7.1 อัตราส่วนและอัตราส่วนที่เท่ากัน

ฉลากน้ำหวานเข้มข้นเขียนว่า ผสมน้ำหวาน 1 แก้วกับน้ำเปล่า 4 แก้ว ถ้าจะทำให้คนทั้งห้องดื่ม ใช้น้ำหวาน 3 แก้ว ต้องใส่น้ำเปล่ากี่แก้ว รสจึงจะหวานเท่าเดิม

ลองคิดก่อน

นิดตอบว่า 6 แก้ว เพราะน้ำหวานเพิ่มขึ้น 2 แก้ว น้ำเปล่าก็ต้องเพิ่มขึ้น 2 แก้ว ส่วนนัทตอบว่า 12 แก้ว ใครถูก

ดูคำตอบ

นัทถูก สูตรเดิมมีน้ำเปล่าเป็น 4 เท่าของน้ำหวาน น้ำหวาน 3 แก้วจึงต้องใช้น้ำเปล่า $3 \times 4 = 12$ แก้ว ถ้าใส่แค่ 6 แก้ว น้ำเปล่าเป็นแค่ 2 เท่าของน้ำหวาน รสจะหวานกว่าเดิม การเพิ่มของให้รสเท่าเดิมต้องคูณทั้งสองอย่างด้วยจำนวนเดียวกัน ไม่ใช่บวกเพิ่มเท่ากัน

การเปรียบเทียบแบบ "กี่เท่า" นี้คือเรื่องของบทนี้ทั้งบท

อัตราส่วนคืออะไร

นิยาม

อัตราส่วนของปริมาณ $a$ ต่อปริมาณ $b$ เขียนแทนด้วย $a : b$ หรือ $\dfrac{a}{b}$ อ่านว่า $a$ ต่อ $b$ เรียก $a$ ว่าจำนวนแรก และ $b$ ว่าจำนวนที่สอง โดย $a$ และ $b$ เป็นจำนวนบวก

น้ำหวานต่อน้ำเปล่าในสูตรบนฉลากจึงเขียนว่า $1 : 4$ ข้อควรระวังมีสองเรื่อง

ลำดับสำคัญ น้ำหวานต่อน้ำเปล่าคือ $1 : 4$ แต่น้ำเปล่าต่อน้ำหวานคือ $4 : 1$ ซึ่งมีความหมายต่างกัน เขียนตามลำดับที่โจทย์ถามเสมอ
หน่วย ถ้าเป็นปริมาณชนิดเดียวกัน ต้องเปลี่ยนให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อน แล้วไม่ต้องเขียนหน่วย ถ้าเป็นปริมาณต่างชนิดกัน เช่น ราคากับจำนวนชิ้น ต้องเขียนหน่วยกำกับ อัตราส่วนแบบหลังนี้บางทีเรียกว่าอัตรา เช่น ไข่ 10 ฟอง ราคา 45 บาท

ตัวอย่าง 1

ห้อง ม.1/3 มีนักเรียนชาย 18 คน และนักเรียนหญิง 22 คน ดินสอของครูยาว 15 เซนติเมตร ไม้บรรทัดบนกระดานยาว 1 เมตร เขียนอัตราส่วนต่อไปนี้

(1) จำนวนนักเรียนชายต่อนักเรียนหญิง (2) จำนวนนักเรียนหญิงต่อนักเรียนทั้งห้อง (3) ความยาวของดินสอต่อความยาวของไม้บรรทัด

ชายต่อหญิง เขียนจำนวนชายก่อน ได้ $18 : 22$
ทั้งห้องมี $18 + 22 = 40$ คน หญิงต่อทั้งห้องจึงเป็น $22 : 40$
ความยาวเป็นปริมาณชนิดเดียวกันแต่หน่วยต่างกัน เปลี่ยน 1 เมตรเป็น 100 เซนติเมตรก่อน ได้ $15 : 100$ ถ้าเขียน $15 : 1$ จะแปลว่าดินสอยาวกว่าไม้บรรทัด 15 เท่า ซึ่งผิด

อัตราส่วนที่เท่ากัน

กลับไปที่น้ำหวาน สูตร $1 : 4$ กับการผสม 2 แก้วต่อ 8 แก้ว หรือ 3 แก้วต่อ 12 แก้ว ได้รสเดียวกันทั้งหมด เพราะน้ำเปล่าเป็น 4 เท่าของน้ำหวานเหมือนกัน เราจึงเขียนว่า

1 : 4 = 2 : 8 = 3 : 12

สมบัติ

อัตราส่วนสองอัตราส่วนเท่ากันเมื่อเขียนเป็นเศษส่วนแล้วเท่ากัน หาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วนเดิมได้สองแบบ

หลักการคูณ คูณทั้งจำนวนแรกและจำนวนที่สองด้วยจำนวนบวกเดียวกัน $a : b = (a \times n) : (b \times n)$
หลักการหาร หารทั้งจำนวนแรกและจำนวนที่สองด้วยจำนวนบวกเดียวกัน $a : b = (a \div n) : (b \div n)$

เหตุผลก็คือเรื่องเศษส่วนที่เท่ากัน $\tfrac{a}{b} = \tfrac{a \times n}{b \times n}$ ที่เรียนมาแล้วในบทที่ 4

ตัวอย่าง 2

หาอัตราส่วนที่เท่ากับ $6 : 9$ มาสองอัตราส่วน

ใช้หลักการคูณ คูณทั้งสองจำนวนด้วย $2$ ได้ $12 : 18$
ใช้หลักการหาร $6$ กับ $9$ หารด้วย $3$ ลงตัวทั้งคู่ ได้ $2 : 3$
ดังนั้น $6 : 9 = 12 : 18 = 2 : 3$ ตอบตัวอื่นก็ได้ เช่น $60 : 90$

อัตราส่วนอย่างต่ำ

อัตราส่วนที่หารต่อด้วยจำนวนนับที่มากกว่า 1 ไม่ได้แล้ว เรียกว่าอัตราส่วนอย่างต่ำ เช่น $2 : 3$ วิธีที่เร็วที่สุดคือหารทั้งสองจำนวนด้วย ห.ร.ม. ของมัน ถ้าในอัตราส่วนมีทศนิยมหรือเศษส่วน ให้คูณจนเป็นจำนวนนับก่อน

ตัวอย่าง 3

เขียนอัตราส่วนต่อไปนี้ให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ

(1) $24 : 36$ (2) $0.6 : 1.5$ (3) $\tfrac{1}{2} : \tfrac{2}{3}$

ห.ร.ม. ของ $24$ กับ $36$ คือ $12$ หารทั้งคู่ด้วย $12$ ได้ $2 : 3$
คูณทั้งคู่ด้วย $10$ ให้หายทศนิยม ได้ $6 : 15$ แล้วหารด้วย $3$ ได้ $2 : 5$
ตัวส่วนคือ $2$ กับ $3$ คูณทั้งคู่ด้วย $6$ ได้ $\tfrac{6}{2} : \tfrac{12}{3} = 3 : 4$

ตรวจว่าเท่ากันหรือไม่

บางครั้งเห็นไม่ชัดว่าต้องคูณด้วยอะไร เช่น $4 : 6$ กับ $10 : 15$ วิธีที่ใช้ได้ทุกครั้งคือคูณไขว้

สมบัติ

$a : b = c : d$ ก็ต่อเมื่อ $a \times d = b \times c$

ที่เป็นแบบนี้เพราะ $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}$ คูณทั้งสองข้างด้วย $b \times d$ จะได้ $a \times d = b \times c$

ตัวอย่าง 4

อัตราส่วนแต่ละคู่ต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่

(1) $4 : 6$ กับ $10 : 15$ (2) $5 : 8$ กับ $7 : 11$

$4 \times 15 = 60$ และ $6 \times 10 = 60$ ผลคูณไขว้เท่ากัน จึงเท่ากัน ทั้งคู่เป็น $2 : 3$
$5 \times 11 = 55$ แต่ $8 \times 7 = 56$ ผลคูณไขว้ไม่เท่ากัน จึงไม่เท่ากัน ถึงตัวเลขจะใกล้กันมากก็ตาม

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่า $2 : 3$ กับ $3 : 4$ เท่ากัน เพราะจำนวนที่สองมากกว่าจำนวนแรกอยู่ 1 เหมือนกัน เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก คูณไขว้ได้ $2 \times 4 = 8$ แต่ $3 \times 3 = 9$ อัตราส่วนดูกันที่ว่าจำนวนหนึ่งเป็นกี่เท่าของอีกจำนวน ไม่ได้ดูว่าต่างกันเท่าไร $\tfrac{2}{3}$ ประมาณ $0.67$ ส่วน $\tfrac{3}{4} = 0.75$

ใช้อัตราส่วนเลือกของที่คุ้มกว่า

อัตราที่บอกราคาต่อหนึ่งหน่วย ทำให้เทียบของที่ขายเป็นแพ็กขนาดต่างกันได้

ตัวอย่าง 5

น้ำดื่มแพ็กเล็ก 6 ขวด ราคา 39 บาท แพ็กใหญ่ 12 ขวด ราคา 75 บาท ขวดขนาดเท่ากัน แพ็กไหนคุ้มกว่า

ราคาต่อจำนวนขวดของแพ็กเล็กคือ 39 บาท ต่อ 6 ขวด ทำให้จำนวนที่สองเป็น 1 โดยหารด้วย 6 ได้ 6.50 บาท ต่อ 1 ขวด
แพ็กใหญ่ 75 บาท ต่อ 12 ขวด หารด้วย 12 ได้ 6.25 บาท ต่อ 1 ขวด
แพ็กใหญ่ถูกกว่าขวดละ 25 สตางค์ จึงคุ้มกว่า

สรุป

อัตราส่วน $a : b$ เปรียบเทียบว่า $a$ เป็นกี่เท่าของ $b$ ลำดับสำคัญ
ปริมาณชนิดเดียวกันต้องเปลี่ยนเป็นหน่วยเดียวกันก่อน ปริมาณต่างชนิดต้องเขียนหน่วยกำกับ
คูณหรือหารทั้งสองจำนวนด้วยจำนวนบวกเดียวกัน ได้อัตราส่วนที่เท่ากัน ห้ามบวกหรือลบ
อัตราส่วนอย่างต่ำได้จากการหารด้วย ห.ร.ม.
$a : b = c : d$ ก็ต่อเมื่อ $a \times d = b \times c$