21.1 อสมการ
ลิฟต์ของหอพักแห่งหนึ่งติดป้ายว่า รับน้ำหนักได้ไม่เกิน 600 กิโลกรัม ถ้าคนในลิฟต์หนักรวมกัน กิโลกรัม ลิฟต์ใช้ได้เมื่อ เป็น 450 ก็ได้ 599.5 ก็ได้ 600 พอดีก็ได้ แต่ 601 ไม่ได้ ป้ายนี้ไม่ได้บอกจำนวนเดียวแบบสมการ แต่บอกขอบเขตว่า ต้องไม่มากกว่า 600 เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า
ประโยคแบบนี้เรียกว่าอสมการ บทที่ 6 ใช้สมการหาจำนวนที่ไม่รู้ค่าซึ่งมักมีค่าเดียว บทนี้ใช้อสมการหาจำนวนทั้งหมดที่ใช้ได้
เครื่องหมายแสดงการไม่เท่ากัน
| เครื่องหมาย | อ่านว่า | ตัวอย่างที่เป็นจริง |
|---|---|---|
| น้อยกว่า | ||
| มากกว่า | ||
| น้อยกว่าหรือเท่ากับ | ||
| มากกว่าหรือเท่ากับ | ||
| ไม่เท่ากับ |
สองแถวที่ควรสังเกต
- เป็นจริง เพราะ แปลว่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ จริงข้อใดข้อหนึ่งก็พอ ส่วน เป็นเท็จ
- เป็นจริง เพราะบนเส้นจำนวน อยู่ทางขวาของ จำนวนลบที่ตัวเลขดูใหญ่กว่าจึงมีค่าน้อยกว่า
กับ มีความหมายเดียวกัน เช่น อ่านกลับได้ว่า ด้านที่เครื่องหมายอ้ากว้างหันไปทางจำนวนที่มากกว่าเสมอ
อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
นิยาม
อสมการคือประโยคสัญลักษณ์ที่ใช้เครื่องหมาย หรือ แสดงความสัมพันธ์ของจำนวน
อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวคืออสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็นหนึ่ง จัดให้อยู่ในรูปใดรูปหนึ่งต่อไปนี้ได้
เมื่อ เป็นตัวแปร และ เป็นค่าคงตัว และ
ตัวอย่าง 1
ข้อใดเป็นอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
(1) (2) (3) (4) (5)
- เป็น มีตัวแปร ตัวเดียว และยกกำลังหนึ่ง
- ไม่เป็น เพราะมีสองตัวแปร คือ และ
- ไม่เป็น เพราะ ยกกำลังสอง
- เป็น ตัวแปรอยู่ข้างขวาก็ได้ ย้ายข้างแล้วได้ ซึ่งอยู่ในรูปตามบทนิยาม
- เป็นอสมการที่เป็นจริง แต่ไม่มีตัวแปร จึงไม่ใช่อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เขียนข้อความเป็นอสมการ
โจทย์ในชีวิตจริงไม่ได้เขียนเครื่องหมายมาให้ ต้องแปลจากคำ คำที่เจอบ่อยมีดังนี้
| คำในโจทย์ | เครื่องหมาย | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| มากกว่า เกิน | ขับเร็วเกิน 90 กิโลเมตรต่อชั่วโมงถูกปรับ | |
| น้อยกว่า ต่ำกว่า ไม่ถึง | เด็กสูงไม่ถึง 120 เซนติเมตรเข้าฟรี | |
| ไม่เกิน ไม่มากกว่า อย่างมาก | กระเป๋าถือขึ้นเครื่องหนักไม่เกิน 7 กิโลกรัม | |
| อย่างน้อย ไม่น้อยกว่า ตั้งแต่ ... ขึ้นไป | ซื้อตั้งแต่ 500 บาทขึ้นไปส่งฟรี |
ถามว่าจำนวนที่ขอบพอดีใช้ได้ไหม
จุดที่พลาดบ่อยคือเลือกระหว่าง กับ ให้ถามว่าจำนวนที่ขอบพอดีใช้ได้หรือไม่ กระเป๋าหนัก 7 กิโลกรัมพอดีขึ้นเครื่องได้ จึงใช้ เด็กสูง 120 เซนติเมตรพอดีต้องเสียเงิน จึงใช้
ตัวอย่าง 2
เขียนอสมการแทนข้อความต่อไปนี้
(1) ซื้อปากกาด้ามละ 12 บาท จำนวน ด้าม จ่ายเงินไม่เกิน 100 บาท
(2) สองเท่าของจำนวนหนึ่ง บวกด้วย 5 ได้ผลลัพธ์มากกว่า 17
(3) คะแนนเก็บ 32 คะแนน รวมกับคะแนนสอบปลายภาค คะแนน ต้องได้อย่างน้อย 50 คะแนนจึงผ่าน
- ค่าปากกา บาท ไม่เกิน 100 บาท ได้
- ให้จำนวนนั้นเป็น สองเท่าบวกด้วย 5 คือ ได้
- คะแนนรวม อย่างน้อย 50 ได้
ลองคิดก่อน
ป้ายรถตู้เขียนว่า เด็กอายุต่ำกว่า 3 ปีไม่ต้องเสียค่าโดยสาร เพื่อนให้ แทนอายุของเด็กที่ไม่ต้องเสียค่าโดยสาร แล้วเขียนว่า ถูกไหม
ดูคำตอบ
ไม่ถูก ถามว่าเด็กอายุ 3 ปีพอดีไม่ต้องเสียค่าโดยสารใช่ไหม คำว่าต่ำกว่าไม่รวม 3 เด็กอายุ 3 ปีจึงต้องเสีย ที่ถูกคือ
คำตอบของอสมการ
นิยาม
จำนวนที่แทนตัวแปรในอสมการแล้วทำให้อสมการเป็นจริง เรียกว่าคำตอบของอสมการ
ตรวจว่าจำนวนใดเป็นคำตอบ ทำแบบเดียวกับตรวจคำตอบของสมการในบทที่ 6 คือแทนค่าแล้วดูว่าประโยคเป็นจริงหรือเท็จ
ตัวอย่าง 3
ตรวจว่า และ เป็นคำตอบของอสมการ หรือไม่
- ได้ และ เป็นจริง จึงเป็นคำตอบ
- ได้ และ เป็นจริง จึงเป็นคำตอบ
- ได้ และ เป็นจริง จึงเป็นคำตอบ
- ได้ และ เป็นเท็จ จึงไม่เป็นคำตอบ
ถ้าลองต่อไปจะพบว่าจำนวนทุกจำนวนที่ไม่มากกว่า เป็นคำตอบทั้งหมด ทั้งจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยม และจำนวนอตรรกยะอย่าง ต่างจากสมการ ที่มีคำตอบเดียวคือ
คำตอบของอสมการจึงมักมีมากมายนับไม่ถ้วน เขียนเป็นรายการให้ครบไม่ได้ หน้าต่อไปจะใช้เส้นจำนวนแสดงคำตอบทั้งหมดในรูปเดียว
สรุป
- อสมการใช้เครื่องหมาย หรือ บอกว่าสองข้างไม่เท่ากันอย่างไร
- อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมีตัวแปรตัวเดียว และตัวแปรยกกำลังหนึ่ง
- แปลคำในโจทย์เป็นเครื่องหมาย ถ้าไม่แน่ใจให้ถามว่าจำนวนที่ขอบพอดีใช้ได้หรือไม่
- คำตอบของอสมการคือจำนวนที่แทนแล้วอสมการเป็นจริง มักมีมากมายนับไม่ถ้วน