10.2 การหาความยาวด้าน

รู้ความยาวสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ก็หาด้านที่สามได้เสมอ ด้านที่หายไปมีได้สองแบบ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก กับด้านประกอบมุมฉาก สองแบบนี้คำนวณต่างกันตรงบวกกับลบ และตรงนี้คือจุดที่พลาดกันบ่อยที่สุดของบทนี้

หาด้านตรงข้ามมุมฉาก

ใช้ $c^2 = a^2 + b^2$ ตรงๆ ยกกำลังสองด้านประกอบมุมฉากแล้วบวกกัน ได้ $c^2$ จากนั้นหาจำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วได้ค่านั้น

ตัวอย่าง 1

กลับไปที่คำถามต้นหน้า 10.1 เดินไปทางตะวันออก 400 เมตร แล้วขึ้นเหนือ 300 เมตร ทางตรงจากบ้านไปโรงเรียนยาวกี่เมตร

ทิศตะวันออกกับทิศเหนือตั้งฉากกัน ทางที่เดินสองช่วงจึงเป็นด้านประกอบมุมฉาก ทางตรงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
$c^2 = 400^2 + 300^2 = 160{,}000 + 90{,}000 = 250{,}000$
หาจำนวนที่ยกกำลังสองได้ $250{,}000$ เพราะ $5^2 = 25$ จึงลอง $500^2 = 250{,}000$ ได้พอดี
ทางตรงยาว $500$ เมตร สั้นกว่าทางที่เดินจริง $700 - 500 = 200$ เมตร

ตัวอย่าง 2

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว $9$ และ $12$ เซนติเมตร ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าไร

$c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
$15^2 = 225$ จึงได้ $c = 15$ เซนติเมตร
ตรวจ $15$ ยาวกว่า $9$ และ $12$ สมกับเป็นด้านที่ยาวที่สุด

ขั้นที่ต้องหาว่าจำนวนอะไรยกกำลังสองได้ค่านั้น จะเร็วขึ้นมากถ้าจำกำลังสองของจำนวนที่ใช้บ่อยได้

$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
$n^2$	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625

หาด้านประกอบมุมฉาก

ถ้ารู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก $c$ กับด้านประกอบมุมฉาก $a$ ให้ย้ายข้างสมการ $c^2 = a^2 + b^2$ โดยลบ $a^2$ ทั้งสองข้าง

b^2 = c^2 - a^2

ด้านประกอบมุมฉากต้องสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ผลลบจึงเป็นบวกเสมอ ถ้าคำนวณแล้วได้ติดลบ แปลว่าวางตัวเลขผิดที่

ตัวอย่าง 3

เสาไฟฟ้าต้นหนึ่งมีลวดสลิงยาว $13$ เมตรดึงไว้กันเสาเอียง ปลายล่างของลวดยึดกับพื้นห่างจากโคนเสา $5$ เมตร ปลายบนของลวดยึดกับเสาที่ความสูงกี่เมตร

เสาตั้งฉากกับพื้น ลวดอยู่ตรงข้ามมุมฉาก จึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก $c = 13$
ระยะ $5$ เมตรบนพื้นเป็นด้านประกอบมุมฉาก ส่วนความสูงที่ถามคือด้านประกอบมุมฉากอีกด้าน
$b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
จากตาราง $12^2 = 144$ ลวดยึดกับเสาที่ความสูง $12$ เมตร

ลองคิดก่อน

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ เซนติเมตร และด้านหนึ่งยาว $6$ เซนติเมตร เพื่อนคิดด้านที่เหลือว่า $10^2 + 6^2 = 136$ แล้วบอกว่าด้านที่เหลือยาวกว่า $11$ เซนติเมตร เพราะ $11^2 = 121$ ยังน้อยกว่า $136$ เพื่อนคิดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ด้านที่หายไปเป็นด้านประกอบมุมฉาก ต้องลบ $10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ ได้ $8$ เซนติเมตร คำตอบของเพื่อนยาวกว่า $10$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะด้านตรงข้ามมุมฉากต้องยาวที่สุด ก่อนคำนวณให้ถามตัวเองเสมอว่าด้านที่หาอยู่ตรงข้ามมุมฉากหรือเปล่า ถ้าใช่ให้บวก ถ้าไม่ใช่ให้ลบ

