descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 32 เซตตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.4 บทที่ 1 และเพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1 บทที่ 1พื้นฐานเพิ่มเติม

32.2 สับเซตและเซตที่เท่ากัน

ถ้านักเรียนทุกคนในชมรมถ่ายภาพอยู่ในชมรมศิลปะด้วย จะเขียนความสัมพันธ์นี้อย่างไร เราไม่ได้บอกว่าสองชมรมเป็นชมรมเดียวกัน เพียงบอกว่ากลุ่มแรกไม่มีคนที่อยู่นอกกลุ่มหลัง ชมรมศิลปะอาจมีคนวาดภาพที่ไม่ได้ถ่ายภาพก็ได้ หน้านี้ให้ชื่อและสัญลักษณ์กับความสัมพันธ์แบบนี้ แล้วฝึกตรวจว่าจริงหรือไม่

จากสมาชิกหนึ่งตัวสู่สมาชิกทุกตัว

นิยาม

A⊆BA\subseteq B อ่านว่า AA เป็นสับเซตของ BB เมื่อสมาชิกทุกตัวของ AA เป็นสมาชิกของ BB ถ้ามีสมาชิกของ AA เพียงตัวเดียวที่ไม่อยู่ใน BB ก็พอจะสรุปว่า AA ไม่เป็นสับเซตของ BB เขียน A⊈BA\nsubseteq B

หนังสือหลายเล่มเขียน A⊂BA\subset B ในความหมายเดียวกันนี้ เมื่ออ่านโจทย์จากที่อื่นให้ดูนิยามของหนังสือเล่มนั้นประกอบ

ในแผนภาพ ถ้า A⊆BA\subseteq B วงของ AA จะอยู่ในวงของ BB ทั้งวง ไม่มีส่วนใดของ AA ยื่นออกไปนอก BB ถ้ามีสมาชิกเพียงตัวเดียวอยู่ในส่วนที่ยื่นออกไป ความสัมพันธ์นี้ก็ล้มทันที

UBAxUBA
ภาพซ้าย A⊆BA\subseteq B ภาพขวา x∈Ax\in A แต่ x∉Bx\notin B สมาชิกตัวเดียวนี้ทำให้ A⊈BA\nsubseteq B

เหตุที่ตัวอย่างค้านตัวเดียวพอ เพราะนิยามใช้คำว่า ทุกตัว เหมือนครูประกาศว่า นักเรียนทุกคนในห้องส่งการบ้านแล้ว ถ้าพบคนเดียวที่ยังไม่ส่ง ประกาศนั้นก็ไม่จริง แต่ถ้าจะยืนยันว่าจริง ต้องตรวจครบทุกคน

สับเซตที่มีอยู่เสมอ

มีสองข้อที่จริงกับทุกเซต ข้อแรก A⊆AA\subseteq A เพราะสมาชิกทุกตัวของ AA อยู่ใน AA แน่นอน ข้อสอง ∅⊆A\varnothing\subseteq A เสมอ ข้อหลังนี้ฟังแปลก จึงขอให้เหตุผลแบบนี้ ถ้าจะบอกว่า ∅⊈A\varnothing\nsubseteq A ต้องชี้สมาชิกของ ∅\varnothing ที่ไม่อยู่ใน AA ให้ได้หนึ่งตัว แต่เซตว่างไม่มีสมาชิกให้ชี้เลย จึงหาตัวค้านไม่ได้ ข้อความว่า ∅⊆A\varnothing\subseteq A จึงไม่มีทางผิด

ลองคิดก่อน

ให้ A={1,2}A=\{1,2\} เพื่อนบอกว่า ∅∈A\varnothing\in A เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ถูกหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ข้อเท็จจริงคือ ∅⊆A\varnothing\subseteq A แต่ ∅∈A\varnothing\in A ถามอีกเรื่องหนึ่ง คือถามว่าเซตว่างอยู่ในรายการสมาชิกของ AA หรือไม่ รายการของ AA มีแค่ 11 กับ 22 จึงได้ ∅∉A\varnothing\notin A ถ้าเป็น B={∅,1}B=\{\varnothing,1\} จึงจะได้ ∅∈B\varnothing\in B

ตรวจสับเซตของเซตจำกัด

วิธีตรวจคือหยิบสมาชิกของเซตทางซ้ายทีละตัว แล้วถามว่าอยู่ในเซตทางขวาหรือไม่ ถ้าทุกตัวผ่านก็เป็นสับเซต ถ้าตัวใดไม่ผ่านให้หยุดได้ทันที

ตัวอย่าง 1

ให้ A={2,4}A=\{2,4\} และ B={1,2,3,4}B=\{1,2,3,4\} ตรวจ A⊆BA\subseteq B และ B⊆AB\subseteq A

