15.3 การคูณพหุนาม

สนามหญ้าหน้าโรงเรียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ $x$ เมตร โรงเรียนจะขยายด้านหนึ่งออกไปอีก $4$ เมตร และอีกด้านหนึ่งอีก $2$ เมตร สนามใหม่มีพื้นที่ $(x + 4)(x + 2)$ ตารางเมตร แล้วพื้นที่เพิ่มขึ้นจากเดิมเท่าไร

จะตอบคำถามนี้ได้ต้องคูณพหุนามสองตัวให้ออกมาเป็นพหุนามตัวเดียว หน้านี้เริ่มจากการคูณที่ง่ายที่สุดก่อน

เอกนามคูณเอกนาม

การคูณสลับที่และจัดกลุ่มได้ จึงแยกตัวเลขไปคูณกับตัวเลข ตัวแปรไปคูณกับตัวแปรตัวเดียวกัน แล้วใช้สมบัติของเลขยกกำลังจากบทที่ 14

a^m \times a^n = a^{m+n}

ตัวอย่าง 1

หาผลคูณ

(1) $(3x^2)(4x^5)$ (2) $(-2a^3b)(5ab^4)$ (3) $(-3x^2y)^2$

$(3x^2)(4x^5) = (3 \times 4)(x^2 \times x^5) = 12x^{2+5} = 12x^7$
$(-2a^3b)(5ab^4) = (-2 \times 5)(a^3 \times a)(b \times b^4) = -10a^4b^5$ ตัวแปรที่ไม่เขียนเลขชี้กำลัง เช่น $a$ คือ $a^1$
$(-3x^2y)^2 = (-3x^2y)(-3x^2y) = 9x^4y^2$ ลบคูณลบได้บวก

ลองคิดก่อน

$(2x^3)(3x^4)$ เท่ากับเท่าไร มีคนตอบ $5x^7$ และมีคนตอบ $6x^{12}$ ใครถูก

ดูคำตอบ

ไม่มีใครถูก ตัวเลขต้องคูณกัน $2 \times 3 = 6$ ไม่ใช่บวกกัน ส่วนเลขชี้กำลังของ $x$ ตัวเดียวกันต้องบวกกัน $3 + 4 = 7$ ไม่ใช่คูณกัน คำตอบคือ $6x^7$ จำง่ายๆ ว่า $x^3 \times x^4$ คือ $x$ คูณกันสามตัวแล้วคูณต่ออีกสี่ตัว รวมเป็นเจ็ดตัว

เอกนามคูณพหุนาม

ดูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง $2x$ ยาว $3x + 5$ พื้นที่ทั้งรูปคือ $2x(3x + 5)$ แต่ถ้าแบ่งเป็นสองชิ้นตามรอยต่อ ชิ้นซ้ายมีพื้นที่ $2x \cdot 3x = 6x^2$ ชิ้นขวามีพื้นที่ $2x \cdot 5 = 10x$

พื้นที่ทั้งรูปเท่ากับผลบวกของสองชิ้น 2x(3x + 5) = 6x² + 10x

รูปนี้คือสมบัติการแจกแจง เอกนามข้างนอกวงเล็บต้องคูณกับทุกพจน์ในวงเล็บ

m(p + q + r) = mp + mq + mr

ตัวอย่าง 2

หา $-3x(2x^2 - 4x + 1)$

คูณ $-3x$ กับพจน์แรก $(-3x)(2x^2) = -6x^3$
คูณกับพจน์ที่สอง $(-3x)(-4x) = 12x^2$ ลบคูณลบได้บวก
คูณกับพจน์ที่สาม $(-3x)(1) = -3x$
ได้ $-6x^3 + 12x^2 - 3x$

คูณให้ครบทุกพจน์

ที่พลาดบ่อยคือคูณแค่พจน์แรกแล้วลอกพจน์ที่เหลือมาเฉยๆ เช่น เขียน $-3x(2x^2 - 4x + 1)$ เป็น $-6x^3 - 4x + 1$ หรือลืมว่าเครื่องหมายลบข้างหน้า $3x$ ต้องคูณเข้าไปทุกพจน์ด้วย

พหุนามคูณพหุนาม

กลับมาที่สนามหญ้า ลองเปลี่ยนตัวเลขเป็น $(x + a)(x + b)$ แล้วดูว่าพื้นที่ทั้งรูปแบ่งเป็นกี่ชิ้น

เลื่อน $x$ ไปหลายค่า พื้นที่ทั้งรูปกับผลรวมสี่ชิ้นเท่ากันทุกครั้ง แล้วลองดูว่าสองชิ้นสีเขียวรวมกันได้พจน์ไหน

ทุกครั้งได้สี่ชิ้น เพราะพจน์ $x$ กับ $a$ ของวงเล็บแรก แต่ละตัวต้องคูณกับพจน์ $x$ กับ $b$ ของวงเล็บหลัง ได้ $2 \times 2 = 4$ คู่

สมบัติ

คูณพหุนามกับพหุนาม ให้นำแต่ละพจน์ของพหุนามตัวแรกไปคูณกับทุกพจน์ของพหุนามตัวหลัง แล้วรวมพจน์ที่คล้ายกัน

(p + q)(r + s) = pr + ps + qr + qs

ตัวอย่าง 3

หา $(x + 5)(x - 2)$

$x$ คูณทุกพจน์ของวงเล็บหลัง $x \cdot x + x \cdot (-2) = x^2 - 2x$
$5$ คูณทุกพจน์ของวงเล็บหลัง $5 \cdot x + 5 \cdot (-2) = 5x - 10$
รวมกัน $x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10$

ตัวอย่าง 4

หา $(2x - 3)(3x + 4)$

คูณให้ครบสี่คู่ $(2x)(3x) + (2x)(4) + (-3)(3x) + (-3)(4)$
ได้ $6x^2 + 8x - 9x - 12$
รวมพจน์ $x$ ได้ $8x - 9x = -x$ คำตอบคือ $6x^2 - x - 12$

ถ้าวงเล็บหลังมีสามพจน์ ก็ต้องคูณ $2 \times 3 = 6$ คู่ นับคู่ก่อนรวม จะได้รู้ว่าลืมคู่ไหนไปหรือเปล่า

ตัวอย่าง 5

หา $(x + 2)(x^2 - 3x + 1)$

$x$ คูณสามพจน์ $x^3 - 3x^2 + x$
$2$ คูณสามพจน์ $2x^2 - 6x + 2$
รวมหกพจน์ $x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2$
รวมพจน์ที่คล้ายกัน $-3x^2 + 2x^2 = -x^2$ และ $x - 6x = -5x$ ได้ $x^3 - x^2 - 5x + 2$

ลองคิดก่อน

เพื่อนเขียนว่า $(x + 3)^2 = x^2 + 9$ เพราะยกกำลังสองทีละตัว เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก $(x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3)$ ต้องคูณครบสี่คู่ ได้ $x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$ ในกราฟข้างบน ตั้ง $a = 3$ และ $b = 3$ จะเห็นว่ารูปเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีชิ้นสีเขียว $3x$ สองชิ้นที่ $x^2 + 9$ ลืมไป ลองแทน $x = 1$ ก็ได้ $(1 + 3)^2 = 16$ แต่ $1 + 9 = 10$

กลับไปที่สนามหญ้า

ตัวอย่าง 6

สนามหญ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ $x$ เมตร ขยายด้านหนึ่งออกไป $4$ เมตร อีกด้านหนึ่ง $2$ เมตร พื้นที่เพิ่มขึ้นกี่ตารางเมตร ถ้าเดิมสนามยาวด้านละ $10$ เมตร พื้นที่เพิ่มขึ้นเท่าไร

พื้นที่ใหม่ $(x + 4)(x + 2) = x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$ ตารางเมตร
พื้นที่เดิม $x^2$ ตารางเมตร พื้นที่เพิ่มขึ้น $(x^2 + 6x + 8) - x^2 = 6x + 8$ ตารางเมตร
ถ้า $x = 10$ พื้นที่เพิ่มขึ้น $6(10) + 8 = 68$ ตารางเมตร ตรวจได้ สนามใหม่ $14 \times 12 = 168$ สนามเดิม $100$ ต่างกัน $68$

สรุป

เอกนามคูณเอกนาม ตัวเลขคูณตัวเลข ตัวแปรเดียวกันบวกเลขชี้กำลัง
เอกนามคูณพหุนาม คูณเข้าไปทุกพจน์ ระวังเครื่องหมายลบ
พหุนามคูณพหุนาม ทุกพจน์ของตัวแรกคูณกับทุกพจน์ของตัวหลัง สองพจน์คูณสองพจน์ได้สี่คู่ สองพจน์คูณสามพจน์ได้หกคู่ แล้วรวมพจน์ที่คล้ายกัน
$(x + 3)^2$ ไม่เท่ากับ $x^2 + 9$