5.1 รูปเรขาคณิตสามมิติ

เดินเข้าร้านสะดวกซื้อจะเจอรูปทรงหลายแบบในชั้นเดียว กล่องนมเป็นทรงเหลี่ยม กระป๋องน้ำอัดลมกลมยาว ไอศกรีมโคนแหลมด้านล่าง ลูกปิงปองกลมทุกทาง ของพวกนี้วาดลงกระดาษให้เหมือนจริงทั้งชิ้นไม่ได้ เพราะมันมีความหนา หน้านี้จะตั้งชื่อรูปทรงเหล่านี้ และหาวิธีนับส่วนต่างๆ ของมันให้เร็ว

รูปสองมิติกับรูปสามมิติ

รูปสองมิติ คือรูปที่วางราบอยู่บนแผ่นเรียบแผ่นเดียวได้ทั้งรูป มีแค่ความกว้างกับความยาว เช่น รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม วงกลม

รูปสามมิติ คือรูปที่มีความกว้าง ความยาว และความสูงหรือความหนา ไม่มีแผ่นเรียบแผ่นไหนที่บรรจุมันได้ทั้งรูป เช่น กล่อง กระป๋อง ลูกบอล

รูปสามมิติส่วนใหญ่ประกอบขึ้นจากรูปสองมิติ ผิวด้านนอกของกล่องนมคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหกแผ่นที่ต่อกัน ทั้งบทนี้จะสลับไปมาระหว่างสองแบบนี้ ดูรูปสามมิติแล้วหาว่ามีรูปสองมิติอะไรซ่อนอยู่

ปริซึม

ในบทนี้ใช้ปริซึมที่ตั้งตรง หน้าข้างทุกหน้าจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และเรียกชื่อปริซึมตามรูปของฐาน ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกปริซึมสามเหลี่ยม ฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยมเรียกปริซึมห้าเหลี่ยม

กล่องนมกับกล่องรองเท้าคือปริซึมสี่เหลี่ยมที่มุมทุกมุมเป็นมุมฉาก มีชื่อเฉพาะว่าทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ถ้าทุกด้านยาวเท่ากันหมดเหมือนลูกเต๋า เรียกว่าลูกบาศก์ ทั้งสองแบบยังเป็นปริซึมอยู่

พีระมิด

พีระมิดก็เรียกชื่อตามรูปของฐานเหมือนปริซึม ไม่ว่าฐานเป็นรูปอะไร หน้าข้างของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมเสมอ จึงใช้หน้าข้างบอกชื่อไม่ได้

ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม

สามรูปนี้มีผิวโค้ง จึงไม่ใช่ปริซึมหรือพีระมิด แต่จำง่ายถ้าเทียบกับสองแบบแรก

• ทรงกระบอก เหมือนปริซึมที่ฐานทั้งสองเป็นวงกลม เช่น กระป๋อง ท่อน้ำ
• กรวย เหมือนพีระมิดที่ฐานเป็นวงกลม เช่น กรวยจราจร โคนไอศกรีม
• ทรงกลม ทุกจุดบนผิวอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน เช่น ลูกปิงปอง ลูกแก้ว

หน้า ขอบ และจุดยอด

รูปสามมิติที่ผิวเป็นรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด เช่น ปริซึมกับพีระมิด มีส่วนที่นับได้สามอย่าง

• หน้า คือรูปหลายเหลี่ยมแต่ละแผ่นที่ห่อรูปทรงไว้
• ขอบ คือเส้นตรงที่หน้าสองหน้ามาบรรจบกัน
• จุดยอด คือจุดที่ขอบหลายเส้นมาพบกัน

นับทีละอันจากรูปวาดมักนับซ้ำหรือนับขาด เพราะมองไม่เห็นด้านหลัง ใช้เหตุผลจากรูปของฐานดีกว่า ให้ฐานเป็นรูป $n$ เหลี่ยม

ปริซึมมีฐานสองฐาน กับหน้าข้างอีก $n$ หน้า หน้าละหนึ่งด้านของฐาน รวม $n + 2$ หน้า ขอบมีอยู่บนฐานล่าง $n$ เส้น ฐานบน $n$ เส้น และขอบตั้งที่เชื่อมสองฐานอีก $n$ เส้น รวม $3n$ เส้น จุดยอดอยู่บนฐานล่าง $n$ จุด ฐานบน $n$ จุด รวม $2n$ จุด

พีระมิดมีฐานหนึ่งฐาน กับหน้าข้าง $n$ หน้า รวม $n + 1$ หน้า ขอบอยู่บนฐาน $n$ เส้น และขอบที่ลากจากมุมฐานขึ้นไปหายอดอีก $n$ เส้น รวม $2n$ เส้น จุดยอดคือมุมของฐาน $n$ จุด กับยอดอีกหนึ่งจุด รวม $n + 1$ จุด

ลองเทียบกับกล่องนม ซึ่งเป็นปริซึมสี่เหลี่ยม นับจากของจริงได้ 6 หน้า 12 ขอบ 8 มุม ตรงกับแถวที่สองของตารางปริซึม

สรุป

• ปริซึมมีฐานสองฐานที่เท่ากันและขนานกัน พีระมิดมีฐานเดียวกับยอดหนึ่งจุด ทั้งสองแบบเรียกชื่อตามรูปของฐาน
• ทรงกระบอก กรวย และทรงกลมมีผิวโค้ง ทรงกระบอกคล้ายปริซึมฐานวงกลม กรวยคล้ายพีระมิดฐานวงกลม
• ฐานเป็นรูป $n$ เหลี่ยม ปริซึมมี $n + 2$ หน้า $3n$ ขอบ $2n$ จุดยอด พีระมิดมี $n + 1$ หน้า $2n$ ขอบ $n + 1$ จุดยอด
• นับหน้าอย่าลืมฐาน