  1. ตรวจ A⊆BA\subseteq B ต้องหยิบสมาชิกของ AA ทีละตัว 2∈B2\in B และ 4∈B4\in B ครบทุกตัวแล้ว จึงได้ A⊆BA\subseteq B
  2. ตรวจ B⊆AB\subseteq A หยิบสมาชิกของ BB ตัวแรกคือ 11 พบว่า 1∉A1\notin A หยุดได้เลย ไม่ต้องตรวจ 2,3,42,3,4 เพราะตัวค้านตัวเดียวพอ จึงได้ B⊈AB\nsubseteq A
  3. ทิศทางสำคัญ การที่ A⊆BA\subseteq B ไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับ B⊆AB\subseteq A ต้องตรวจแยกกัน

เซตที่เท่ากัน

เมื่อ A⊆BA\subseteq B และ B⊆AB\subseteq A จะได้ A=BA=B เพราะทั้งสองเซตมีสมาชิกตรงกันทั้งหมด ไม่มีตัวไหนของ AA อยู่นอก BB และไม่มีตัวไหนของ BB อยู่นอก AA วิธีตรวจสองทางนี้เป็นวิธีมาตรฐานในการพิสูจน์ว่าสองเซตเท่ากัน และจะได้ใช้อีกในบทที่ 33 เรื่องตรรกศาสตร์ ซึ่งมีข้อความแบบ ก็ต่อเมื่อ ที่ต้องพิสูจน์สองทางเหมือนกัน

ตัวอย่าง 2

ให้ C={0,2,4}C=\{0,2,4\} และ D={4,0,2,2}D=\{4,0,2,2\} ตรวจว่าสองเซตเท่ากันหรือไม่

  1. จัด DD ก่อน รายการซ้ำไม่นับเพิ่ม และลำดับไม่มีผล จึงเหลือสมาชิกคือ 0,2,40,2,4
  2. ตรวจ C⊆DC\subseteq D สมาชิก 0,2,40,2,4 ของ CC อยู่ใน DD ทุกตัว
  3. ตรวจ D⊆CD\subseteq C สมาชิก 0,2,40,2,4 ของ DD อยู่ใน CC ทุกตัว
  4. ได้ทั้งสองทาง จึงสรุปว่า C=DC=D

ลองคิดก่อน

ถ้า n(A)=n(B)n(A)=n(B) แล้วสรุปว่า A=BA=B ได้หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ได้ เช่น {1,2}\{1,2\} กับ {3,4}\{3,4\} ต่างมีสองสมาชิกแต่สมาชิกไม่ตรงกัน จำนวนเท่ากันอ่อนกว่าเซตเท่ากัน ในทางกลับกัน ถ้า A=BA=B แล้ว n(A)=n(B)n(A)=n(B) แน่นอน จึงใช้จำนวนสมาชิกตรวจได้แค่ทางเดียว คือถ้าจำนวนไม่เท่ากัน สรุปได้ทันทีว่าเซตไม่เท่ากัน

ระวังระดับของวงเล็บ

∈\in เปรียบเทียบสิ่งหนึ่งกับเซต ส่วน ⊆\subseteq เปรียบเทียบเซตกับเซต ต้องอ่านว่าแต่ละข้างเป็นอะไร เช่น ถ้า A={1,{2}}A=\{1,\{2\}\} แล้ว {2}∈A\{2\}\in A เป็นจริง แต่ 2∈A2\in A เป็นเท็จ เพราะรายการสมาชิกตัวที่สองเป็นเซต ไม่ใช่จำนวน 22

นึกถึงกล่องในหน้า 32.1 กล่อง AA มีของสองชิ้น คือเลข 11 กับกล่องเล็กที่มีเลข 22 อยู่ข้างใน ถ้าเปิดกล่อง AA ชั้นเดียว จะไม่เห็นเลข 22 ตรงๆ เห็นแต่กล่องเล็ก

ตัวอย่าง 3

ให้ A={1,{2}}A=\{1,\{2\}\} ข้อความใดจริง {1}⊆A\{1\}\subseteq A {2}⊆A\{2\}\subseteq A {{2}}⊆A\{\{2\}\}\subseteq A

  1. แจกแจงสมาชิกของ AA ให้ชัดก่อน สมาชิกมีสองตัวคือ 11 กับ {2}\{2\}
  2. {1}⊆A\{1\}\subseteq A ถามว่าสมาชิกทุกตัวของ {1}\{1\} อยู่ใน AA หรือไม่ สมาชิกมีตัวเดียวคือ 11 และ 1∈A1\in A จึงจริง
  3. {2}⊆A\{2\}\subseteq A ถามว่า 2∈A2\in A หรือไม่ ไม่ใช่ เพราะ AA มีกล่อง {2}\{2\} ไม่ใช่เลข 22 จึงเป็นเท็จ
  4. {{2}}⊆A\{\{2\}\}\subseteq A ถามว่า {2}∈A\{2\}\in A หรือไม่ ใช่ จึงจริง วงเล็บชั้นนอกที่เพิ่มขึ้นคือการสร้างเซตที่มี {2}\{2\} เป็นสมาชิก

หลักจำง่ายๆ คือ x∈Ax\in A ตรงกับ {x}⊆A\{x\}\subseteq A เสมอ ถ้าสับสนว่าข้อความไหนจริง ให้แปลง ⊆\subseteq กลับเป็นคำถามว่าสมาชิกแต่ละตัวอยู่ในรายการหรือไม่

