29.3 ปริมาตรของพีระมิด กรวย และทรงกลม
กรวยกับทรงกระบอกที่มีฐานเท่ากันและสูงเท่ากันไม่ได้จุน้ำเท่ากัน เพราะกรวยแคบลงไปถึงยอด การเทน้ำเป็นการเปรียบเทียบปริมาตรได้ แต่การทดลองหนึ่งชุดเป็นหลักฐานประกอบความเข้าใจ สูตรต่อไปนี้ใช้กับรูปทรงเรขาคณิตตามเงื่อนไขที่กำหนด
หนึ่งในสามของฐานคูณสูง
สมบัติ
พีระมิดมีปริมาตร เมื่อ B คือพื้นที่ฐาน และ h คือความสูงตั้งฉากจากยอดถึงระนาบฐาน กรวยเป็นกรณีฐานวงกลม จึงได้
การแบ่งปริซึมสามเหลี่ยมที่เหมาะสมเป็นพีระมิดสามส่วนปริมาตรเท่ากันช่วยอธิบายตัวคูณหนึ่งในสาม แล้วขยายแนวคิดไปยังฐานหลายเหลี่ยมและวงกลม ความสูงในสูตรคือระยะห่างระหว่างยอดกับระนาบฐาน ไม่ใช่ความยาวเส้นเอียงไปตามผิว
ตัวอย่าง 1
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 8 ยาว 9 สูงตั้งฉาก 5 เซนติเมตร มีปริมาตรเท่าใด
- พื้นที่ฐาน ตารางเซนติเมตร
- ลูกบาศก์เซนติเมตร
- ถ้าใช้ จะเป็นปริมาตรปริซึมฐานและสูงเท่ากัน ซึ่งมากกว่าพีระมิดสามเท่า
ตัวอย่าง 2
กรวยรัศมี 5 สูงเอียง 13 เซนติเมตร มีปริมาตรเท่าใดในรูป
- หาความสูงตั้งฉากจาก จึง
- ลูกบาศก์เซนติเมตร
- ตรวจว่าความสูงตั้งฉาก 12 สั้นกว่าสูงเอียง 13 และกรวยมีปริมาตรหนึ่งในสามของทรงกระบอก
ปริมาตรทรงกลม
สมบัติ
ทรงกลมรัศมี r มีปริมาตร ครึ่งทรงกลมมีปริมาตร
สังเกตว่าในพื้นที่ผิวใช้กำลังสอง แต่ปริมาตรใช้กำลังสาม เมื่อขยายความยาวทุกส่วนเป็นสองเท่า พื้นที่จึงเป็นสี่เท่าและปริมาตรเป็นแปดเท่า การตรวจหน่วยช่วยจับการใช้สูตรสลับกันได้
ตัวอย่าง 3
ลูกบอลทรงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 เซนติเมตร มีปริมาตรเท่าใดในรูป ถ้าเพิ่มเส้นผ่านศูนย์กลางเป็น 24 เซนติเมตร ปริมาตรเพิ่มเป็นกี่เท่า
- รัศมีเดิม เซนติเมตร
- ปริมาตร ลูกบาศก์เซนติเมตร
- ความยาวเพิ่มสองเท่า ปริมาตรเพิ่ม เท่า จึงเป็น
ลองคิดก่อน
กรวยรัศมี 3 สูง 8 กับพีระมิดพื้นที่ฐาน 9 สูง 8 มีปริมาตรเท่ากันไหม เพราะทั้งสองมีเลข 9 ในสูตร
ดูคำตอบ
ไม่เท่ากัน พื้นที่ฐานกรวยคือ ส่วนพีระมิดมีพื้นที่ฐาน 9 ต้องเทียบพื้นที่ฐานจริง ไม่ใช่เลขรัศมีกำลังสองเพียงอย่างเดียว กรวยได้ ส่วนพีระมิดได้ 24 ลูกบาศก์หน่วย
สรุป
- ปริมาตรพีระมิดและกรวยใช้ความสูงตั้งฉากและตัวคูณหนึ่งในสาม
- รัศมีทรงกลมเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง
- ตรวจหน่วยลูกบาศก์และอย่าใช้พื้นที่ฐานแทนรัศมีหรือกลับกัน