22.1 ทบทวนการแยกตัวประกอบดีกรีสอง

สนามหญ้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแปลงหนึ่งมีพื้นที่ $x^2 + 7x + 12$ ตารางเมตร ถ้ารู้ว่าด้านกว้างและด้านยาวเขียนเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งได้ ด้านทั้งสองยาวเท่าไร

คำถามนี้คือการถามกลับจากการคูณ ตอน ม.2 เราคูณ $(x + 3)(x + 4)$ ได้ $x^2 + 7x + 12$ ตอนนี้ได้ผลคูณมา ต้องหาตัวที่คูณกัน ด้านทั้งสองจึงยาว $x + 3$ และ $x + 4$ เมตร งานนี้เรียกว่าการแยกตัวประกอบ

ทั้งบทนี้ใช้เครื่องมือชุดเดียวกับบทที่ 20 แค่เอาไปใช้กับพหุนามที่ดีกรีสูงขึ้น หน้านี้จึงทบทวนเครื่องมือทั้งหมดก่อน

แยกได้ครบหมายถึงอะไร

นิยาม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือการเขียนพหุนามนั้นให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า

ในบทนี้ สัมประสิทธิ์ของตัวประกอบทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม และแยกได้ครบเมื่อไม่มีตัวประกอบตัวไหนแยกต่อได้อีก

เช่น $3x^2 - 12$ เขียนเป็น $3(x^2 - 4)$ ได้ แต่ $x^2 - 4$ ยังแยกต่อเป็น $(x + 2)(x - 2)$ ได้ คำตอบที่ครบจึงเป็น $3(x + 2)(x - 2)$ ทั้งสองแบบคูณกลับแล้วได้โจทย์เหมือนกัน แต่แบบแรกยังทำไม่เสร็จ

เครื่องมือสี่ชิ้นจากบทที่ 20

แบบ	รูปทั่วไป	ตัวอย่าง
ดึงตัวร่วม	$ab + ac = a(b + c)$	$6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$
$ax^2 + bx + c$	หาสองจำนวนที่คูณกันและบวกกันได้ตามต้องการ	$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$
กำลังสองสมบูรณ์	$A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$ และ $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$	$4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$
ผลต่างของกำลังสอง	$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$	$25x^2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1)$

ในตาราง $A$ กับ $B$ เป็นอะไรก็ได้ เป็นตัวเลข เป็นเอกนามอย่าง $2x$ หรือเป็นพหุนามทั้งก้อนก็ได้ ข้อนี้สำคัญมากในหน้าถัดไป

ตัวอย่าง 1

แยกตัวประกอบของ $2x^2 + 7x + 3$

สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ไม่ใช่ $1$ หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $2 \times 3 = 6$ และบวกกันได้ $7$ ได้ $1$ กับ $6$
แยกพจน์กลาง $7x = x + 6x$ ได้ $2x^2 + x + 6x + 3$
จับกลุ่มทีละสองพจน์ $x(2x + 1) + 3(2x + 1)$
ทั้งสองกลุ่มมี $(2x + 1)$ เป็นตัวร่วม ดึงออกได้ $(2x + 1)(x + 3)$

ขั้นที่ 4 ดึงตัวร่วมที่เป็นวงเล็บทั้งก้อนออก วิธีนี้เรียกว่าการจับกลุ่ม หน้า 22.2 จะใช้กับพหุนามสี่พจน์ที่ดีกรีสาม

ตัวอย่าง 2

แยกตัวประกอบของ $9x^2 - 30x + 25$

พจน์หน้า $9x^2 = (3x)^2$ พจน์หลัง $25 = 5^2$ ทั้งสองเป็นกำลังสอง จึงลองดูว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ โดยให้ $A = 3x$ และ $B = 5$
ตรวจพจน์กลาง $2AB = 2(3x)(5) = 30x$ ตรงกับโจทย์ และมีเครื่องหมายลบ
ได้ $9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2$

ตรวจคำตอบด้วยการแทนค่า

คูณกลับเป็นวิธีตรวจที่แน่นอนที่สุด แต่ถ้าตัวประกอบมีหลายวงเล็บ คูณกลับจะช้า วิธีที่เร็วกว่าคือแทน $x$ ด้วยตัวเลขเล็กๆ สักตัวทั้งในโจทย์และในคำตอบ แล้วดูว่าได้เท่ากันไหม

ตัวอย่าง 3

ตรวจว่า $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$ ถูกหรือไม่ โดยแทน $x = 2$

แทนในโจทย์ $2^2 - 2 - 12 = 4 - 2 - 12 = -10$
แทนในคำตอบ $(2 - 4)(2 + 3) = (-2)(5) = -10$
ได้เท่ากัน คำตอบน่าจะถูก

เลือกค่าที่แทนให้ดี

ถ้าแทนแล้วได้ไม่เท่ากัน รู้ทันทีว่าผิด แต่ถ้าได้เท่ากันที่ค่าเดียว ยังมีโอกาสบังเอิญ ให้เลี่ยง $x = 0$ และ $x = 1$ เพราะตัวเลขพวกนี้ทำให้เลขยกกำลังทุกตัวหน้าตาเหมือนกัน จับเครื่องหมายผิดไม่ได้ ใช้ $x = 2$ หรือ $x = 3$ ดีกว่า

แบบที่แยกไม่ได้

ไม่ใช่ทุกพหุนามจะแยกตัวประกอบได้ รู้ว่าแบบไหนแยกไม่ได้ช่วยให้รู้ว่าเมื่อไรควรหยุด

ลองคิดก่อน

เพื่อนแยกตัวประกอบของ $x^2 + 9$ ได้ $(x + 3)(x - 3)$ ถูกไหม ถ้าไม่ถูก $x^2 + 9$ แยกเป็นอะไรได้

ดูคำตอบ

ไม่ถูก $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$ ไม่ใช่ $x^2 + 9$ ลองหาสองจำนวนที่คูณกันได้ $9$ และบวกกันได้ $0$ ถ้าคูณกันได้บวก สองจำนวนต้องเครื่องหมายเหมือนกัน บวกกันจึงเป็นศูนย์ไม่ได้ $x^2 + 9$ จึงแยกตัวประกอบไม่ได้ ผลบวกของกำลังสองแบบ $A^2 + B^2$ แยกไม่ได้ทุกตัว

อีกแบบที่เจอบ่อยในบทนี้คือ $x^2 + 2x + 4$ ต้องหาสองจำนวนที่คูณกันได้ $4$ และบวกกันได้ $2$ คู่ที่คูณกันได้ $4$ คือ $1$ กับ $4$ หรือ $2$ กับ $2$ หรือคู่ที่ติดลบทั้งสองตัว บวกกันได้ $5$ $4$ $-5$ และ $-4$ ไม่มีคู่ไหนได้ $2$ จึงแยกไม่ได้ จำหน้าตาของมันไว้ จะได้เจออีกในหน้า 22.3

สรุป

แยกตัวประกอบคือเขียนพหุนามเป็นผลคูณ และต้องแยกจนไม่มีวงเล็บไหนแยกต่อได้
เครื่องมือมีสี่ชิ้น ดึงตัวร่วม $ax^2 + bx + c$ กำลังสองสมบูรณ์ และผลต่างของกำลังสอง
$A$ กับ $B$ ในสูตรเป็นตัวเลข เอกนาม หรือพหุนามทั้งก้อนก็ได้
ตรวจคำตอบด้วยการแทน $x = 2$ หรือ $x = 3$ ทั้งในโจทย์และในคำตอบ
$x^2 + 9$ และ $x^2 + 2x + 4$ แยกตัวประกอบไม่ได้