2.2 สร้างและแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง

ครูวาด $\overline{AB}$ ไว้บนกระดาน แล้วสั่งให้วาดเส้นที่ยาวเท่ากันลงในสมุด จากนั้นหาจุดกึ่งกลางของมัน ห้ามอ่านตัวเลขบนไม้บรรทัด ทั้งสองงานทำได้ด้วยวงเวียนกับสันตรง และเป็นการสร้างสองอย่างแรกที่ทุกการสร้างหลังจากนี้ต้องใช้

สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับที่กำหนด

ตัวอย่าง 1

กำหนด $\overline{AB}$ มาให้ จงสร้าง $\overline{PQ}$ ให้ยาวเท่ากับ $\overline{AB}$

ลากรังสีจากจุด $P$ ให้ยาวกว่า $\overline{AB}$ พอสมควร
กางวงเวียนให้ปลายเหล็กอยู่ที่ $A$ และปลายดินสออยู่ที่ $B$
ไม่เปลี่ยนรัศมี ยกวงเวียนไปวางปลายเหล็กที่ $P$ เขียนส่วนโค้งตัดรังสีที่จุด $Q$
ได้ $PQ = AB$ เพราะ $Q$ อยู่บนส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง $P$ และรัศมียาวเท่ากับ $AB$

ถ่ายความยาว AB ไปวางบนรังสีที่เริ่มจาก P

บวกและลบความยาว

ถ่ายความยาวต่อกันบนรังสีเดียวกันได้หลายครั้ง จึงสร้างเส้นที่ยาวเท่าผลบวกหรือผลต่างของเส้นที่กำหนดได้ โดยไม่ต้องรู้ว่าแต่ละเส้นยาวกี่เซนติเมตร

ตัวอย่าง 2

กำหนด $\overline{AB}$ ยาว $5$ เซนติเมตร และ $\overline{CD}$ ยาว $2$ เซนติเมตร จงสร้าง $\overline{PQ}$ ที่ $PQ = AB + CD$ และ $\overline{RS}$ ที่ $RS = AB - CD$ แล้วบอกความยาวของทั้งสองเส้น

ผลบวก ลากรังสีจาก $P$ ถ่ายความยาว $AB$ จาก $P$ ได้จุด $X$ แล้วใช้ $X$ เป็นจุดศูนย์กลาง ถ่ายความยาว $CD$ ต่อไปทางเดิม ได้จุด $Q$
$PQ = PX + XQ = AB + CD = 5 + 2 = 7$ เซนติเมตร
ผลต่าง ลากรังสีจาก $R$ ถ่ายความยาว $AB$ จาก $R$ ได้จุด $Y$ แล้วใช้ $Y$ เป็นจุดศูนย์กลาง ถ่ายความยาว $CD$ ย้อนกลับเข้าหา $R$ ได้จุด $S$
$RS = RY - SY = AB - CD = 5 - 2 = 3$ เซนติเมตร

ถ้าต้องการ $2AB$ ก็ถ่ายความยาว $AB$ ต่อกันสองครั้งบนรังสีเดียวกัน ได้เส้นยาว $2 \times 5 = 10$ เซนติเมตร

แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง

เลื่อนแถบขั้นที่ทีละขั้นเพื่อดูการสร้าง แล้วลากจุด $A$ หรือ $B$ ไปที่อื่น สังเกตว่าทุกครั้งได้ $AM = MB$

ขั้นที่ 1 ถึง 3 คือสิ่งที่ต้องทำในกระดาษ ขั้นที่ 4 แสดงผลที่ได้

วิธีแบ่งครึ่ง AB

กางวงเวียนให้ยาวมากกว่าครึ่งหนึ่งของ $AB$ ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งทั้งด้านบนและด้านล่างของ $\overline{AB}$
ใช้รัศมีเดิม ใช้ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดส่วนโค้งแรกที่ $P$ และ $Q$
ลาก $\overleftrightarrow{PQ}$ ตัด $\overline{AB}$ ที่ $M$

จะได้ $AM = MB$ และ $\overleftrightarrow{PQ}$ ตั้งฉากกับ $\overline{AB}$

นิยาม

จุด $M$ บน $\overline{AB}$ ที่ทำให้ $AM = MB$ เรียกว่าจุดกึ่งกลางของ $\overline{AB}$ ส่วนเส้นตรง $PQ$ ที่ผ่านจุดกึ่งกลางและตั้งฉากกับ $\overline{AB}$ เรียกว่าเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากของ $\overline{AB}$

ทำไมได้จุดกึ่งกลางจริง

จุด $P$ อยู่บนส่วนโค้งรอบ $A$ และส่วนโค้งรอบ $B$ ซึ่งใช้รัศมีเท่ากัน จึงได้ $PA = PB$ แบบเดียวกัน $QA = QB$ ทั้ง $P$ และ $Q$ จึงเป็นจุดที่ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน

ลองพับกระดาษให้จุด $A$ ทับจุด $B$ พอดี รอยพับคือที่อยู่ของทุกจุดที่ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน รอยพับนี้ผ่านกึ่งกลางของ $\overline{AB}$ และตั้งฉากกับ $\overline{AB}$ เพราะครึ่งซ้ายกับครึ่งขวาทับกันสนิท จุด $P$ กับ $Q$ ต่างก็อยู่บนรอยพับ เส้นตรงผ่าน $P$ กับ $Q$ จึงเป็นรอยพับนั้นเอง การพิสูจน์แบบเต็มรูปจะได้เรียนในบทที่ 17 เรื่องความเท่ากันทุกประการ

ห้ามเปลี่ยนรัศมีระหว่างขั้นที่ 1 กับขั้นที่ 2

ถ้าส่วนโค้งรอบ $A$ กับรอบ $B$ ใช้รัศมีไม่เท่ากัน จุดตัดจะห่างจาก $A$ กับ $B$ ไม่เท่ากัน เส้นที่ลากจะไม่ผ่านจุดกึ่งกลาง ให้เขียนส่วนโค้งรอบ $A$ ทั้งบนและล่างก่อน แล้วยกวงเวียนไปที่ $B$ ทันทีโดยไม่แตะขาวงเวียน

ลองคิดก่อน

ส้มกางวงเวียนยาว $2$ เซนติเมตร เพื่อแบ่งครึ่ง $\overline{AB}$ ที่ยาว $6$ เซนติเมตร เขียนส่วนโค้งจาก $A$ และ $B$ แล้วหาจุดตัดไม่เจอ เกิดอะไรขึ้น

ดูคำตอบ

ส่วนโค้งรอบ $A$ ยื่นเข้าหา $B$ ได้แค่ $2$ เซนติเมตร ส่วนโค้งรอบ $B$ ก็ยื่นเข้าหา $A$ ได้แค่ $2$ เซนติเมตร รวมกัน $4$ เซนติเมตร ยังไม่ถึง $6$ เซนติเมตร จึงเหลือช่องว่างตรงกลาง $2$ เซนติเมตร ส่วนโค้งไม่มีวันตัดกัน รัศมีต้องยาวกว่าครึ่งหนึ่งของ $AB$ คือยาวกว่า $3$ เซนติเมตร ถ้ากะไม่ถูก ให้กางวงเวียนประมาณสามในสี่ของ $AB$ ไว้ก่อน

รัศมีสั้นกว่าครึ่งหนึ่งของ AB ส่วนโค้งไม่ตัดกัน

ตัวอย่าง 3

$\overline{AB}$ ยาว $10$ เซนติเมตร จงแบ่ง $\overline{AB}$ ออกเป็นสี่ส่วนเท่ากัน และบอกความยาวของแต่ละส่วน

แบ่งครึ่ง $\overline{AB}$ ได้จุดกึ่งกลาง $M$ ทำให้ $AM = MB = 10 \div 2 = 5$ เซนติเมตร
แบ่งครึ่ง $\overline{AM}$ ได้จุด $K$ และแบ่งครึ่ง $\overline{MB}$ ได้จุด $N$
ได้สี่ส่วน $AK = KM = MN = NB = 5 \div 2 = 2.5$ เซนติเมตร ตรงกับ $10 \div 4 = 2.5$

แบ่งครึ่งซ้ำแบบนี้ได้ $2$ ส่วน $4$ ส่วน $8$ ส่วน และต่อไปเรื่อยๆ แต่ถ้าต้องการ $3$ ส่วนเท่ากัน การแบ่งครึ่งช่วยไม่ได้ ต้องใช้เส้นขนาน ซึ่งไม่อยู่ในบทนี้

ตัวอย่าง 4

บ้านของแก้มอยู่ที่จุด $A$ บ้านของบอสอยู่ที่จุด $B$ ทั้งสองบ้านอยู่ด้านเดียวกันของถนนตรง $\ell$ หมู่บ้านจะตั้งตู้น้ำดื่มริมถนน $\ell$ ให้ห่างจากบ้านทั้งสองเท่ากัน ตู้ควรอยู่ที่ไหน

จุดที่ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากันทุกจุดอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากของ $\overline{AB}$ ตามเหตุผลเรื่องรอยพับ
สร้างเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากของ $\overline{AB}$ ด้วยวิธีข้างบน แล้วลากต่อให้ยาวจนถึงถนน
จุดที่เส้นนี้ตัดถนน $\ell$ คือที่ตั้งตู้ เพราะอยู่ทั้งบนถนนและห่างจากบ้านทั้งสองเท่ากัน

สรุป

สร้างเส้นให้ยาวเท่าเส้นที่กำหนด ด้วยการถ่ายความยาวด้วยวงเวียน
ถ่ายความยาวต่อกันทางเดิมได้ผลบวก ถ่ายย้อนกลับได้ผลต่าง
แบ่งครึ่ง $\overline{AB}$ ใช้รัศมีเดียวกันเขียนส่วนโค้งจาก $A$ และ $B$ รัศมีต้องยาวกว่าครึ่งหนึ่งของ $AB$
เส้นที่ได้ผ่านจุดกึ่งกลางและตั้งฉากกับ $\overline{AB}$ ทุกจุดบนเส้นนี้ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน