18.3 มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด

ดูรูปมุมแปดมุมอีกครั้ง จุดตัดบนกับจุดตัดล่างหน้าตาเหมือนกันเลย ถ้าเลื่อนจุดตัดล่างขึ้นไปตามเส้นตัดแบบการเลื่อนขนานในบทที่ 13 จะทับจุดตัดบนพอดี มุมที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันจึงน่าจะเท่ากัน เช่น $\hat{2}$ กับ $\hat{6}$ หน้านี้จะพิสูจน์ว่าจริง และรวมสมบัติทั้งสามแบบเข้าด้วยกัน

มุมคู่นี้อยู่ตรงไหน

มุมที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันที่จุดตัดสองจุด จะเป็นมุมภายนอกหนึ่งมุมกับมุมภายในหนึ่งมุม อยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัด หนังสือเรียกมุมคู่นี้ว่ามุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด ในรูปมีสี่คู่

มุมภายนอก	มุมภายในที่อยู่ตรงข้าม	ตำแหน่ง
$\hat{1}$	$\hat{5}$	ซ้ายบนของจุดตัด
$\hat{2}$	$\hat{6}$	ขวาบนของจุดตัด
$\hat{7}$	$\hat{3}$	ซ้ายล่างของจุดตัด
$\hat{8}$	$\hat{4}$	ขวาล่างของจุดตัด

คู่สีส้มอยู่ขวาบนของจุดตัด คู่สีเขียวอยู่ซ้ายล่างของจุดตัด

มุมคู่นี้มองหาง่ายถ้ามองหารูปตัว F เส้นตั้งของตัว F คือเส้นตัด ขาสองขาคือเส้นขนาน มุมใต้ขาบนกับมุมใต้ขาล่างคือมุมคู่นี้

ทำไมจึงเท่ากัน

ให้ $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ และ $\overleftrightarrow{EF}$ เป็นเส้นตัด จะพิสูจน์ว่า $\hat{2} = \hat{6}$

$\hat{2} = \hat{3}$ เพราะเป็นมุมตรงข้าม
$\hat{3} = \hat{6}$ เพราะเป็นมุมแย้ง และเส้นทั้งสองขนานกัน
จึงได้ $\hat{2} = \hat{6}$

ย้อนทางกลับก็ได้ ถ้า $\hat{2} = \hat{6}$ แล้ว $\hat{3} = \hat{2} = \hat{6}$ มุมแย้งเท่ากัน เส้นทั้งสองจึงขนานกัน

ทฤษฎีบท

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน

ข้อ 2 คือเหตุผลของการสร้างเส้นขนานในบทที่ 2 ที่ลากเส้นผ่านจุด $P$ ไปตัดเส้นเดิม แล้วสร้างมุมขนาดเท่ากันที่ $P$ ในตำแหน่งเดียวกัน มุมสองมุมนั้นคือมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด เส้นที่ได้จึงขนานกับเส้นเดิม

สามวิธีตรวจว่าเส้นขนาน

สามหน้าที่ผ่านมาได้สมบัติสามแบบ ทั้งหมดใช้ได้ทั้งสองทาง คือเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง

สมบัติ	ตัวอย่างคู่มุม
มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันได้ $180^\circ$	$\hat{3} + \hat{5}$ และ $\hat{4} + \hat{6}$
มุมแย้งเท่ากัน	$\hat{3} = \hat{6}$ และ $\hat{4} = \hat{5}$
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดเท่ากัน	$\hat{1} = \hat{5}$ $\hat{2} = \hat{6}$ $\hat{3} = \hat{7}$ $\hat{4} = \hat{8}$

กราฟข้างล่างระบายมุมที่มีขนาดเท่ากันด้วยสีเดียวกัน หมุนเส้นตัดแล้วนับว่าตอนเส้นขนานกัน มุมทั้งแปดมีกี่สี จากนั้นเอียงเส้นล่างแล้วดูว่าสีเปลี่ยนไปอย่างไร

ลองหมุนเส้นตัดให้ตั้งฉากกับเส้นทั้งสอง มุมทั้งแปดมีกี่สี เพราะอะไร

ตอนที่เส้นขนานกัน มุมทั้งแปดมีขนาดแค่สองแบบ มุมหนึ่งแบบมีขนาด $x$ อีกแบบมีขนาด $180^\circ - x$ จึงรู้มุมเดียวก็รู้ครบทั้งแปดมุม

ตัวอย่าง 1

กำหนดให้ $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ ถ้า $\hat{7} = 58^\circ$ หาขนาดของมุมที่เหลืออีกเจ็ดมุม

$\hat{8} = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$ เพราะ $\hat{7}$ กับ $\hat{8}$ อยู่ติดกันบนเส้นตรง
$\hat{6} = \hat{7} = 58^\circ$ และ $\hat{5} = \hat{8} = 122^\circ$ เพราะเป็นมุมตรงข้าม
$\hat{3} = \hat{7} = 58^\circ$ เพราะเป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด ในทำนองเดียวกัน $\hat{4} = \hat{8} = 122^\circ$
$\hat{2} = \hat{3} = 58^\circ$ และ $\hat{1} = \hat{4} = 122^\circ$ เพราะเป็นมุมตรงข้าม
ได้ $\hat{2} = \hat{3} = \hat{6} = \hat{7} = 58^\circ$ และ $\hat{1} = \hat{4} = \hat{5} = \hat{8} = 122^\circ$

ตัวอย่าง 2

กำหนดให้ $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ มี $\hat{2} = (3x + 3)^\circ$ และ $\hat{6} = (5x - 37)^\circ$ หาค่า $x$ และขนาดของ $\hat{2}$

$\hat{2}$ กับ $\hat{6}$ เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด เส้นขนานกันจึงได้ $3x + 3 = 5x - 37$
$3 + 37 = 5x - 3x$ ได้ $40 = 2x$ จึงได้ $x = 20$
$\hat{2} = 3(20) + 3 = 63^\circ$ ตรวจ $\hat{6} = 5(20) - 37 = 63^\circ$

ตัวอย่าง 3

ลานจอดรถทาสีเส้นแบ่งช่องจอดแบบเฉียงด้วยแบบพิมพ์อันเดียวกัน เส้นแบ่งช่องจอดทุกเส้นจึงขนานกัน เส้นแรกทำมุม $55^\circ$ กับขอบทางเท้าทางด้านขวาของเส้น หามุม $x$ ทางด้านซ้ายของเส้นที่สาม

เส้นแบ่งช่องจอดสามเส้นขนานกัน ขอบทางเท้าเป็นเส้นตัด

เส้นแบ่งช่องจอดเป็นเส้นขนาน ขอบทางเท้าเป็นเส้นตัด ใช้แค่เส้นแรกกับเส้นที่สามก็พอ
มุม $55^\circ$ ทางขวาของเส้นแรก กับมุมทางขวาของเส้นที่สาม อยู่ตำแหน่งเดียวกัน เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มุมทางขวาของเส้นที่สามจึงเป็น $55^\circ$
$x$ อยู่ติดกับมุมนั้นบนขอบทางเท้า จึงได้ $x = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$
ตรวจอีกทาง มุม $55^\circ$ กับ $x$ อยู่ระหว่างเส้นแรกกับเส้นที่สาม และอยู่เหนือขอบทางเท้าทั้งคู่ เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด จึงรวมกันได้ $55^\circ + 125^\circ = 180^\circ$ ตรงกัน

ตัวอย่างนี้ทำได้สองทาง โจทย์เส้นขนานส่วนใหญ่ก็เป็นแบบนี้ ใช้ทางไหนก็ได้ แต่ต้องบอกชื่อสมบัติที่ใช้ให้ตรงกับตำแหน่งของมุมจริง

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่า $\hat{1}$ กับ $\hat{5}$ เท่ากันเสมอ เพราะอยู่ตำแหน่งเดียวกัน ไม่ต้องรู้ว่าเส้นขนานกันหรือไม่ เพื่อนพูดถูกหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ตำแหน่งเดียวกันเป็นแค่ชื่อของมุมคู่นี้ มุมจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ ลองเอียงเส้นล่างในกราฟข้างบน $\hat{1}$ กับ $\hat{5}$ จะได้คนละสีทันที เช่นเส้นตัดทำมุม $\hat{2} = 60^\circ$ แล้วเอียงเส้นล่าง $10^\circ$ จะได้ $\hat{1} = 120^\circ$ แต่ $\hat{5} = 130^\circ$

ลองคิดก่อน

ถ้า $\ell \parallel m$ และ $m \parallel n$ ทำไม $\ell$ จึงขนานกับ $n$

ดูคำตอบ

ลากเส้นตัดหนึ่งเส้นผ่านทั้งสามเส้น มุมที่ตำแหน่งเดียวกันบน $\ell$ กับบน $m$ เท่ากัน เพราะ $\ell \parallel m$ มุมที่ตำแหน่งเดียวกันบน $m$ กับบน $n$ ก็เท่ากัน เพราะ $m \parallel n$ มุมบน $\ell$ จึงเท่ากับมุมบน $n$ ตามทฤษฎีบทข้อ 2 ได้ $\ell \parallel n$ นี่คือเหตุผลที่ใช้ในตัวอย่าง 2 ของหน้า 18.2

สรุป

มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด อยู่ตำแหน่งเดียวกันที่จุดตัดสองจุด มองหารูปตัว F
เส้นขนานกันก็ต่อเมื่อมุมคู่นี้มีขนาดเท่ากัน
เมื่อเส้นขนานกัน มุมแปดมุมมีขนาดแค่สองแบบ คือ $x$ กับ $180^\circ - x$
ตรวจว่าเส้นขนานได้สามวิธี มุมภายในบนข้างเดียวกันรวม $180^\circ$ มุมแย้งเท่ากัน หรือมุมคู่ในหน้านี้เท่ากัน