descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 44 ความน่าจะเป็นตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.4 บทที่ 4 และเพิ่มเติม ม.5 เล่ม 2 บทที่ 3พื้นฐานเพิ่มเติม

44.5 แบบฝึกหัด

ทำในกระดาษก่อน แล้วค่อยใส่คำตอบให้เว็บตรวจ ตอบผิดได้ไม่จำกัดครั้ง ติดจริงๆ ค่อยเปิดคำใบ้ทีละขั้น และเปิดวิธีทำหลังทำเสร็จแล้วเท่านั้น

ข้อ 1 ลูกเต๋า

ระดับง่าย

ทอยลูกเต๋ายุติธรรม โอกาสได้เลขมากกว่า 44 เท่าไร ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

คำใบ้ขั้นที่ 1

นับหน้าที่เป็นเลขห้าหรือหกจากหกหน้า

ดูวิธีทำ
  1. ลูกเต๋ายุติธรรมมีผลลัพธ์ S={1,2,3,4,5,6}S=\{1,2,3,4,5,6\} ทั้งหกหน้ามีโอกาสเท่ากัน จึงใช้ P(E)=n(E)/n(S)P(E)=n(E)/n(S) ได้
  2. เลขมากกว่า 44 คือ 55 กับ 66 ไม่รวม 44 เพราะ 44 ไม่มากกว่าตัวเอง ได้ E={5,6}E=\{5,6\} และ n(E)=2n(E)=2
  3. P(E)=26=13P(E)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}

ข้อ 2 โอกาสเท่ากัน

ระดับง่าย

ข้อใดมีผลลัพธ์พื้นฐานโอกาสเท่ากันตามเงื่อนไขที่ให้

คำตอบ

คำใบ้ขั้นที่ 1

ตรวจว่าชื่อผลลัพธ์แต่ละค่ามีน้ำหนักเท่ากันจริงหรือไม่

ดูวิธีทำ
  1. ลูกเต๋ายุติธรรมให้แต่ละหน้ามีโอกาสเท่ากัน ผลลัพธ์ 11 ถึง 66 จึงมีโอกาส 16\tfrac16 เท่ากันทุกตัว
  2. จำนวนหัวจากสองเหรียญมีสามค่า แต่หนึ่งหัวเกิดจาก HT และ TH สองผลลัพธ์ ส่วนศูนย์หัวกับสองหัวเกิดจากอย่างละผลลัพธ์ น้ำหนักจึงเป็น 1:2:11:2:1 ไม่เท่ากัน
  3. จำนวนคนขึ้นรถไม่มีเงื่อนไขใดรับรองว่าแต่ละค่ามีโอกาสเท่ากัน ช่วงเช้าเร่งด่วนอาจมีคนมากกว่าช่วงบ่ายมาก
  4. จึงตอบข้อลูกเต๋ายุติธรรม

ข้อ 3 ส่วนเติมเต็ม

ระดับง่าย

ถ้า P(A)=0.35P(A)=0.35 จงหา P(A′)P(A')

คำใบ้ขั้นที่ 1

เหตุการณ์กับส่วนเติมเต็มมีโอกาสรวมหนึ่ง

ดูวิธีทำ
  1. AA กับ A′A' ไม่เกิดร่วมกัน และรวมกันได้ SS พอดี จึงได้ P(A)+P(A′)=P(S)=1P(A)+P(A')=P(S)=1
  2. ย้ายข้างได้ P(A′)=1−P(A)=1−0.35=0.65P(A')=1-P(A)=1-0.35=0.65

ข้อ 4 หยิบไม่คืน

ระดับกลาง

มีแดง 44 น้ำเงิน 22 สุ่มหยิบสองลูกไม่คืน โอกาสแดงทั้งคู่เท่าไร ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

คำใบ้ขั้นที่ 1

นับคู่ทั้งหมดกับคู่แดงด้วยการจัดหมู่เหมือนกัน

ดูวิธีทำ
  1. ไม่สนลำดับ นับคู่ทั้งหมดด้วยการจัดหมู่ (62)=15\binom62=15 คู่
  2. คู่แดงทั้งคู่เลือกสองลูกจากแดงสี่ลูก (42)=6\binom42=6 คู่
  3. โอกาส 615=25\tfrac{6}{15}=\tfrac25
  4. ตรวจด้วยการหยิบทีละลูก ครั้งแรกแดง 46\tfrac46 ครั้งที่สองเหลือแดง 33 จาก 55 ได้ 46⋅35=1230=25\tfrac46\cdot\tfrac35=\tfrac{12}{30}=\tfrac25 ตรงกัน

