descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 11 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริงตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 1 บทที่ 2

11.3 รากที่สอง

ห้องสมุดโรงเรียนจะปูพรมรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสผืนหนึ่ง พื้นที่ 4949 ตารางเมตร พรมด้านละกี่เมตร ถ้าด้านยาว ss เมตร ต้องได้ s2=49s^2 = 49 คำตอบคือ 77 เพราะ 72=497^2 = 49

ตอน ม.1 เรารู้ ss แล้วหา s2s^2 คราวนี้กลับทาง รู้ผลยกกำลังสองแล้วหาจำนวนตั้งต้น งานย้อนกลับแบบนี้คือการหารากที่สอง

รากที่สองคืออะไร

นิยาม

ให้ aa เป็นจำนวนจริงบวกหรือศูนย์ รากที่สองของ aa คือจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ aa

นอกจาก 72=497^2 = 49 แล้ว ยังมี (−7)2=(−7)(−7)=49(-7)^2 = (-7)(-7) = 49 ด้วย รากที่สองของ 4949 จึงมีสองจำนวนคือ 77 และ −7-7 เขียนรวบเป็น ±7\pm 7 อ่านว่า บวกลบเจ็ด

  • จำนวนจริงบวกทุกจำนวนมีรากที่สองสองจำนวน เป็นบวกหนึ่งจำนวน ลบหนึ่งจำนวน ขนาดเท่ากัน
  • 00 มีรากที่สองจำนวนเดียวคือ 00
  • จำนวนจริงลบไม่มีรากที่สองที่เป็นจำนวนจริง เพราะจำนวนจริงใดยกกำลังสองก็ได้ค่าบวกหรือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ

เครื่องหมายกรณฑ์

รากที่สองที่เป็นบวกของ aa เขียนว่า a\sqrt{a} เครื่องหมาย a\sqrt{\phantom{a}} เรียกว่าเครื่องหมายกรณฑ์ ส่วนรากที่สองที่เป็นลบเขียนว่า −a-\sqrt{a}

49=7−49=−7\sqrt{49} = 7 \qquad -\sqrt{49} = -7

รากที่สองของ 49 กับ √49 ไม่เหมือนกัน

รากที่สองของ 4949 มีสองจำนวน คือ 77 และ −7-7 แต่ 49\sqrt{49} หมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกเท่านั้น จึงมีค่าเดียวคือ 77 เขียน 49=±7\sqrt{49} = \pm 7 ไม่ได้

ตัวอย่าง 1

หารากที่สองของ 6464 0.360.36 925\tfrac{9}{25} 00 และ −16-16

  1. 82=648^2 = 64 และ (−8)2=64(-8)^2 = 64 รากที่สองของ 6464 คือ 88 และ −8-8
  2. 0.62=0.360.6^2 = 0.36 รากที่สองของ 0.360.36 คือ 0.60.6 และ −0.6-0.6 ระวังอย่าตอบ 0.060.06 เพราะ 0.062=0.00360.06^2 = 0.0036
  3. (35)2=925\left(\tfrac{3}{5}\right)^2 = \tfrac{9}{25} รากที่สองของ 925\tfrac{9}{25} คือ 35\tfrac{3}{5} และ −35-\tfrac{3}{5}
  4. รากที่สองของ 00 คือ 00 จำนวนเดียว
  5. −16-16 ไม่มีรากที่สองที่เป็นจำนวนจริง 424^2 กับ (−4)2(-4)^2 ได้ 1616 ทั้งคู่ ไม่ได้ −16-16

ลองคิดก่อน

เพื่อนเขียนว่า −9=−3\sqrt{-9} = -3 เพราะ 3×3=93 \times 3 = 9 ใส่ลบเข้าไปก็น่าจะได้ −9-9 ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ตรวจรากที่สองให้ยกกำลังสองกลับ (−3)2=(−3)(−3)=9(-3)^2 = (-3)(-3) = 9 ไม่ใช่ −9-9 ลบคูณลบเป็นบวกเสมอ จำนวนจริงทุกจำนวนยกกำลังสองแล้วไม่ติดลบ −9\sqrt{-9} จึงไม่เป็นจำนวนจริง ส่วน −9-\sqrt{9} ที่เครื่องหมายลบอยู่นอกกรณฑ์ มีค่าเป็น −3-3 ได้ ตำแหน่งของเครื่องหมายลบสำคัญมาก

จำนวนกำลังสองที่ควรจำ

จำนวนที่เป็นกำลังสองของจำนวนเต็ม เช่น 11 44 99 1616 เรียกว่าจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ จำตั้งแต่ 11211^2 ถึง 20220^2 ไว้ด้วย จะหาค่าและประมาณค่ารากที่สองได้เร็วขึ้นมาก

nn11121314151617181920
n2n^2121144169196225256289324361400

หาค่า √a ด้วยการแยกตัวประกอบ

ถ้าตัวเลขใหญ่เกินตาราง ให้แยกตัวประกอบเฉพาะ แล้วจับตัวประกอบที่เหมือนกันเป็นคู่ จำนวนกำลังสองสมบูรณ์จะจับคู่ได้หมดพอดี เพราะ n2=n×nn^2 = n \times n ตัวประกอบทุกตัวของ nn จึงมาเป็นคู่

