค่าได้หนึ่ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คำนวณโดยรวมค่า ที่เข้าเงื่อนไข ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องกลับใช้พื้นที่บนช่วง และที่จุดเดี่ยวมีความน่าจะเป็นศูนย์ แม้ค่านั้นจะเป็นผลที่เป็นไปได้
สร้างตารางจากผลพื้นฐาน
เขียนผลลัพธ์การทดลองก่อน แล้วรวมผลที่ให้ค่า เดียวกัน จึงไม่แจกโอกาสเท่ากันให้ค่าของ โดยอาศัยเพียงจำนวนค่าที่เห็น
กลับไปที่เหรียญสามครั้งตอนต้นหน้า ปริภูมิตัวอย่างมี ลำดับที่มีโอกาสเท่ากัน ให้ เป็นจำนวนหัว แล้วจับกลุ่มลำดับตามค่าของ
| ค่าของ | ลำดับที่ให้ค่านี้ | |
|---|---|---|
| TTT | ||
| HTT, THT, TTH | ||
| HHT, HTH, THH | ||
| HHH |
จำนวนลำดับในแต่ละแถวคือการเลือกตำแหน่งที่ออกหัวจากสามตำแหน่ง ซึ่งเป็นการจัดหมู่จากบทที่ 43 เรื่องนี้จะกลับมาเป็นสูตรทวินามในหน้า 50.3
ตัวอย่าง 1
โยนเหรียญยุติธรรมสองครั้ง ให้ เป็นจำนวนหัว สร้างการแจกแจง
- เขียนปริภูมิตัวอย่างก่อน ได้ HH HT TH TT สี่ลำดับ แต่ละลำดับมีโอกาส เพราะเหรียญยุติธรรมและการโยนแต่ละครั้งไม่ขึ้นต่อกัน
- ลำดับ TT ให้ ลำดับ HT,TH ให้ และ HH ให้
- จึงได้โอกาส ตามลำดับ รวมหนึ่ง ค่า มีโอกาสมากที่สุด เพราะมีสองลำดับให้ค่านี้
ตัวอย่าง 2
ตารางให้ มีโอกาส หา และ
- ตารางที่ใช้ได้ต้องรวมหนึ่ง จึงได้ ตรวจด้วยว่า ไม่ติดลบ ถ้าได้ค่าติดลบแปลว่าตารางที่โจทย์ให้มาใช้ไม่ได้
- คือ หรือ ซึ่งเกิดพร้อมกันไม่ได้ จึงบวกกันตรงๆ
- ตรวจอีกทางด้วยส่วนเติมเต็ม ตรงกัน
ลองคิดก่อน
ทอดลูกเต๋าสองลูกแล้วให้ เป็นผลรวมแต้ม ผลรวมเป็นได้ ถึง รวม ค่า เพื่อนจึงตอบว่าแต่ละค่ามีโอกาส ถูกไหม
ดูคำตอบ
ไม่ถูก ผลพื้นฐานที่มีโอกาสเท่ากันคือคู่แต้ม คู่จากตารางหกคูณหกในบทที่ 44 ไม่ใช่ค่าผลรวม ค่า ผลรวม เกิดได้จากคู่ คู่เดียว จึงมีโอกาส ส่วนผลรวม เกิดได้หกคู่ จึงมีโอกาส นับคู่ก่อนแล้วค่อยรวมตามค่าของ ทุกครั้ง
ลองคิดก่อน
ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรต่อเนื่องเท่ากับค่าหนึ่งเป็นศูนย์ แปลว่าค่านั้นเป็นไปไม่ได้หรือไม่
ดูคำตอบ
ไม่ใช่ จุดเดี่ยวไม่มีความกว้างจึงไม่มีพื้นที่ใต้โค้ง แต่ผลการวัดยังเป็นค่าหนึ่งในช่วงได้ ต้องแยกโอกาสศูนย์ของจุดออกจากเหตุการณ์ว่าง
การแจกแจงเอกรูป
ลูกเต๋าที่เที่ยงตรงมีหกหน้า แต่ละหน้ามีโอกาสเท่ากัน ครูที่จับสลากเลขที่ ถึง เพื่อเรียกนักเรียนตอบคำถาม ก็ให้ทุกเลขที่มีโอกาสเท่ากัน โปรแกรมสุ่มเลข ถึง ในโทรศัพท์ก็เช่นกัน ทั้งสามสถานการณ์มีการแจกแจงแบบเดียวกันที่เรียกว่าเอกรูป
การแจกแจงเอกรูป
ตัวแปรสุ่ม ที่มีค่าที่เป็นไปได้ ค่า คือ มีการแจกแจงเอกรูปเมื่อ ทุกค่า
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ ในการแจกแจงเอกรูปจึงเท่ากับจำนวนค่าที่เข้าเงื่อนไขหารด้วย คือสูตรโอกาสเท่ากันของบทที่ 44 นั่นเอง สิ่งที่ต้องระวังคือคำว่าเอกรูปพูดถึงค่าของ ไม่ใช่ผลของการทดลอง ผลรวมแต้มลูกเต๋าสองลูกในกล่องลองคิดก่อนข้างบนมาจากการทดลองที่ผลพื้นฐานมีโอกาสเท่ากัน แต่ค่าของ มีโอกาสไม่เท่ากัน จึงไม่ใช่เอกรูป