ใช้เงื่อนไขยืนยันสับเซตอนันต์

การหักล้างคำว่า ทุก ทำได้ด้วยตัวอย่างค้านเพียงตัวเดียว แต่การยืนยันว่าเป็นสับเซตต้องตรวจให้ครบ หรือใช้เงื่อนไขที่ครอบคลุมสมาชิกทุกตัว ถ้าเป็นเซตอนันต์ การลองตัวเลขไม่กี่ตัวไม่พอ เพราะตัวที่ยังไม่ได้ลองมีไม่จำกัด ต้องใช้รูปทั่วไปของสมาชิกแทน

ตัวอย่าง 4

ให้ EE เป็นเซตจำนวนเต็มคู่ และ Z=ZZ=\mathbb Z จงแสดงว่า E⊆ZE\subseteq Z แต่ E≠ZE\ne Z

  1. เขียนสมาชิกของ EE ในรูปทั่วไป จำนวนคู่ทุกตัวเขียนได้เป็น 2k2k เมื่อ k∈Zk\in\mathbb Z การเขียนแบบนี้ครอบคลุมสมาชิกทุกตัวในคราวเดียว ไม่ต้องลองทีละตัว
  2. จำนวนเต็มคูณจำนวนเต็มได้จำนวนเต็ม จึงได้ 2k∈Z2k\in\mathbb Z ทุกค่า kk ที่เป็นจำนวนเต็ม แปลว่าสมาชิกทุกตัวของ EE อยู่ใน ZZ ได้ E⊆ZE\subseteq Z
  3. ส่วน E≠ZE\ne Z ใช้ตัวอย่างค้านตัวเดียว 1∈Z1\in Z แต่ 11 หารด้วย 22 ไม่ลงตัว จึงได้ 1∉E1\notin E และ Z⊈EZ\nsubseteq E
  4. เมื่อ Z⊈EZ\nsubseteq E สองเซตจึงไม่เท่ากัน

การตรวจตัวเลขท้ายตัวอย่างช่วยตรวจภาพรวมเท่านั้น ส่วนที่รับรองสมาชิกทุกตัวคือข้อความว่า 2k2k เป็นจำนวนเต็มเมื่อ kk เป็นจำนวนเต็ม ควรแยกบทบาทของตัวอย่างกับเหตุผลทั่วไปให้ชัด

ตัวอย่าง 5

ให้ P={x∈Z∣x หารด้วย 6 ลงตัว}P=\{x\in\mathbb Z\mid x\text{ หารด้วย }6\text{ ลงตัว}\} และ Q={x∈Z∣x หารด้วย 3 ลงตัว}Q=\{x\in\mathbb Z\mid x\text{ หารด้วย }3\text{ ลงตัว}\} เซตใดเป็นสับเซตของอีกเซต

  1. สมาชิกของ PP เขียนได้เป็น 6m6m เมื่อ m∈Zm\in\mathbb Z จัดใหม่ได้ 6m=3(2m)6m=3(2m) และ 2m2m เป็นจำนวนเต็ม จึงหารด้วย 33 ลงตัว ทุกตัวของ PP อยู่ใน QQ ได้ P⊆QP\subseteq Q
  2. ตรวจทางกลับ หาตัวค้านใน QQ ที่หารด้วย 66 ไม่ลงตัว เช่น 33 ซึ่ง 3∈Q3\in Q แต่ 3∉P3\notin P ได้ Q⊈PQ\nsubseteq P
  3. สรุป P⊆QP\subseteq Q แต่ P≠QP\ne Q สอดคล้องกับความรู้สึกว่า พหุคูณของ 66 เป็นพหุคูณของ 33 เพียงบางส่วน

ถ้าเซต AA มีสามสมาชิก จะมีสับเซตได้กี่เซต หน้าถัดไปสำหรับสายเพิ่มเติมจะรวบรวมสับเซตทั้งหมดเป็นเซตใหม่ ส่วนสายพื้นฐานไปต่อที่หน้า 32.4 ได้เลย

สรุป

  • A⊆BA\subseteq B เมื่อสมาชิกทุกตัวของ AA อยู่ใน BB ต้องตรวจครบทุกตัว
  • ตัวอย่างค้านหนึ่งตัวใช้ปฏิเสธสับเซตได้
  • ∅⊆A\varnothing\subseteq A และ A⊆AA\subseteq A เสมอ แต่ ∅∈A\varnothing\in A ต้องดูรายการสมาชิก
  • เซตเท่ากันเมื่อเป็นสับเซตของกันและกัน จำนวนสมาชิกเท่ากันไม่พอ
  • x∈Ax\in A ตรงกับ {x}⊆A\{x\}\subseteq A ระวังจำนวนชั้นของวงเล็บ
  • เซตอนันต์ต้องยืนยันด้วยรูปทั่วไปของสมาชิก ไม่ใช่ลองไม่กี่ตัว