ข้อ 5 อิสระกับไม่เกิดร่วม

ระดับง่าย เฉพาะสายเพิ่มเติม

อธิบายว่าทำไมเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันและแต่ละเหตุการณ์มีโอกาสบวกจึงไม่เป็นอิสระ

คำใบ้ขั้นที่ 1

เทียบโอกาสส่วนร่วมกับผลคูณโอกาสแต่ละเหตุการณ์

ดูเฉลยและเกณฑ์ตรวจ
  1. ไม่เกิดร่วมกันแปลว่า A∩B=∅A\cap B=\varnothing จึงได้ P(A∩B)=0P(A\cap B)=0
  2. โจทย์ให้ P(A)>0P(A)>0 และ P(B)>0P(B)>0 ผลคูณ P(A)P(B)P(A)P(B) จึงมากกว่าศูนย์
  3. นิยามของความเป็นอิสระต้องการ P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B) แต่ข้างซ้ายเป็นศูนย์ ข้างขวาเป็นบวก จึงไม่เท่ากัน
  4. อธิบายด้วยเงื่อนไขก็ได้ เมื่อรู้ว่า BB เกิด AA เกิดไม่ได้อีก P(A∣B)=0P(A\mid B)=0 ไม่เท่ากับ P(A)P(A) การรู้ข้อมูลเปลี่ยนโอกาส จึงไม่เป็นอิสระ เช่นทอยลูกเต๋าได้หนึ่งกับได้สอง P=0P=0 แต่ 16⋅16=136\tfrac16\cdot\tfrac16=\tfrac1{36}

ข้อ 6 สลากงานห้อง

ระดับกลาง

กล่องมีสลาก 2020 ใบ เป็นรางวัล 33 ใบ สุ่มหยิบหนึ่งใบ โอกาสไม่ได้รางวัลเท่าไร ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

คำใบ้ขั้นที่ 1

นับจำนวนสลากที่ไม่ใช่รางวัล

ดูวิธีทำ
  1. สลากทุกใบมีโอกาสถูกหยิบเท่ากัน ผลลัพธ์ทั้งหมด 2020 แบบ
  2. ให้ EE เป็นได้รางวัล P(E)=320P(E)=\tfrac{3}{20}
  3. ไม่ได้รางวัลคือ E′E' ได้ P(E′)=1−320=1720P(E')=1-\tfrac{3}{20}=\tfrac{17}{20}
  4. ตรวจด้วยการนับตรง สลากที่ไม่ใช่รางวัลมี 20−3=1720-3=17 ใบ ได้ 1720\tfrac{17}{20} ตรงกัน

ข้อ 7 รถสองเที่ยว

ระดับกลาง เฉพาะสายเพิ่มเติม

แบบจำลองกำหนดให้รถสองเที่ยวมาสายเป็นอิสระ แต่ละเที่ยวมีโอกาส 1/51/5 โอกาสมีอย่างน้อยหนึ่งเที่ยวมาสายเท่าไร ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

คำใบ้ขั้นที่ 1

หาโอกาสรถทั้งสองเที่ยวไม่สายแล้วใช้ส่วนเติมเต็ม

ดูวิธีทำ
  1. อย่างน้อยหนึ่งเที่ยวมาสาย ส่วนเติมเต็มคือไม่สายทั้งสองเที่ยว
  2. แต่ละเที่ยวไม่สายด้วยโอกาส 1−15=451-\tfrac15=\tfrac45
  3. สองเที่ยวเป็นอิสระกัน จึงคูณได้ ไม่สายทั้งสองเที่ยวมีโอกาส (45)2=1625\left(\tfrac45\right)^2=\tfrac{16}{25}
  4. ได้ 1−1625=9251-\tfrac{16}{25}=\tfrac{9}{25}
  5. ตรวจด้วยกฎการบวก 15+15−15⋅15=1025−125=925\tfrac15+\tfrac15-\tfrac15\cdot\tfrac15=\tfrac{10}{25}-\tfrac{1}{25}=\tfrac{9}{25} ตรงกัน

ข้อ 8 ข้อมูลชมรม

ระดับยาก เฉพาะสายเพิ่มเติม

ในนักเรียน 3030 คน มีผู้เล่นกีฬา 1212 คน ในกลุ่มนี้เล่นดนตรี 33 คน เมื่อรู้ว่าเล่นกีฬา โอกาสเล่นดนตรีเท่าไร ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