ตัวอย่าง 2

หาค่าของ 324\sqrt{324} และ 1764\sqrt{1764}

  1. 324=2×2×3×3×3×3324 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3
  2. จับเป็นสองชุดที่เหมือนกัน 324=(2×3×3)×(2×3×3)=18×18324 = (2 \times 3 \times 3) \times (2 \times 3 \times 3) = 18 \times 18 จึงได้ 324=18\sqrt{324} = 18
  3. 1764=2×2×3×3×7×7=(2×3×7)×(2×3×7)=42×421764 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 = (2 \times 3 \times 7) \times (2 \times 3 \times 7) = 42 \times 42
  4. จึงได้ 1764=42\sqrt{1764} = 42 ตอบแค่ค่าบวก เพราะโจทย์ใช้เครื่องหมายกรณฑ์

ถ้าแยกตัวประกอบแล้วมีตัวที่เหลือไม่มีคู่ จำนวนนั้นไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ เช่น 72=2×2×2×3×372 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 เลข 22 มีสามตัว จับคู่ได้หนึ่งคู่แล้วเหลือหนึ่งตัว 72\sqrt{72} จึงไม่ใช่จำนวนเต็ม และเป็นจำนวนอตรรกยะ หน้าถัดไปจะประมาณค่าจำนวนแบบนี้

ทศนิยมและเศษส่วน

ทศนิยมให้เปลี่ยนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วน 100100 1000010000 ก่อน แล้วหารากของตัวเศษกับตัวส่วนแยกกัน

ตัวอย่าง 3

หาค่าของ 0.0144\sqrt{0.0144} และ 196225\sqrt{\tfrac{196}{225}}

  1. 0.0144=144100000.0144 = \tfrac{144}{10000} และ 144=122144 = 12^2 10000=100210000 = 100^2
  2. จึงได้ 0.0144=12100=0.12\sqrt{0.0144} = \tfrac{12}{100} = 0.12 ตรวจ 0.122=0.01440.12^2 = 0.0144 ถูกต้อง
  3. 196=142196 = 14^2 และ 225=152225 = 15^2 จากตาราง จึงได้ 196225=1415\sqrt{\tfrac{196}{225}} = \tfrac{14}{15}

ลองคิดก่อน

0.9\sqrt{0.9} เท่ากับ 0.30.3 ใช่ไหม เพราะ 9=3\sqrt{9} = 3

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ ตรวจด้วยการยกกำลังสอง 0.32=0.090.3^2 = 0.09 ไม่ใช่ 0.90.9 ทศนิยมยกกำลังสองแล้วจำนวนตำแหน่งทศนิยมเพิ่มเป็นสองเท่า 0.09=0.3\sqrt{0.09} = 0.3 จึงถูก แต่ 0.9=901000.9 = \tfrac{90}{100} และ 9090 ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ 0.9\sqrt{0.9} จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ มีค่าประมาณ 0.950.95

ใช้รากที่สองตอบโจทย์

ตัวอย่าง 4

สนามหญ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสพื้นที่ 576576 ตารางเมตร ต้องการล้อมรั้วรอบสนาม ต้องใช้รั้วยาวกี่เมตร

  1. ให้ด้านยาว ss เมตร ได้ s2=576s^2 = 576 ความยาวต้องเป็นบวก จึงใช้ s=576s = \sqrt{576} ทิ้ง −576-\sqrt{576} ไป
  2. 576=26×32=(23×3)2=242576 = 2^6 \times 3^2 = (2^3 \times 3)^2 = 24^2 จึงได้ s=24s = 24 เมตร
  3. รั้วยาวเท่ากับความยาวรอบรูป 4×24=964 \times 24 = 96 เมตร

ขั้นสุดท้ายของตัวอย่างนี้คือจุดที่พลาดกันบ่อย หาได้ 2424 แล้วตอบเลย ทั้งที่โจทย์ถามความยาวรั้ว ไม่ได้ถามความยาวด้าน

สรุป

  • รากที่สองของ aa คือจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ aa จำนวนบวกมีสองค่า ±\pm ศูนย์มีค่าเดียว จำนวนลบไม่มีรากที่สองที่เป็นจำนวนจริง
  • a\sqrt{a} คือรากที่สองที่เป็นบวกเท่านั้น 49=7\sqrt{49} = 7 ไม่ใช่ ±7\pm 7
  • จำนวนกำลังสองสมบูรณ์แยกตัวประกอบแล้วจับคู่ได้หมด ถ้าเหลือตัวไม่มีคู่ รากที่สองเป็นจำนวนอตรรกยะ
  • ทศนิยมให้เปลี่ยนเป็นเศษส่วนก่อน และตรวจคำตอบด้วยการยกกำลังสองกลับเสมอ