descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 46 แคลคูลัสเบื้องต้นตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 1 บทที่ 2เพิ่มเติม

46.5 ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

รู้ความเร็วของรถทุกขณะแล้วจะหาตำแหน่งอย่างไร หน้า 46.4 เริ่มจากตำแหน่งแล้วหาอนุพันธ์ได้ความเร็ว หน้านี้เดินย้อนทาง จากความเร็วกลับไปหาตำแหน่ง แต่ความเร็วอย่างเดียวไม่บอกว่ารถเริ่มจากจุดไหน รถสองคันที่วิ่งเร็วเท่ากันทุกวินาทีแต่ออกตัวจากคนละที่ จะมีตำแหน่งต่างกันเป็นค่าคงที่ตลอดทาง คำตอบของการย้อนจึงมีค่าคงที่เพิ่มมาเสมอ

ปัญหาย้อนกลับแบบนี้พบบ่อย เช่นรู้อัตราการไหลของน้ำเข้าถังทุกนาทีแล้วอยากรู้ปริมาณน้ำในถัง หรือรู้ความชันของถนนทุกจุดแล้วอยากรู้ความสูงของถนน

ย้อนการหาอนุพันธ์

นิยาม

FF เป็นปฏิยานุพันธ์ของ ff ถ้า F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) ทุก xx ในช่วงที่พิจารณา เขียน ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx=F(x)+C เรียกว่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ ff เมื่อ CC เป็นค่าคงตัวใดๆ

ที่ต้องมี CC เพราะค่าคงตัวใดก็หาอนุพันธ์ได้ศูนย์ ทั้ง x2x^2 x2+1x^2 + 1 และ x2−2x^2 - 2 ต่างก็มีอนุพันธ์เป็น 2x2x ในทางกราฟ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นกราฟรูปเดียวกันที่เลื่อนขึ้นลง ที่ค่า xx เดียวกันทุกเส้นจึงชันเท่ากัน ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตจึงไม่ใช่ฟังก์ชันเดียว แต่เป็นครอบครัวของฟังก์ชันทั้งหมดนี้

−2−112−2246xy
กราฟ y=x2+Cy = x^2 + C เมื่อ C=−2,−1,0,1,2C = -2, -1, 0, 1, 2 เส้นส้มคือ C=0C = 0 เส้นประคือเส้นสัมผัสที่ x=1x = 1 ขนานกันทุกเส้นเพราะความชันเป็น 22 เท่ากัน

สูตรปริพันธ์ของเลขยกกำลัง

กฎกำลังของอนุพันธ์ลดกำลังลงหนึ่งแล้วคูณด้วยเลขชี้กำลังเดิม การย้อนจึงต้องทำกลับลำดับ คือเพิ่มกำลังขึ้นหนึ่งแล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่

สูตรปริพันธ์

  • ∫xn dx=xn+1n+1+C\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C เมื่อ n≠−1n \ne -1
  • ∫k dx=kx+C\displaystyle\int k\,dx = kx + C และ ∫k f(x) dx=k∫f(x) dx\displaystyle\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx เมื่อ kk เป็นค่าคงตัว
  • ∫(f(x)±g(x)) dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx\displaystyle\int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx

ตรวจสูตรแรกด้วยการหาอนุพันธ์ของ xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1} ได้ (n+1)xnn+1=xn\dfrac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n ตรงกับฟังก์ชันเดิม เงื่อนไข n≠−1n \ne -1 จำเป็นเพราะถ้า n=−1n = -1 ตัวส่วน n+1n + 1 เป็นศูนย์ ปริพันธ์ของ 1x\dfrac{1}{x} จึงไม่อยู่ในบทนี้ การตรวจคำตอบที่แน่นอนที่สุดคือหาอนุพันธ์กลับแล้วต้องได้โจทย์เดิม

ตัวอย่าง 1

หา ∫(6x2−4x+3) dx\int(6x^2-4x+3)\,dx

  1. แยกทีละพจน์ แล้วเพิ่มเลขชี้กำลังหนึ่งและหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่ 6x26x^2 ได้ 6x33=2x3\dfrac{6x^3}{3} = 2x^3 ส่วน −4x-4x ได้ −4x22=−2x2\dfrac{-4x^2}{2} = -2x^2 ส่วน 33 ได้ 3x3x
  2. รวมได้ 2x3−2x2+3x+C2x^3-2x^2+3x+C ใส่ CC ครั้งเดียวพอ เพราะผลรวมของค่าคงตัวหลายตัวก็เป็นค่าคงตัวเดียว
  3. ตรวจ อนุพันธ์ของ 2x3−2x2+3x2x^3 - 2x^2 + 3x คือ 6x2−4x+36x^2 - 4x + 3 ตรงกับโจทย์

