18.5 แบบฝึกหัด

มุมแย้งคือมุมภายในสองมุมที่อยู่คนละข้างของเส้นตัด มุมภายในมี $\hat{3}$ $\hat{4}$ $\hat{5}$ และ $\hat{6}$ เท่านั้น $\hat{4}$ อยู่ขวาของเส้นตัด คู่ของมันต้องเป็นมุมภายในที่อยู่ซ้ายของเส้นตัดที่จุดตัดล่าง คือ $\hat{5}$ เป็นรูปตัว Z กลับด้าน

$\hat{4}$ กับ $\hat{6}$ เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และ $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ จึงรวมกันได้ $180^\circ$

$\hat{6} = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$

1. $\hat{3} = \hat{2}$ เพราะเป็นมุมตรงข้าม
2. $\hat{6} = \hat{2}$ เพราะเป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด
3. $\hat{7} = \hat{6}$ เพราะเป็นมุมตรงข้าม

จึงได้ $\hat{3}$ $\hat{6}$ และ $\hat{7}$ ส่วนอีกสี่มุมมีขนาด $180^\circ - \hat{2}$

1. $\hat{3}$ กับ $\hat{6}$ เป็นมุมแย้ง และเส้นทั้งสองขนานกัน จึงได้ $2x + 15 = 4x - 35$
2. $15 + 35 = 4x - 2x$ ได้ $50 = 2x$ จึงได้ $x = 25$
3. ตรวจ $\hat{3} = 2(25) + 15 = 65^\circ$ และ $\hat{6} = 4(25) - 35 = 65^\circ$ เท่ากัน

1. รางทั้งสองเป็นเส้นขนาน ถนนเป็นเส้นตัด
2. มุมขวาบนที่รางที่ 2 อยู่ตำแหน่งเดียวกับมุม $50^\circ$ ที่รางที่ 1 เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด จึงมีขนาด $50^\circ$
3. มุม $x$ อยู่ใต้รางที่ 2 ติดกับมุมนั้นบนเส้นตรง จึงได้ $x = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

• $\hat{3} = \hat{6}$ เป็นมุมแย้งที่เท่ากัน สรุปได้ว่าขนาน
• $\hat{1} = \hat{5}$ เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่เท่ากัน สรุปได้ว่าขนาน
• $\hat{4} + \hat{6} = 180^\circ$ เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่รวมกันได้ $180^\circ$ สรุปได้ว่าขนาน
• $\hat{3} = \hat{5}$ เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด แต่โจทย์บอกแค่ว่าเท่ากัน ไม่ได้บอกว่ารวมกันได้ $180^\circ$ เช่น มุมละ $70^\circ$ รวมได้ $140^\circ$ เส้นไม่ขนาน ข้อนี้จึงสรุปไม่ได้

1. ลาก $\overleftrightarrow{EF}$ ผ่าน $E$ ให้ขนานกับ $\overleftrightarrow{AB}$ โดยให้ $F$ อยู่ทางขวาของ $E$ จะได้ $\overleftrightarrow{EF} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ ด้วย
2. $A\hat{E}F = B\hat{A}E = 38^\circ$ เพราะเป็นมุมแย้ง มี $\overleftrightarrow{AE}$ เป็นเส้นตัด
3. $F\hat{E}C = D\hat{C}E = 47^\circ$ เพราะเป็นมุมแย้ง มี $\overleftrightarrow{CE}$ เป็นเส้นตัด
4. $A\hat{E}C = 38^\circ + 47^\circ = 85^\circ$

บันได พื้น และกำแพงเป็นรูปสามเหลี่ยม มีมุมฉากตรงที่พื้นชนกำแพง มุมภายในทั้งสามรวมกันได้ $180^\circ$

มุมระหว่างบันไดกับกำแพง $= 180^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$

1. มุมภายนอกเท่ากับผลบวกของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด $(x + 10) + (2x + 5) = 5x - 25$
2. $3x + 15 = 5x - 25$ ได้ $40 = 2x$ จึงได้ $x = 20$
3. $A\hat{C}D = 5(20) - 25 = 75^\circ$ ตรวจ $B\hat{A}C + A\hat{B}C = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$

1. ลากเส้นช่วยก่อน คือ $\overleftrightarrow{DE}$ ผ่าน $A$ ขนานกับ $\overline{BC}$
2. $\overline{AB}$ เป็นเส้นตัด ได้มุมแย้ง $D\hat{A}B = A\hat{B}C$
3. $\overline{AC}$ เป็นเส้นตัด ได้มุมแย้ง $E\hat{A}C = A\hat{C}B$
4. มุมสามมุมที่ $A$ บน $\overleftrightarrow{DE}$ รวมกันได้ $180^\circ$
5. แทนมุมแย้งลงในขั้นที่ 4 ได้ $A\hat{B}C + B\hat{A}C + A\hat{C}B = 180^\circ$

ขั้นที่ 2 ถึง 4 สลับลำดับกันได้ เพราะไม่ได้ใช้ผลของกันและกัน