descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 11 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริงตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 1 บทที่ 2

11.1 จำนวนตรรกยะ

ลองดูตัวเลขที่เจอในวันเดียว ข้าวมันไก่จานละ 5050 บาท อุณหภูมิบนยอดดอยตอนเช้า −2-2 องศาเซลเซียส ร้านลดราคา 0.250.25 ของราคาเต็ม แบตโทรศัพท์เหลือ 23\tfrac{2}{3} ของหลอด และเพื่อนสามคนหารค่าพิซซ่า 100100 บาท ได้คนละ 33.333…33.333\ldots บาท

ตัวเลขเหล่านี้หน้าตาต่างกันมาก มีทั้งจำนวนเต็ม จำนวนลบ ทศนิยม และเศษส่วน แต่ทุกตัวมีอย่างหนึ่งที่เหมือนกัน คือเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ หน้านี้ตั้งชื่อให้กลุ่มนี้ และหาว่าจำนวนแบบไหนบ้างที่อยู่ในกลุ่ม

จำนวนตรรกยะคืออะไร

นิยาม

จำนวนตรรกยะ (rational number) คือจำนวนที่เขียนได้ในรูป

ab\frac{a}{b}

เมื่อ aa และ bb เป็นจำนวนเต็ม และ b≠0b \neq 0

ที่ต้องมี b≠0b \neq 0 เพราะการหารด้วยศูนย์ไม่มีความหมาย ไม่มีจำนวนใดคูณ 00 แล้วได้ 55 ดังนั้น 50\tfrac{5}{0} จึงไม่ใช่จำนวน

จะพิสูจน์ว่าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ แค่หาเศษส่วนของจำนวนเต็มที่เท่ากับมันได้สักแบบก็พอ ไม่จำเป็นต้องเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

ตัวอย่าง 1

แสดงว่าจำนวนต่อไปนี้เป็นจำนวนตรรกยะ 5050 −2-2 00 2122\tfrac{1}{2} 0.250.25 และ −1.2-1.2

  1. จำนวนเต็มทุกตัวหารด้วย 11 ได้ตัวเอง 50=50150 = \tfrac{50}{1} และ −2=−21-2 = \tfrac{-2}{1}
  2. 0=010 = \tfrac{0}{1} ตัวเศษเป็นศูนย์ได้ ห้ามแค่ตัวส่วน
  3. จำนวนคละเปลี่ยนเป็นเศษเกิน 212=42+12=522\tfrac{1}{2} = \tfrac{4}{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}
  4. ทศนิยมรู้จบเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1010 100100 10001000 ได้ 0.25=25100=140.25 = \tfrac{25}{100} = \tfrac{1}{4}
  5. −1.2=−1210=−65-1.2 = -\tfrac{12}{10} = \tfrac{-6}{5}

จากตัวอย่างนี้ได้ข้อสรุปสองข้อ จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และทศนิยมรู้จบทุกตัวก็เป็นจำนวนตรรกยะ

ลองคิดก่อน

0.12345678910.1234567891 ยาวตั้งสิบตำแหน่ง ตัวเลขก็ไม่ซ้ำกันเลย จะเป็นจำนวนตรรกยะได้ไหม

ดูคำตอบ

ได้ ยาวแค่ไหนก็ไม่สำคัญ ขอให้จบ ทศนิยมสิบตำแหน่งเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วน 101010^{10} ได้ทันที คือ 123456789110000000000\tfrac{1234567891}{10000000000} ซึ่งเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม สิ่งที่ทำให้จำนวนหนึ่งไม่เป็นจำนวนตรรกยะ ไม่ใช่ความยาว แต่เป็นทศนิยมที่ไม่รู้จบและไม่ซ้ำ ซึ่งจะเจอในหน้าถัดไป

ทศนิยมซ้ำก็เป็นจำนวนตรรกยะ

ในบทที่ 4 เราเปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนด้วยการคูณ 1010 หรือ 100100 ให้หางที่ซ้ำตรงกัน แล้วลบให้หางหายไป วิธีนี้ใช้ได้กับทศนิยมซ้ำทุกตัว ทศนิยมซ้ำทุกตัวจึงเป็นจำนวนตรรกยะด้วย

ตัวอย่าง 2

เขียน 0.2˙7˙0.\dot{2}\dot{7} และ 1.6˙1.\dot{6} เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

  1. ให้ N=0.272727…N = 0.272727\ldots ชุดที่ซ้ำยาวสองตัว จึงคูณด้วย 100100 ได้ 100N=27.2727…100N = 27.2727\ldots
  2. ลบกัน 100N−N=27100N - N = 27 ได้ 99N=2799N = 27 จึงได้ N=2799=311N = \tfrac{27}{99} = \tfrac{3}{11}
  3. ให้ M=1.666…M = 1.666\ldots ซ้ำตัวเดียว คูณด้วย 1010 ได้ 10M=16.666…10M = 16.666\ldots
  4. ลบกัน 10M−M=1510M - M = 15 ได้ 9M=159M = 15 จึงได้ M=159=53M = \tfrac{15}{9} = \tfrac{5}{3}

