23.1 สมการกำลังสองและการแยกตัวประกอบ

ห้องเรียนสั่งทำป้ายไวนิลรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไปติดที่อัฒจันทร์กีฬาสี ด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 2 เมตร และป้ายต้องมีพื้นที่ 24 ตารางเมตรพอดี ป้ายต้องกว้างกี่เมตร

ให้ป้ายกว้าง $x$ เมตร ด้านยาวคือ $x + 2$ เมตร พื้นที่คือกว้างคูณยาว จึงได้สมการ

x(x + 2) = 24

กระจายแล้วย้าย $24$ ไปข้างซ้าย ได้ $x^2 + 2x - 24 = 0$ สมการนี้มีพจน์ $x^2$ วิธีย้ายข้างแบบสมการเชิงเส้นตอน ม.1 จึงใช้ไม่ได้ หน้านี้จะแก้สมการแบบนี้ด้วยการแยกตัวประกอบที่เรียนมาในบทที่ 20

สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

นิยาม

สมการกำลังสองตัวแปรเดียวคือสมการที่จัดให้อยู่ในรูป

ax^2 + bx + c = 0

ได้ เมื่อ $x$ เป็นตัวแปร $a$ $b$ $c$ เป็นจำนวนจริง และ $a \neq 0$ รูปนี้เรียกว่ารูปทั่วไป

ค่าของ $x$ ที่แทนแล้วทำให้สมการเป็นจริง เรียกว่าคำตอบของสมการ หรือรากของสมการ เช่น แทน $x = 4$ ใน $x^2 + 2x - 24$ ได้ $16 + 8 - 24 = 0$ จึงเป็นคำตอบ ส่วน $x = 3$ ได้ $9 + 6 - 24 = -9$ ไม่เท่ากับศูนย์ จึงไม่ใช่คำตอบ

ตัวอย่าง 1

สมการใดเป็นสมการกำลังสอง ถ้าเป็น ให้เขียนในรูปทั่วไปและบอกค่า $a$ $b$ $c$

(1) $x^2 = 5x$ (2) $(x + 1)^2 = 2x + 10$ (3) $x(x - 3) = x^2 + 6$

$x^2 = 5x$ ย้าย $5x$ ไปข้างซ้ายได้ $x^2 - 5x = 0$ เป็นสมการกำลังสอง มี $a = 1$ $b = -5$ $c = 0$ ค่าคงตัวเป็นศูนย์ได้
$(x + 1)^2 = 2x + 10$ กระจายได้ $x^2 + 2x + 1 = 2x + 10$ ย้ายข้างได้ $x^2 - 9 = 0$ เป็นสมการกำลังสอง มี $a = 1$ $b = 0$ $c = -9$
$x(x - 3) = x^2 + 6$ กระจายได้ $x^2 - 3x = x^2 + 6$ ย้ายข้างแล้ว $x^2$ หักล้างกันหมด เหลือ $-3x - 6 = 0$ จึงไม่ใช่สมการกำลังสอง แต่เป็นสมการเชิงเส้น

ข้อ 3 สอนว่าเห็น $x^2$ ในโจทย์ยังตัดสินไม่ได้ ต้องจัดให้อยู่ในรูปทั่วไปก่อนเสมอ

ผลคูณเป็นศูนย์

ถ้าคูณสองจำนวนแล้วได้ $0$ จะบอกอะไรได้บ้าง ลองนึกว่าถ้าทั้งสองจำนวนไม่ใช่ศูนย์เลย ผลคูณก็ไม่มีทางเป็นศูนย์ ดังนั้นต้องมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นศูนย์

สมบัติ

ถ้า $A \times B = 0$ แล้ว $A = 0$ หรือ $B = 0$

สมบัตินี้คือกุญแจของหน้านี้ ถ้าเขียนข้างหนึ่งของสมการเป็นผลคูณ และอีกข้างเป็น $0$ ได้ จะแยกสมการกำลังสองออกเป็นสมการเชิงเส้นสองสมการ ซึ่งแก้ง่าย

ตัวอย่าง 2

กลับไปที่ป้ายไวนิล แก้สมการ $x^2 + 2x - 24 = 0$ แล้วบอกขนาดของป้าย

หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-24$ และบวกกันได้ $2$ คือ $6$ กับ $-4$ จึงได้ $(x + 6)(x - 4) = 0$
ผลคูณเป็นศูนย์ ได้ $x + 6 = 0$ หรือ $x - 4 = 0$ คือ $x = -6$ หรือ $x = 4$
$x$ คือความกว้างของป้าย ติดลบไม่ได้ จึงตัด $x = -6$ ทิ้ง
ป้ายกว้าง 4 เมตร ยาว $4 + 2 = 6$ เมตร ตรวจ $4 \times 6 = 24$ ตารางเมตร ตรงตามโจทย์

ในทางคณิตศาสตร์ สมการ $x^2 + 2x - 24 = 0$ มีคำตอบสองคำตอบคือ $-6$ กับ $4$ แต่ในโจทย์ปัญหาต้องเลือกเฉพาะคำตอบที่เป็นไปได้จริง เรื่องนี้จะทำอีกมากในหน้า 23.4