คำใบ้ขั้นที่ 1

กลุ่มอ้างอิงใหม่คือผู้เล่นกีฬาเท่านั้น

ดูวิธีทำ
  1. ให้ AA เป็นเล่นกีฬา BB เป็นเล่นดนตรี โจทย์ถาม P(B∣A)P(B\mid A)
  2. รู้แล้วว่าเล่นกีฬา คนที่ไม่เล่นกีฬาถูกตัดออก กลุ่มอ้างอิงเหลือ 1212 คน
  3. ในกลุ่มนั้นเล่นดนตรีด้วย 33 คน ได้ P(B∣A)=312=14P(B\mid A)=\tfrac{3}{12}=\tfrac14
  4. ตรวจด้วยสูตร P(B∣A)=P(A∩B)P(A)=3/3012/30=14P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{3/30}{12/30}=\tfrac14 ตรงกัน

ข้อ 9 ลูกอมรสเดียวกัน

ระดับกลาง

ถุงมีลูกอมรสส้ม 44 เม็ด รสมะนาว 22 เม็ด ขนาดและห่อเหมือนกัน สุ่มหยิบสองเม็ดพร้อมกัน โอกาสได้สองเม็ดรสเดียวกันเท่าไร ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

คำใบ้ขั้นที่ 1

สองลูกรสเดียวกันแยกเป็นส้มทั้งคู่กับมะนาวทั้งคู่

คำใบ้ขั้นที่ 2

นับทั้งเศษและส่วนด้วยการจัดหมู่

ดูวิธีทำ
  1. หยิบพร้อมกันไม่สนลำดับ คู่ทั้งหมดมี (62)=15\binom62=15 คู่
  2. รสเดียวกันมีสองกรณีที่ไม่เกิดร่วมกัน คือส้มทั้งคู่ (42)=6\binom42=6 คู่ และมะนาวทั้งคู่ (22)=1\binom22=1 คู่
  3. รวมได้ 6+1=76+1=7 คู่ โอกาส 715\tfrac{7}{15}
  4. ตรวจด้วยส่วนเติมเต็ม คู่ต่างรสมี 4×2=84\times2=8 คู่ และ 7+8=157+8=15 ครบพอดี

ข้อ 10 คัดกรองสายตา

ระดับยาก เฉพาะสายเพิ่มเติม

โรงเรียนหนึ่งมีนักเรียนสายตาสั้น 10%10\% แบบทดสอบคัดกรองสายตาบอกว่าสายตาสั้นได้ถูกต้อง 90%90\% ของคนที่สายตาสั้นจริง แต่ก็บอกว่าสายตาสั้นผิดๆ กับ 10%10\% ของคนที่สายตาปกติ สุ่มนักเรียนหนึ่งคนที่ผลคัดกรองบอกว่าสายตาสั้น โอกาสที่เขาสายตาสั้นจริงเท่าไร ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

คำใบ้ขั้นที่ 1

สมมตินักเรียน 1000 คน แล้วเติมตารางสายตาสั้นกับผลคัดกรอง

คำใบ้ขั้นที่ 2

ตัวส่วนคือทุกคนที่ผลคัดกรองบอกว่าสายตาสั้น ไม่ใช่ทุกคนที่สายตาสั้น

ดูวิธีทำ
  1. สมมตินักเรียน 10001000 คน สายตาสั้น 100100 คน สายตาปกติ 900900 คน
  2. ในคนสายตาสั้น ผลคัดกรองบอกว่าสั้น 90%90\% ของ 100100 คือ 9090 คน
  3. ในคนสายตาปกติ ผลคัดกรองบอกว่าสั้นผิดๆ 10%10\% ของ 900900 คือ 9090 คน
  4. รู้แล้วว่าผลบอกว่าสั้น กลุ่มอ้างอิงคือ 90+90=18090+90=180 คน ในนั้นสายตาสั้นจริง 9090 คน
  5. P(สั้นจริง∣ผลบอกว่าสั้น)=90180=12P(\text{สั้นจริง}\mid\text{ผลบอกว่าสั้น})=\tfrac{90}{180}=\tfrac12 แม้แบบทดสอบถูก 90%90\% เพราะคนสายตาปกติมีมากกว่าเก้าเท่า ผลผิดจากกลุ่มใหญ่จึงมีจำนวนเท่ากับผลถูกจากกลุ่มเล็ก