ชุดตัวเลขพีทาโกรัส

จำนวนนับสามจำนวนที่เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ เรียกว่าชุดตัวเลขพีทาโกรัส ชุดที่เจอบ่อยมีไม่กี่ชุด จำไว้จะตอบได้ทันที

ด้านประกอบมุมฉาก	ด้านตรงข้ามมุมฉาก	ตรวจ
$3, 4$	$5$	$9 + 16 = 25$
$5, 12$	$13$	$25 + 144 = 169$
$8, 15$	$17$	$64 + 225 = 289$
$7, 24$	$25$	$49 + 576 = 625$

คูณทุกจำนวนในชุดด้วยจำนวนเดียวกันก็ยังเป็นชุดตัวเลขพีทาโกรัส เช่น $6, 8, 10$ ได้จาก $3, 4, 5$ คูณ $2$ เพราะ $(3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 = (5k)^2$

ตัวอย่าง 4

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว $30$ และ $40$ เมตร ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าไร

$30$ กับ $40$ คือ $3$ กับ $4$ คูณ $10$ ด้านตรงข้ามมุมฉากจึงเป็น $5 \times 10 = 50$ เมตร
ตรวจ $30^2 + 40^2 = 900 + 1{,}600 = 2{,}500 = 50^2$

เมื่อคำตอบไม่ใช่จำนวนเต็ม

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากส่วนใหญ่มีด้านอย่างน้อยหนึ่งด้านที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เช่น ด้านประกอบมุมฉากยาว $2$ และ $3$ ได้ $c^2 = 4 + 9 = 13$ ไม่มีจำนวนเต็มใดยกกำลังสองได้ $13$

ตัวอย่าง 5

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว $2$ และ $3$ เซนติเมตร ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวประมาณเท่าไร

$c^2 = 2^2 + 3^2 = 13$
ประมาณก่อน $3^2 = 9$ กับ $4^2 = 16$ และ $13$ อยู่ระหว่าง $9$ กับ $16$ ดังนั้น $c$ อยู่ระหว่าง $3$ กับ $4$
ใช้เครื่องคิดเลขกดปุ่มรากที่สอง $\sqrt{\phantom{x}}$ ของ $13$ ได้ $3.6055\ldots$ ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวประมาณ $3.61$ เซนติเมตร
ตรวจ $3.61^2 = 13.0321$ ใกล้ $13$ มาก

รากที่สอง

จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ $13$ เขียนว่า $\sqrt{13}$ อ่านว่า รากที่สองของสิบสาม ความหมายและวิธีหาค่าโดยละเอียดอยู่ในบทที่ 11 ในบทนี้ถ้าคำตอบไม่ลงตัว ให้ประมาณว่าอยู่ระหว่างจำนวนเต็มใดก่อน แล้วใช้เครื่องคิดเลขหาค่า

สรุป

หาด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้บวก $c^2 = a^2 + b^2$
หาด้านประกอบมุมฉาก ให้ลบ $b^2 = c^2 - a^2$
คำตอบต้องทำให้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวที่สุดเสมอ ใช้ข้อนี้ตรวจว่าบวกหรือลบถูก
ชุดตัวเลขพีทาโกรัสที่ควรจำ $3, 4, 5$ $5, 12, 13$ $8, 15, 17$ $7, 24, 25$ และผลคูณของมัน
ถ้า $c^2$ ไม่ใช่กำลังสองของจำนวนเต็ม ให้บอกว่าอยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด แล้วหาค่าประมาณด้วยเครื่องคิดเลข