ขั้นตอนแก้ด้วยการแยกตัวประกอบ

ย้ายทุกพจน์ไปไว้ข้างเดียว ให้อีกข้างเป็น $0$
แยกตัวประกอบข้างที่ไม่เป็นศูนย์
ให้ตัวประกอบแต่ละตัวเป็นศูนย์ แล้วแก้ทีละสมการ
ตรวจคำตอบโดยแทนกลับในสมการเดิม

ตัวอย่าง 3

แก้สมการ (1) $x^2 - 7x + 12 = 0$ (2) $2x^2 + 5x - 3 = 0$ (3) $4x^2 - 9 = 0$

สองจำนวนที่คูณกันได้ $12$ บวกกันได้ $-7$ คือ $-3$ กับ $-4$ ได้ $(x - 3)(x - 4) = 0$ จึงได้ $x = 3$ หรือ $x = 4$
$a = 2$ ใช้การแยกพจน์กลาง หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $2 \times (-3) = -6$ บวกกันได้ $5$ คือ $6$ กับ $-1$
$2x^2 + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) - (x + 3) = (2x - 1)(x + 3) = 0$
$2x - 1 = 0$ ได้ $x = \tfrac{1}{2}$ หรือ $x + 3 = 0$ ได้ $x = -3$
$4x^2 - 9$ เป็นผลต่างของกำลังสอง $(2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3) = 0$ จึงได้ $x = \tfrac{3}{2}$ หรือ $x = -\tfrac{3}{2}$

ข้อ 2 ตรงขั้น $2x - 1 = 0$ ต้องย้าย $1$ แล้วหารด้วย $2$ อีกครั้ง คำตอบจึงเป็น $\tfrac{1}{2}$ ไม่ใช่ $1$ ถ้าไม่แน่ใจ ให้แทนกลับ $2\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\tfrac{1}{2}\right) - 3 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{2} - 3 = 0$

ลองคิดก่อน

นักเรียนคนหนึ่งแก้สมการ $x^2 = 6x$ โดยหารทั้งสองข้างด้วย $x$ ได้ $x = 6$ แล้วตอบว่าสมการนี้มีคำตอบเดียว ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ลองแทน $x = 0$ ได้ $0^2 = 6 \times 0$ คือ $0 = 0$ เป็นจริง $0$ จึงเป็นคำตอบด้วย แต่หายไปตอนหารด้วย $x$ เพราะการหารด้วย $x$ แอบสมมติว่า $x \neq 0$

วิธีที่ถูกคือย้ายข้าง $x^2 - 6x = 0$ ดึงตัวร่วม $x(x - 6) = 0$ จึงได้ $x = 0$ หรือ $x = 6$ จำไว้ว่าห้ามหารสมการด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร ให้ดึงตัวร่วมแทน

คำตอบซ้ำ

ตัวอย่าง 4

แก้สมการ $x^2 - 10x + 25 = 0$

$x^2 - 10x + 25$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เพราะ $25 = 5^2$ และ $10x = 2(x)(5)$ ได้ $(x - 5)^2 = 0$
$(x - 5)(x - 5) = 0$ ตัวประกอบทั้งสองตัวให้ $x = 5$ เหมือนกัน
สมการนี้มีคำตอบเดียวคือ $x = 5$

สมการกำลังสองบางสมการจึงมีคำตอบเดียว หน้า 23.3 จะมีวิธีดูล่วงหน้าว่าสมการไหนมีสองคำตอบ คำตอบเดียว หรือไม่มีคำตอบเลย

ลองคิดก่อน

แก้สมการ $(x + 1)(x + 2) = 6$ เพื่อนให้ $x + 1 = 6$ หรือ $x + 2 = 6$ แล้วได้ $x = 5$ หรือ $x = 4$ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก สมบัติผลคูณใช้ได้เฉพาะเมื่อผลคูณเท่ากับ $0$ ผลคูณเท่ากับ $6$ ไม่ได้บอกว่าตัวไหนเท่ากับ $6$ ลองแทน $x = 5$ ได้ $6 \times 7 = 42$ ไม่ใช่ $6$

ต้องย้ายข้างให้อีกข้างเป็นศูนย์ก่อน $x^2 + 3x + 2 - 6 = 0$ คือ $x^2 + 3x - 4 = 0$ แยกได้ $(x + 4)(x - 1) = 0$ จึงได้ $x = -4$ หรือ $x = 1$ ตรวจ $x = 1$ ได้ $2 \times 3 = 6$ และ $x = -4$ ได้ $(-3)(-2) = 6$ ถูกทั้งคู่

สรุป

สมการกำลังสองตัวแปรเดียวจัดได้ในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ โดย $a \neq 0$
ถ้า $A \times B = 0$ แล้ว $A = 0$ หรือ $B = 0$
ย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียวให้อีกข้างเป็นศูนย์ก่อน แล้วจึงแยกตัวประกอบ
ห้ามหารด้วยตัวแปร คำตอบ $x = 0$ จะหาย ให้ดึงตัวร่วมแทน
สมการกำลังสองมีได้สองคำตอบ หรือคำตอบเดียวเมื่อเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ในโจทย์ปัญหา ตัดคำตอบที่เป็นไปไม่ได้ เช่นความยาวติดลบ