29.5 รูปทรงคล้ายและระดับน้ำในกรวย

กรวยที่วางยอดลงเติมน้ำถึงครึ่งความสูง ปริมาตรน้ำเป็นครึ่งความจุหรือไม่ ลองนึกถึงหน้าตัดใกล้ยอดที่แคบกว่าปากกรวย น้ำจึงไม่ได้เพิ่มเป็นสัดส่วนตรงกับความสูง

ความยาว พื้นที่ และปริมาตร

รูปทรงที่คล้ายกันมีความยาวสมนัยคูณด้วยตัวคูณเดียวกัน k พื้นที่คูณ $k^2$ และปริมาตรคูณ $k^3$ อธิบายได้จากการแทน $kr$ กับ $kh$ ลงในสูตร เช่นกรวยได้ $\frac13\pi(kr)^2(kh)=k^3V$ ต้องขยายทุกความยาวด้วย k ไม่ใช่เปลี่ยนความสูงอย่างเดียว

ตัวอย่าง 1

กรวยเล็กกับกรวยใหญ่คล้ายกัน ความสูง 4 และ 12 เซนติเมตร ถ้ากรวยเล็กจุ 20 ลูกบาศก์เซนติเมตร กรวยใหญ่จุเท่าไร

ตัวคูณความยาวจากเล็กไปใหญ่ $k=12/4=3$
ตัวคูณปริมาตร $3^3=27$
กรวยใหญ่จุ $20(27)=540$ ลูกบาศก์เซนติเมตร

น้ำในกรวยที่ยอดอยู่ล่าง

ผิวน้ำเป็นวงกลมที่ขนานฐาน กรวยน้ำกับกรวยภาชนะจึงคล้ายกัน เมื่อความลึกเป็นสัดส่วน k ของความสูง รัศมีผิวน้ำก็เป็น k ของรัศมีปากกรวย ใช้ได้เมื่อภาชนะเป็นกรวยยอดแหลมจริงและวางแกนตั้งฉากกับพื้น

ตัวอย่าง 2

ภาชนะกรวยสูง 18 เซนติเมตร รัศมีปาก 6 เซนติเมตร ใส่น้ำลึก 9 เซนติเมตร ปริมาตรน้ำเท่าใด

สัดส่วนความลึก $k=9/18=1/2$ รัศมีผิวน้ำจึง $6(1/2)=3$
ปริมาตรน้ำ $\frac13\pi(3^2)(9)=27\pi$ ลูกบาศก์เซนติเมตร
ความจุเต็ม $\frac13\pi(6^2)(18)=216\pi$ น้ำจึงมีเพียง $1/8$ ของความจุ ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง

ส่วนที่เหลือหาโดยลบ

ตัวอย่าง 3

กรวยเดิมจากตัวอย่างก่อนมีน้ำลึก 12 เซนติเมตร ต้องเติมน้ำอีกเท่าไรจึงเต็ม

$k=12/18=2/3$ รัศมีน้ำ $6(2/3)=4$
น้ำที่มี $\frac13\pi(4^2)(12)=64\pi$
ส่วนที่ต้องเติม $216\pi-64\pi=152\pi$ ลูกบาศก์เซนติเมตร ส่วนว่างเป็นกรวยตัด จึงใช้ผลต่างสะดวกกว่าหาสูตรใหม่

ลองคิดก่อน

ถ้ารัศมีกรวยเท่าเดิมแต่เพิ่มความสูงสองเท่า ปริมาตรจะเพิ่มแปดเท่าหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่เพิ่มแปดเท่า เพราะไม่ได้ขยายทุกด้าน จึงไม่ใช่กรวยคล้ายกัน สูตร $\frac13\pi r^2h$ มี h เพียงกำลังหนึ่ง เมื่อ r คงเดิมและ h เป็นสองเท่า ปริมาตรจึงเป็นสองเท่าเท่านั้น

สรุป

ใช้ $k^3$ กับปริมาตรเมื่อรูปทรงคล้ายและความยาวทุกส่วนคูณ k
น้ำในกรวยยอดล่างมีรัศมีเปลี่ยนตามความลึก
ปริมาตรส่วนว่างหาได้จากความจุเต็มลบปริมาตรที่มี