ตัวอย่าง 2

หา ∫(3x−4x3)dx\displaystyle\int\left(3\sqrt{x} - \frac{4}{x^3}\right)dx เมื่อ xx มากกว่าศูนย์

  1. เขียนเป็นเลขยกกำลังก่อน 3x1/2−4x−33x^{1/2} - 4x^{-3} เหมือนตอนหาอนุพันธ์ในหน้า 46.3
  2. พจน์แรก กำลังใหม่คือ 32\tfrac{3}{2} ได้ 3⋅x3/23/2=2x3/23 \cdot \dfrac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2}
  3. พจน์สอง กำลังใหม่คือ −2-2 ได้ −4⋅x−2−2=2x−2-4 \cdot \dfrac{x^{-2}}{-2} = 2x^{-2} ระวังเครื่องหมาย ลบหารลบได้บวก
  4. ตอบ 2xx+2x2+C2x\sqrt{x} + \dfrac{2}{x^2} + C ตรวจ อนุพันธ์คือ 3x1/2−4x−33x^{1/2} - 4x^{-3} ตรงกับโจทย์

ตัวอย่าง 3

หา ∫(x+1)(x−2) dx\int (x + 1)(x - 2)\,dx

  1. ไม่มีสูตรปริพันธ์ของผลคูณที่ใช้ได้ตรงๆ จึงกระจายให้เป็นผลบวกของเลขยกกำลังก่อน (x+1)(x−2)=x2−x−2(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2
  2. อินทิเกรตทีละพจน์ได้ x33−x22−2x+C\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} - 2x + C
  3. ตรวจ อนุพันธ์คือ x2−x−2x^2 - x - 2 ซึ่งเท่ากับโจทย์หลังกระจาย

ลองคิดก่อน

เพื่อนหา ∫x⋅x dx\int x \cdot x\,dx โดยอินทิเกรตแต่ละตัวแล้วคูณกัน ได้ x22⋅x22=x44\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{x^2}{2} = \dfrac{x^4}{4} ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก x⋅x=x2x \cdot x = x^2 จึงได้ x33+C\dfrac{x^3}{3} + C ตรวจคำตอบของเพื่อนด้วยการหาอนุพันธ์ x44\dfrac{x^4}{4} ได้ x3x^3 ไม่ใช่ x2x^2 ปริพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของปริพันธ์ เหมือนกับที่อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์ ให้กระจายหรือจัดรูปเป็นผลบวกก่อนเสมอ

หาฟังก์ชันจากความชันและจุดที่ผ่าน

ครอบครัว F(x)+CF(x) + C มีกราฟนับไม่ถ้วน ถ้ารู้เพิ่มว่ากราฟผ่านจุดหนึ่ง จะเลือกได้เส้นเดียว วิธีทำคือแทนจุดนั้นลงในคำตอบที่มี CC แล้วแก้สมการหา CC ข้อมูลแบบนี้เรียกว่าเงื่อนไขเริ่มต้น

ตัวอย่าง 4

(1) เส้นโค้งมีความชันที่จุด (x,y)(x, y) ใดๆ เป็น dydx=4x−3\dfrac{dy}{dx} = 4x - 3 และผ่านจุด (2,5)(2, 5) หาสมการเส้นโค้ง

(2) ให้ f′(x)=3x2−2f'(x)=3x^2-2 และ f(1)=5f(1)=5 หา f(2)f(2)

  1. ข้อ (1) อินทิเกรตได้ y=2x2−3x+Cy = 2x^2 - 3x + C แทน x=2x = 2 และ y=5y = 5 ได้ 8−6+C=58 - 6 + C = 5 จึง C=3C = 3
  2. สมการคือ y=2x2−3x+3y = 2x^2 - 3x + 3 ตรวจ ความชันคือ 4x−34x - 3 และที่ x=2x = 2 ได้ y=5y = 5 ครบทั้งสองเงื่อนไข
  3. ข้อ (2) ย้อนอนุพันธ์ได้ f(x)=x3−2x+Cf(x)=x^3-2x+C แทน x=1x=1 ได้ 1−2+C=51-2+C=5 จึง C=6C=6
  4. ดังนั้น f(2)=8−4+6=10f(2)=8-4+6=10 ถ้าลืมหา CC แล้วตอบ f(2)=4f(2) = 4 จะผิดไป 66 พอดี

อย่าใส่ค่าเริ่มต้นเป็นค่าคงตัวทันที

ในข้อ (2) ค่า f(1)=5f(1) = 5 ไม่ได้แปลว่า C=5C = 5 เพราะแทน x=1x = 1 แล้วพจน์อื่นไม่เป็นศูนย์ ต้องเขียนสมการจากเงื่อนไขก่อนจึงค่อยหาค่าคงตัว ค่าเริ่มต้นเท่ากับ CC พอดีเฉพาะกรณีที่แทน x=0x = 0 แล้วพจน์อื่นหายหมด

