31.4 ระยะทางและความสูง

ยืนบนพื้นราบมองยอดเสาธง ถ้าใช้เครื่องวัดมุมที่ระดับตา รูปสามเหลี่ยมที่คำนวณเริ่มที่ระดับตา ไม่ใช่พื้น การวาดเส้นแนวนอนจากตาก่อนจึงช่วยป้องกันการลืมความสูงส่วนล่าง

มุมเงยกับมุมก้มวัดจากแนวระดับ

มุมเงยคือมุมจากแนวระดับขึ้นไปยังแนวมอง มุมก้มคือมุมจากแนวระดับลงไปยังแนวมอง แนวระดับที่จุดสูงกับแนวระดับที่พื้นขนานกัน มุมก้มจึงเท่ากับมุมเงยของผู้มองย้อนกลับตามสมบัติมุมแย้ง ต้องระวังว่าไม่ได้วัดจากแนวดิ่ง

สังเกตความสูงส่วนเหนือระดับสายตา และแยกระยะราบจากแนวมอง

ตัวอย่าง 1

ยืนห่างต้นไม้ 15 เมตร พื้นราบเดียวกับโคนต้นไม้ วัดมุมเงยถึงยอด 45 องศาจากระดับตาสูง 1.6 เมตร ต้นไม้สูงเท่าไร

ให้ h เป็นส่วนสูงของยอดเหนือระดับตา ใช้ $\tan45^\circ=h/15$
ได้ h=15 เมตร
ความสูงต้นไม้ทั้งหมด $15+1.6=16.6$ เมตร ต้องบวกส่วนจากพื้นถึงระดับตา

มุมก้มใช้ระยะราบ

ตัวอย่าง 2

กล้องติดบนอาคารสูงจากพื้น 20 เมตร มองจุดบนพื้นราบด้วยมุมก้ม 30 องศา จุดนั้นห่างฐานอาคารในแนวราบเท่าไร

มุมเงยที่จุดบนพื้นเท่ากับมุมก้ม 30 องศา
ให้ d เป็นระยะราบ ได้ $\tan30^\circ=20/d$
ดังนั้น $d=20\sqrt3$ เมตร ประมาณ 34.64 เมตร ระยะนี้ไม่ใช่ความยาวแนวมองซึ่งเป็นด้านฉาก

สองตำแหน่งกับความสูงเดียวกัน

ตัวอย่าง 3

ผู้สังเกตวัดมุมเงยยอดเสาจากพื้นราบได้ 30 องศา เดินตรงเข้าหาเสา 10 เมตรแล้ววัดได้ 60 องศา ถ้าเครื่องวัดอยู่ระดับพื้นและเสาตั้งฉากพื้น เสาสูงเท่าไร

ให้ x เป็นระยะราบจากตำแหน่งใกล้ถึงเสา และ h เป็นความสูง จึงได้ $h=x\tan60^\circ=x\sqrt3$
ตำแหน่งไกลห่าง x+10 ได้ $h=(x+10)\tan30^\circ=(x+10)/\sqrt3$
เท่ากันแล้วคูณ $\sqrt3$ ได้ $3x=x+10$ จึง x=5
เสาสูง $h=5\sqrt3$ เมตร ตรวจตำแหน่งไกล $15/\sqrt3=5\sqrt3$ ตรงกัน

ตรวจสมมติฐานของรูป

โจทย์เหล่านี้ถือว่าพื้นราบ เสาตั้งตรง และระยะที่วัดเป็นแนวราบ หากพื้นลาดหรือวัดระยะตามพื้นเอียง จะไม่ใช่ด้านประชิดในรูปเดิม ต้องปรับแบบจำลองก่อนคำนวณ คำตอบจากแบบจำลองแม่นเท่าข้อมูลระยะและมุมที่วัดมา

ลองคิดก่อน

วัดมุมเงยจากแนวดิ่งได้ 30 องศา แล้วใช้ tan 30 กับระยะพื้นได้เลยไหม

ดูคำตอบ

ไม่ได้ มุมเงยต้องวัดจากแนวระดับ ถ้ามุมกับแนวดิ่งเป็น 30 องศา มุมกับแนวระดับคือ 60 องศา ต้องใช้มุมในสามเหลี่ยมตามรูปที่วาดจริงก่อนเลือกอัตราส่วน

สรุป

มุมเงยและมุมก้มเริ่มจากแนวระดับ
แยกส่วนสูงเหนือระดับตากับความสูงทั้งหมด
ตรวจพื้นราบ แนวดิ่ง และความหมายของระยะก่อนใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก