48.5 แบบฝึกหัด

ความถี่สัมพัทธ์คือความถี่หารด้วยจำนวนรวม ในที่นี้ความถี่ของเมนูนี้คือ $12$ และจำนวนรวมคือ $48$

$\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$

ตรวจความหมาย $48$ คนแบ่งเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน ส่วนละ $12$ คน ผู้เลือกเมนูนี้จึงเป็นหนึ่งในสี่ของทั้งหมด ถ้าโจทย์ถามร้อยละจะได้ $\frac{1}{4}\times100=25\%$ แต่ความถี่สัมพัทธ์ตอบเป็นสัดส่วน $\frac{1}{4}$ หรือ $0.25$

คำถามแบบเลือกได้หลายข้อทำให้หนึ่งคนถูกนับได้หลายประเภท ประเภทจึงทับซ้อนกัน และผลรวมร้อยละมักเกิน $100$

แผนภูมิวงกลมสัญญาว่าทุกชิ้นรวมกันเป็นทั้งหมดพอดี ถ้าร้อยละรวมเกิน $100$ จะวาดตามจริงไม่ได้ ต้องย่อทุกชิ้นลงจนผู้อ่านเข้าใจสัดส่วนผิด

แผนภูมิแท่งไม่มีเงื่อนไขนี้ แต่ละแท่งแสดงจำนวนหรือร้อยละของผู้ตอบที่เลือกข้อนั้นแยกกัน จึงใช้แผนภูมิแท่ง โดยระบุฐานเป็นจำนวนผู้ตอบ และเขียนกำกับว่าเลือกได้หลายข้อ

ทั้งวงกลมคือ $360$ องศาแทน $100\%$ ประเภทที่มี $35\%$ จึงได้มุม $35\%$ ของ $360$ องศา

เปลี่ยนร้อยละเป็นสัดส่วนก่อน $35\%=0.35$ แล้วคูณ $360$

$0.35\times360=126 \text{ องศา}$

หรือใช้ข้อที่ว่าร้อยละ $1$ เท่ากับ $3.6$ องศา ได้ $35\times3.6=126$ องศาเช่นกัน ตรวจด้วยตา $126$ องศามากกว่ามุมฉากเล็กน้อย สอดคล้องกับ $35\%$ ที่มากกว่าหนึ่งในสี่เล็กน้อย

จุดร้อยละใช้เทียบร้อยละสองค่าด้วยการลบตรงๆ เพราะทั้งสองค่ามีหน่วยเป็นร้อยละอยู่แล้ว

$45-30=15 \text{ จุดร้อยละ}$

ระวังอย่าสับสนกับร้อยละที่มากกว่าเมื่อเทียบฐาน ซึ่งคิดจาก $\frac{45-30}{30}\times100=50\%$ ค่านี้ตอบคำถามว่ากลุ่มแรกมากกว่ากลุ่มที่สองกี่เปอร์เซ็นต์ของกลุ่มที่สอง เป็นคนละคำถามกับจำนวนจุดร้อยละ

หาจุดที่หลอกตา แกนเริ่มที่ $97$ ส่วนที่มองเห็นของแท่งแรกจึงยาว $98-97=1$ หน่วย แท่งที่สองยาว $100-97=3$ หน่วย ภาพบอกว่าแท่งที่สองยาว $3$ เท่า

เทียบกับข้อมูลจริง อัตราส่วนจริงคือ $100/98$ ประมาณ $1.02$ เท่า มากกว่ากันเพียงราว $2\%$ ภาพจึงขยายความต่างจาก $1.02$ เท่าเป็น $3$ เท่า เพราะแผนภูมิแท่งใช้ความยาวทั้งแท่งแทนค่า เมื่อตัดฐานทิ้ง ความยาวจึงไม่เป็นสัดส่วนกับค่าอีกต่อไป

วิธีแก้ เริ่มแกนที่ $0$ ให้ความยาวเป็นสัดส่วนกับข้อมูล แล้วเขียนค่า $98$ และ $100$ บนแท่ง ถ้าความต่างสองหน่วยสำคัญจริง ให้บอกเป็นตัวเลขในข้อความ หากจำเป็นต้องตัดแกนต้องมีรอยหยักที่แกนบอกชัด และไม่ชวนอ่านเป็นอัตราส่วนความยาว