ตัวอย่าง 3
ครูจับสลากเลขที่ ถึง หนึ่งใบ ให้ เป็นเลขที่ที่ได้ หา และโอกาสที่เลขที่หารด้วย ลงตัว
- ทุกเลขที่มีโอกาส เท่ากัน จึงมีการแจกแจงเอกรูปบน
- ค่าที่ไม่เกิน มี ค่า จึงได้
- เลขที่หารด้วย ลงตัวคือ นับได้ ค่า ไม่ใช่ เพราะต้องนับเฉพาะพหุคูณที่ไม่เกิน
- โอกาสจึงเป็น
ตัวอย่าง 4
แอปสุ่มเลขจำนวนเต็ม ถึง โดยทุกเลขมีโอกาสเท่ากัน ถ้าโอกาสได้เลขไม่เกิน เท่ากับ หา แล้วหาโอกาสได้เลขมากกว่า
- ค่าที่ไม่เกิน มีห้าค่า แต่ละค่ามีโอกาส จึงได้ ข้อนี้ใช้ได้เมื่อ
- ตั้ง ได้
- ค่าที่มากกว่า คือ ถึง มีห้าค่า โอกาสจึงเป็น เท่ากับฝั่งเลขน้อย เพราะการแจกแจงเอกรูปไม่เอียงไปทางใด
แนวคิดเดียวกันใช้กับค่าต่อเนื่องได้ เช่น รถประจำทางมาทุก นาที และเราเดินถึงป้ายในเวลาสุ่ม ให้ เป็นเวลารอ อยู่ระหว่าง ถึง นาที และช่วงย่อยที่ยาวเท่ากันมีโอกาสเท่ากัน ความหนาแน่นจึงเป็นเส้นแนวนอนสูง และความน่าจะเป็นของช่วงคือพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า เท่ากับความยาวช่วงหารด้วย นี่คือการแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง
ตัวอย่าง 5
จากรถประจำทางข้างบน หาโอกาสรอไม่เกิน นาที และโอกาสรอระหว่าง ถึง นาที
- รอไม่เกิน นาทีคือช่วง ถึง ยาว นาที พื้นที่เท่ากับ
- รอระหว่าง ถึง นาทียาว นาที พื้นที่เท่ากับ
- จะรวมหรือไม่รวมจุดปลาย กับ ก็ได้ค่าเดิม เพราะจุดเดี่ยวไม่มีความกว้าง
เหตุการณ์สะสมจากตาราง
ฟังก์ชันแจกแจงสะสม ช่วยตอบคำถามไม่เกินค่าหนึ่ง สำหรับตัวแปรไม่ต่อเนื่องกราฟจะกระโดดที่ค่าที่มีโอกาสบวก และคงที่ระหว่างค่านั้น ความต่างระหว่างน้อยกว่ากับไม่เกินมีผลเมื่อจุดปลายมีโอกาสบวก จึงไม่ตัดเครื่องหมายเท่ากับออกเหมือนกรณีต่อเนื่อง
ถ้าทำตารางสะสมของจำนวนหัวจากเหรียญสามครั้ง จะได้ และ แต่ละค่าคือค่าก่อนหน้าบวกโอกาสของค่าใหม่ ค่าสุดท้ายต้องเป็นหนึ่งเสมอ ใช้ตรวจตารางได้
ตัวอย่าง 6
ให้ มีโอกาส หา และ
- น้อยกว่าหนึ่งรวมเฉพาะ ได้
- ไม่เกินหนึ่งรวม ได้
- ความต่างเท่ากับ ซึ่งไม่เป็นศูนย์
ตรวจวิธีคิด
เขียนค่าที่เข้าเงื่อนไขก่อนรวมความน่าจะเป็นช่วยป้องกันพลาดจุดปลาย และถ้าตัวแปรเป็นต่อเนื่องจุดปลายมีโอกาสศูนย์จึงไม่เปลี่ยนผล ต่างจากตัวอย่างตารางนี้
สรุป
- ตัวแปรสุ่มกำหนดค่าจากผลทดลอง
- ค่าที่ได้จากการนับเป็นไม่ต่อเนื่อง ค่าที่ได้จากการวัดเป็นต่อเนื่อง
- การแจกแจงไม่ต่อเนื่องต้องไม่ติดลบและรวมหนึ่ง สร้างตารางจากผลพื้นฐานที่มีโอกาสเท่ากันก่อนรวมตามค่าของ
- การแจกแจงเอกรูปให้ทุกค่าของ มีโอกาส เท่ากัน
- ต่อเนื่องใช้พื้นที่ช่วงแทนการบวกโอกาสรายจุด
- หน้าถัดไปใช้ตารางการแจกแจงหาค่าเฉลี่ยระยะยาว เพื่อตอบว่าเกมหนึ่งคุ้มที่จะเล่นหรือไม่