13.2 การสะท้อน

ยืนหน้ากระจกแล้วยกมือขวา คนในกระจกยกมือซ้าย เดินเข้าหากระจกหนึ่งก้าว คนในกระจกก็เดินเข้ามาหนึ่งก้าวเหมือนกัน เงาในกระจกจึงอยู่ลึกเข้าไปในกระจกเท่ากับที่เรายืนห่างจากกระจกเสมอ สองข้อสังเกตนี้คือหัวใจของการสะท้อน

การสะท้อนคืออะไร

นิยาม

การสะท้อนคือการแปลงที่มีเส้นตรงเส้นหนึ่งเป็นเส้นสะท้อน แต่ละจุด $P$ ของรูปต้นแบบมีภาพ $P'$ ที่

อยู่คนละข้างของเส้นสะท้อน
ทำให้เส้นสะท้อนตั้งฉากกับ $PP'$ และแบ่งครึ่ง $PP'$ พอดี

ส่วนจุดที่อยู่บนเส้นสะท้อน ภาพคือจุดเดิม

เส้นสะท้อน ℓ ตั้งฉากกับ PP′ ที่ M และ PM = MP′ ส่วน Q อยู่บนเส้นสะท้อน จึงเป็นภาพของตัวเอง

สะท้อนจุดบนกระดาษ

ลากเส้นจาก $P$ ไปตั้งฉากกับเส้นสะท้อน ด้วยไม้ฉากหรือวิธีสร้างเส้นตั้งฉากในบทที่ 2 ให้ตัดเส้นสะท้อนที่ $M$
ต่อเส้นนั้นออกไปอีกฝั่ง แล้ววัดให้ $MP'$ ยาวเท่ากับ $PM$ ได้จุด $P'$
สะท้อนรูปหลายเหลี่ยม ให้สะท้อนจุดยอดทีละจุด แล้วต่อจุดยอดของภาพตามลำดับเดิม

สะท้อนบนระนาบพิกัด

กราฟข้างล่างมีสามเหลี่ยม $ABC$ กับเส้นสะท้อนสีม่วง ตอนเริ่มเส้นสะท้อนคือแกน $y$ ลองลากจุดยอด แล้วสังเกตว่าพิกัดไหนเปลี่ยน พิกัดไหนไม่เปลี่ยน จากนั้นติ๊กช่องเส้นแนวนอนเพื่อสะท้อนข้ามแกน $x$ และเลื่อนแถบ $m$ เพื่อย้ายเส้นสะท้อน

เส้นประสีเขียวเชื่อมจุดกับภาพของมัน ทุกเส้นตั้งฉากกับเส้นสะท้อน และถูกเส้นสะท้อนแบ่งครึ่ง

เมื่อเส้นสะท้อนคือแกน $y$ จุดกับภาพอยู่สูงเท่ากัน และห่างจากแกน $y$ เท่ากันแต่อยู่คนละฝั่ง พิกัด $y$ จึงเท่าเดิม ส่วนพิกัด $x$ เปลี่ยนเครื่องหมาย การสะท้อนข้ามแกน $x$ ก็เป็นแบบเดียวกันโดยสลับบทบาทของ $x$ กับ $y$

ถ้าเส้นสะท้อนเป็นเส้นตั้ง $x = m$ ที่ไม่ใช่แกน $y$ ให้ใช้ข้อที่ว่าเส้นสะท้อนแบ่งครึ่ง $PP'$ จุดกึ่งกลางระหว่าง $x$ กับ $x'$ ต้องเป็น $m$ คือ $\tfrac{x + x'}{2} = m$ จึงได้ $x' = 2m - x$

สมบัติ

เส้นสะท้อน	ภาพของ $(x, y)$
แกน $x$	$(x, -y)$
แกน $y$	$(-x, y)$
เส้นตั้ง $x = m$	$(2m - x,\ y)$
เส้นนอน $y = m$	$(x,\ 2m - y)$

สองบรรทัดแรกเป็นกรณีพิเศษของสองบรรทัดหลังเมื่อ $m = 0$ ถ้าจำไม่ได้ ให้ใช้วิธีนับระยะจากเส้นสะท้อนแบบในตัวอย่างข้างล่าง ซึ่งได้คำตอบเดียวกัน

ตัวอย่าง 1

จุด $P(4, -3)$ สะท้อนข้ามแกน $x$ และสะท้อนข้ามแกน $y$ ได้ภาพที่ใด

ข้ามแกน $x$ จุดอยู่ใต้แกน $x$ ลงไป $3$ หน่วย ภาพจึงอยู่เหนือแกน $x$ ขึ้นไป $3$ หน่วย ในแนวตั้งเดียวกัน ได้ $(4, 3)$
ข้ามแกน $y$ จุดอยู่ขวาแกน $y$ $4$ หน่วย ภาพจึงอยู่ซ้าย $4$ หน่วย ที่ความสูงเดิม ได้ $(-4, -3)$
ตรงกับกฎ ข้ามแกน $x$ เปลี่ยนเครื่องหมายของ $y$ ข้ามแกน $y$ เปลี่ยนเครื่องหมายของ $x$

ตัวอย่าง 2

สามเหลี่ยม $ABC$ มีจุดยอด $A(-5, 1)$ $B(-1, 2)$ และ $C(-4, 4)$ สะท้อนข้ามเส้น $x = -1$ จงหาพิกัดของจุดยอดของภาพ

นับระยะ $A$ อยู่ที่ $x = -5$ ห่างจากเส้น $x = -1$ ไปทางซ้าย $4$ หน่วย ภาพจึงอยู่ทางขวาของเส้น $4$ หน่วย คือ $x = -1 + 4 = 3$ ได้ $A'(3, 1)$
ใช้กฎ $x' = 2m - x = 2(-1) - (-5) = 3$ ได้คำตอบเดียวกัน
$B$ อยู่ที่ $x = -1$ ซึ่งอยู่บนเส้นสะท้อนพอดี ภาพจึงเป็นจุดเดิม $B'(-1, 2)$
$C$ ได้ $x' = -2 - (-4) = 2$ จึงได้ $C'(2, 4)$ พิกัด $y$ ของทุกจุดไม่เปลี่ยน เพราะเส้นสะท้อนเป็นเส้นตั้ง

ตัวอย่าง 3

จุด $P(-3, -1)$ สะท้อนข้ามเส้น $y = 2$ ได้ภาพที่ใด

เส้น $y = 2$ เป็นเส้นนอน ภาพจึงอยู่ในแนวตั้งเดียวกับ $P$ พิกัด $x$ ยังเป็น $-3$
$P$ อยู่ใต้เส้น $y = 2$ ลงมา $2 - (-1) = 3$ หน่วย ภาพจึงอยู่เหนือเส้นขึ้นไป $3$ หน่วย คือ $y = 5$
ได้ $P'(-3, 5)$ ตรวจด้วยกฎ $y' = 2(2) - (-1) = 5$

ลองคิดก่อน

เพื่อนสะท้อนจุด $(5, 3)$ ข้ามเส้น $x = 2$ แล้วตอบ $(-5, 3)$ เพราะคิดว่า สะท้อน คือการเปลี่ยนเครื่องหมาย เพื่อนพลาดตรงไหน

ดูคำตอบ

การเปลี่ยนเครื่องหมายใช้ได้เฉพาะเมื่อเส้นสะท้อนคือแกน $y$ ซึ่งก็คือเส้น $x = 0$ จุด $(5, 3)$ อยู่ขวาเส้น $x = 2$ ไป $3$ หน่วย ภาพจึงอยู่ซ้ายเส้น $3$ หน่วย คือ $x = -1$ คำตอบคือ $(-1, 3)$ ตรวจด้วยกฎ $2(2) - 5 = -1$ ส่วน $(-5, 3)$ อยู่ห่างจากเส้น $x = 2$ ถึง $7$ หน่วย ไม่เท่ากับระยะของจุดเดิม

ภาพจากการสะท้อนกลับด้าน

ภาพจากการสะท้อนมีขนาดและรูปร่างเหมือนรูปต้นแบบ แต่มีสิ่งหนึ่งที่ต่างจากการเลื่อนขนาน ดูที่สามเหลี่ยมในกราฟข้างบนตอนที่ยังไม่ได้ลากจุด ไล่จาก $A$ ไป $B$ ไป $C$ จะวนทวนเข็มนาฬิกา แต่ไล่จาก $A'$ ไป $B'$ ไป $C'$ จะวนตามเข็มนาฬิกา ภาพถูกพลิกกลับด้าน เหมือนมือขวากลายเป็นมือซ้ายในกระจก

สมบัติ

เมื่อสะท้อนรูปใดๆ

ภาพมีขนาดและรูปร่างเหมือนรูปต้นแบบ
เส้นสะท้อนตั้งฉากและแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกับภาพของมันทุกเส้น
จุดบนเส้นสะท้อนเป็นภาพของตัวเอง
ภาพกลับด้าน ทิศการวนของจุดยอดเปลี่ยนจากตามเข็มนาฬิกาเป็นทวนเข็มนาฬิกา หรือกลับกัน

ข้อสุดท้ายนี้ทำให้บอกได้เสมอว่าภาพที่เห็นมาจากการสะท้อนหรือไม่ ถ้าภาพกลับด้าน ต้องมีการสะท้อนเกิดขึ้น เพราะการเลื่อนขนานกับการหมุนไม่ทำให้รูปกลับด้าน

ตัวอย่าง 4

แป้งยืนห่างจากกระจกบานใหญ่ที่ติดผนังห้อง $1.5$ เมตร แป้งจะเห็นเงาของตัวเองอยู่ห่างจากตัวเองกี่เมตร

กระจกทำหน้าที่เป็นเส้นสะท้อน ตัวแป้งเป็นรูปต้นแบบ เงาในกระจกเป็นภาพ
เส้นสะท้อนแบ่งครึ่งระยะระหว่างจุดกับภาพ เงาจึงอยู่ลึกเข้าไปในกระจก $1.5$ เมตรเท่ากับที่แป้งยืนห่าง
ระยะจากแป้งถึงเงาคือ $1.5 + 1.5 = 3$ เมตร

สรุป

การสะท้อนมีเส้นสะท้อนตั้งฉากและแบ่งครึ่งเส้นที่เชื่อมจุดกับภาพ จุดบนเส้นสะท้อนอยู่กับที่
ข้ามแกน $x$ ได้ $(x, -y)$ ข้ามแกน $y$ ได้ $(-x, y)$
ข้ามเส้น $x = m$ ได้ $(2m - x, y)$ ข้ามเส้น $y = m$ ได้ $(x, 2m - y)$ หรือนับระยะจากเส้นสะท้อนแทนได้
ภาพจากการสะท้อนกลับด้าน ซึ่งการเลื่อนขนานและการหมุนไม่ทำ