หาตำแหน่งจากความเร็วและความเร่ง

ปริพันธ์ของความเร็วตามเวลาให้ตำแหน่งบวกค่าคงตัว และปริพันธ์ของความเร่งให้ความเร็วบวกค่าคงตัว ถ้าโจทย์ให้ความเร่งมา ต้องอินทิเกรตสองครั้ง จึงมีค่าคงตัวสองตัว และต้องใช้ข้อมูลเริ่มต้นสองอย่าง คือความเร็วเริ่มต้นและตำแหน่งเริ่มต้น จำนวนข้อมูลที่ต้องใช้เท่ากับจำนวนครั้งที่ย้อนอนุพันธ์

ตัวอย่าง 5

รถมีความเร็ว v(t)=2t+1v(t)=2t+1 เมตรต่อวินาที และตำแหน่งเริ่ม s(0)=4s(0)=4 เมตร หา s(3)s(3)

  1. ปริพันธ์ให้ s(t)=t2+t+Cs(t)=t^2+t+C แทน t=0t = 0 ได้ 0+0+C=40 + 0 + C = 4 จึง C=4C=4 กรณีนี้ค่าเริ่มต้นเท่ากับ CC พอดีเพราะแทนศูนย์
  2. s(3)=9+3+4=16s(3)=9+3+4=16 เมตร เป็นตำแหน่งบนเส้นทาง ไม่ใช่ระยะที่วิ่งจากจุดเริ่ม ระยะที่วิ่งได้คือ 16−4=1216 - 4 = 12 เมตร
  3. รถคันนี้ความเร็วเป็นบวกตลอด จึงไม่เคยกลับทิศ ระยะทางจึงเท่ากับการเปลี่ยนตำแหน่ง ถ้าความเร็วเปลี่ยนเครื่องหมายระหว่างทาง ต้องแยกคิดทีละช่วง

ตัวอย่าง 6

โยนลูกบอลขึ้นจากพื้นด้วยความเร็ว 2020 เมตรต่อวินาที ความเร่งจากแรงโน้มถ่วงคือ a(t)=−10a(t) = -10 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง หาสูตรความสูง s(t)s(t)

  1. อินทิเกรตความเร่งได้ v(t)=−10t+C1v(t) = -10t + C_1 ความเร็วตอนโยนคือ v(0)=20v(0) = 20 จึง C1=20C_1 = 20 และ v(t)=20−10tv(t) = 20 - 10t
  2. อินทิเกรตความเร็วได้ s(t)=20t−5t2+C2s(t) = 20t - 5t^2 + C_2 โยนจากพื้น s(0)=0s(0) = 0 จึง C2=0C_2 = 0
  3. ได้ s(t)=20t−5t2s(t) = 20t - 5t^2 ซึ่งเป็นสูตรเดียวกับตัวอย่างที่ 2 ของหน้า 46.4 คราวนี้เราสร้างสูตรขึ้นเองจากความเร่งคงตัวกับข้อมูลเริ่มต้นสองอย่าง

ลองคิดก่อน

ถ้าคำตอบไม่มี CC แล้วหาอนุพันธ์กลับได้ตรงกับโจทย์ ถือว่าเป็นปริพันธ์ไม่จำกัดเขตครบหรือไม่

ดูคำตอบ

ยังไม่ครบ ปฏิยานุพันธ์หนึ่งตัวเป็นแค่หนึ่งเส้นในครอบครัว ส่วนปริพันธ์ไม่จำกัดเขตคือทั้งครอบครัว ถ้าโจทย์ยังไม่ให้เงื่อนไขเริ่มต้นต้องคงค่าคงตัวไว้ ในตัวอย่างที่ 4 ถ้าทิ้ง CC ตั้งแต่แรก จะไม่มีที่ให้ใส่ข้อมูลว่ากราฟผ่าน (2,5)(2, 5) เลย

สรุป

  • ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตคือครอบครัวของปฏิยานุพันธ์ F(x)+CF(x) + C กราฟเลื่อนขึ้นลงแต่ชันเท่ากันที่ xx เดียวกัน
  • ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C เมื่อ n≠−1n \ne -1 เขียนรากเป็นเลขยกกำลังและกระจายผลคูณก่อน
  • หาค่าคงตัวด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น ความเร่งต้องอินทิเกรตสองครั้งและใช้ข้อมูลสองอย่าง
  • ตรวจคำตอบทุกครั้งด้วยการหาอนุพันธ์กลับ

หน้าถัดไปจะใช้ปฏิยานุพันธ์ตอบคำถามที่ดูไม่เกี่ยวกันเลย คือพื้นที่ใต้กราฟ และจะเห็นว่าค่าคงตัว CC หักล้างกันหายไปเอง