ร้อยละคิดจากจำนวนผู้ใช้รถรับส่งหารด้วยจำนวนคนทั้งห้อง เพราะคำถามคือส่วนของห้อง

$\frac{18}{30}\times100=60\%$

ตรวจ $60\%$ ของ $30$ คนคือ $0.6\times30=18$ คน ตรงกับโจทย์ ผู้ที่ไม่ใช้รถรับส่งมี $12$ คน หรือ $40\%$ รวมกันได้ $100\%$

แต่ละคนเลือกหนึ่งข้อ หมวดจึงไม่ทับซ้อน จำนวนคนในทุกหมวดรวมกันต้องได้ $80$ คน

หาจำนวนผู้เลือกเมนูอื่นก่อน $80-32-28=20$ คน

แปลงเป็นร้อยละของผู้ตอบ $\frac{20}{80}\times100=25\%$

ตรวจ ข้าว $\frac{32}{80}\times100=40\%$ เส้น $\frac{28}{80}\times100=35\%$ เมนูอื่น $25\%$ รวม $40+35+25=100$ พอดี

เศษส่วนสองตัวมีตัวเศษเท่ากันคือ $10$ คน ซึ่งเป็นนักเรียนหญิงที่ใช้รถรับส่ง แต่ตัวส่วนต่างกัน จึงตอบคนละคำถาม

$\frac{10}{25}\times100=40\%$ ตัวส่วนคือนักเรียนหญิง $25$ คน ค่านี้บอกว่า ในกลุ่มนักเรียนหญิง มีผู้ใช้รถรับส่ง $40\%$

$\frac{10}{20}\times100=50\%$ ตัวส่วนคือผู้ใช้รถรับส่งทั้งหมด $20$ คน ค่านี้บอกว่า ในกลุ่มผู้ใช้รถรับส่ง เป็นนักเรียนหญิง $50\%$

ถ้าเขียนแค่ว่า นักเรียนหญิงกับรถรับส่ง $50\%$ ผู้อ่านจะไม่รู้ว่าหมายถึงแบบไหน จึงต้องเขียนคำว่า ในกลุ่ม... นำหน้าทุกครั้ง

ตรวจทีละภาคเรียน ภาคเรียนที่ 1 ต้น $\frac{8}{10}=80\%$ บอล $\frac{30}{40}=75\%$ ภาคเรียนที่ 2 ต้น $\frac{21}{40}=52.5\%$ บอล $\frac{5}{10}=50\%$ ต้นสูงกว่าทั้งสองภาคเรียนจริง

อัตรารวมทั้งปีของต้น รวมลูกที่ลง $8+21=29$ ลูก จากที่ชู้ตทั้งหมด $10+40=50$ ลูก ได้

$\frac{29}{50}\times100=58\%$

เทียบกับบอล บอลลง $30+5=35$ จาก $50$ ลูก หรือ $70\%$ ภาพรวมทั้งปีบอลกลับสูงกว่าต้น ทั้งที่แพ้ทุกภาคเรียน นี่คือปรากฏการณ์ซิมป์สัน

เหตุผล อัตรารวมคือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยจำนวนลูกที่ชู้ต ต้นชู้ตส่วนใหญ่ $40$ ลูกในภาคเรียนที่ 2 ซึ่งทุกคนลงยากกว่า ได้ $0.2(80)+0.8(52.5)=58$ ส่วนบอลชู้ตส่วนใหญ่ในภาคเรียนที่ 1 ได้ $0.8(75)+0.2(50)=70$ ถ้าเฉลี่ยสองภาคเรียนตรงๆ ของต้นจะได้ $66.25\%$ ซึ่งผิด เพราะให้น้ำหนัก $10$ ลูกเท่ากับ $40$ ลูก

อัตราส่วนของข้อมูล ผู้เข้าชมเพิ่ม $\frac{1600}{900}=\frac{16}{9}$ เท่า พื้นที่ของรูปปีนี้จึงต้องเป็น $\frac{16}{9}$ เท่าของรูปปีที่แล้ว

แปลงเป็นด้าน ถ้าขยายด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส $k$ เท่า พื้นที่จะเพิ่ม $k^2$ เท่า จึงต้องการ $k^2=\frac{16}{9}$ และ $k$ เป็นบวก ได้

$k=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$

ประมาณ $1.33$ เท่า

ตรวจ $\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$ ตรงกับอัตราส่วนผู้เข้าชม ถ้าขยายด้าน $\frac{16}{9}$ เท่าตามตัวเลขตรงๆ พื้นที่จะเพิ่ม $\frac{256}{81}$ ประมาณ $3.16$ เท่า ภาพจะบอกว่าผู้เข้าชมเพิ่มเกินสามเท่าทั้งที่เพิ่มไม่ถึงสองเท่า