ในทางกลับกัน บทที่ 4 แสดงไว้แล้วว่าเศษส่วนทุกตัวหารออกมาได้ทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมซ้ำเท่านั้น เพราะเศษจากการหารยาวมีให้เลือกจำกัด สักวันต้องวนกลับมาซ้ำ สองข้อนี้รวมกันได้สมบัติที่ใช้แยกจำนวนตรรกยะออกจากจำนวนอื่น

สมบัติ

  • จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเขียนเป็นทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมซ้ำได้
  • ทศนิยมรู้จบและทศนิยมซ้ำทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ

ดังนั้นจะดูว่าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนตรรกยะไหม ดูได้สองทาง ทางแรกหาเศษส่วนของจำนวนเต็มที่เท่ากับมัน ทางที่สองเขียนเป็นทศนิยมแล้วดูว่าจบหรือซ้ำ

ลองคิดก่อน

0.121121112…0.121121112\ldots หลังเลข 22 แต่ละตัวมีเลข 11 เพิ่มขึ้นทีละตัว เพื่อนบอกว่าเป็นทศนิยมซ้ำ เพราะเห็นแบบรูปชัดเจน เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ทศนิยมซ้ำต้องมีตัวเลขชุดเดิมซ้ำไปตลอด เช่น 0.1˙2˙=0.121212…0.\dot{1}\dot{2} = 0.121212\ldots ซ้ำชุด 1212 ทุกครั้ง แต่ 0.121121112…0.121121112\ldots ชุดยาวขึ้นเรื่อยๆ ไม่มีชุดไหนวนกลับมาเหมือนเดิม มีแบบรูปก็จริง แต่ไม่ใช่การซ้ำ จำนวนนี้จึงไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะทุกตัวอยู่บนเส้นจำนวนได้ จะเปรียบเทียบสองจำนวน ให้เปลี่ยนเป็นทศนิยม หรือทำตัวส่วนให้เท่ากัน แล้วเทียบเหมือนที่ทำตอน ม.1

ตัวอย่าง 3

เรียงจำนวนต่อไปนี้จากน้อยไปมาก −38-\tfrac{3}{8} −0.4-0.4 −13-\tfrac{1}{3}

  1. เปลี่ยนเป็นทศนิยม −38=−0.375-\tfrac{3}{8} = -0.375 และ −13=−0.333…-\tfrac{1}{3} = -0.333\ldots
  2. จำนวนลบที่อยู่ห่างศูนย์มากกว่าจะอยู่ทางซ้ายมากกว่า จึงมีค่าน้อยกว่า ห่างศูนย์มากที่สุดคือ 0.40.4 แล้ว 0.3750.375 แล้ว 0.333…0.333\ldots
  3. เรียงจากน้อยไปมากได้ −0.4-0.4 −38-\tfrac{3}{8} −13-\tfrac{1}{3}

ระหว่างสองจำนวนมีจำนวนอื่นเสมอ

จำนวนเต็ม 11 กับ 22 ไม่มีจำนวนเต็มอยู่ระหว่างกลาง แต่จำนวนตรรกยะไม่เป็นแบบนั้น ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ หาจำนวนตรรกยะอีกตัวได้เสมอ วิธีที่ง่ายที่สุดคือหาค่าเฉลี่ย ซึ่งอยู่ตรงกลางพอดี

ตัวอย่าง 4

หาจำนวนตรรกยะที่อยู่ระหว่าง 13\tfrac{1}{3} กับ 12\tfrac{1}{2} มาหนึ่งจำนวน

  1. บวกกัน 13+12=26+36=56\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{6} = \tfrac{5}{6}
  2. หารด้วย 22 ได้ค่าเฉลี่ย 56÷2=512\tfrac{5}{6} \div 2 = \tfrac{5}{12}
  3. ตรวจด้วยทศนิยม 13=0.333…\tfrac{1}{3} = 0.333\ldots 512=0.4166…\tfrac{5}{12} = 0.4166\ldots 12=0.5\tfrac{1}{2} = 0.5 จึงได้ 13<512<12\tfrac{1}{3} < \tfrac{5}{12} < \tfrac{1}{2} จริง

หาค่าเฉลี่ยของ 13\tfrac{1}{3} กับ 512\tfrac{5}{12} ต่อได้อีก แล้วทำซ้ำไปเรื่อยๆ ไม่มีวันหมด ระหว่างสองจำนวนตรรกยะจึงมีจำนวนตรรกยะอยู่นับไม่ถ้วน จนดูเหมือนจุดของจำนวนตรรกยะจะเต็มเส้นจำนวน แต่หน้าถัดไปจะเห็นว่ายังมีช่องว่างอยู่

สรุป

  • จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่เขียนในรูป ab\tfrac{a}{b} ได้ เมื่อ aa และ bb เป็นจำนวนเต็ม และ b≠0b \neq 0
  • จำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมซ้ำ เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด
  • จำนวนตรรกยะเขียนเป็นทศนิยมได้แค่สองแบบ คือรู้จบหรือซ้ำ
  • ทศนิยมที่มีแบบรูปแต่ไม่มีชุดเดิมซ้ำ ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำ
  • ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวน หาจำนวนตรรกยะอื่นได้เสมอ เช่น ค่าเฉลี่ยของสองจำนวนนั้น