15.2 พหุนามและการบวกลบ

ห้องเรียนสั่งเสื้อกีฬาสีตัวละ $x$ บาท $4$ ตัว กางเกงตัวละ $y$ บาท $3$ ตัว และจ่ายค่าส่งอีก $50$ บาท ราคารวมคือ

4x + 3y + 50

นิพจน์นี้ไม่ใช่เอกนาม เพราะมีการบวก แต่ทุกก้อนที่เอามาบวกกันเป็นเอกนาม นิพจน์ที่ได้จากการบวกเอกนามหลายตัวแบบนี้เรียกว่าพหุนาม

พหุนามคืออะไร

นิยาม

พหุนาม (polynomial) คือนิพจน์ที่เขียนได้ในรูปเอกนาม หรือผลบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป

เอกนามแต่ละตัวที่นำมาบวกกันเรียกว่าพจน์ (term) ของพหุนาม

การลบก็นับเป็นการบวก เพราะ $x^2 - 3x = x^2 + (-3x)$ พหุนามนี้จึงมีสองพจน์ คือ $x^2$ กับ $-3x$ ตอนอ่านพจน์ ให้เอาเครื่องหมายข้างหน้าติดไปด้วยเสมอ

เอกนามตัวเดียวก็เป็นพหุนาม แต่ $\tfrac{2}{x} + 1$ ไม่เป็นพหุนาม เพราะ $\tfrac{2}{x}$ ไม่ใช่เอกนาม

พหุนามในรูปผลสำเร็จ

พหุนามที่ยังมีพจน์ที่คล้ายกันอยู่ ยังรวมให้สั้นลงได้อีก

นิยาม

พหุนามในรูปผลสำเร็จคือพหุนามที่ไม่มีพจน์ใดคล้ายกันเลย

นิยมเรียงพจน์จากดีกรีมากไปน้อย เช่น $2x^2 - 3x + 6$ อ่านง่ายและเทียบกับคำตอบของคนอื่นได้ทันที

ตัวอย่าง 1

เขียน $3x^2 + 5x - x^2 + 2 - 8x + 4$ ในรูปผลสำเร็จ

จับกลุ่มพจน์ที่คล้ายกันพร้อมเครื่องหมายข้างหน้า $(3x^2 - x^2) + (5x - 8x) + (2 + 4)$
รวมแต่ละกลุ่ม $3x^2 - x^2 = 2x^2$ และ $5x - 8x = -3x$ และ $2 + 4 = 6$
ได้ $2x^2 - 3x + 6$ ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเหลือ จึงเป็นรูปผลสำเร็จ

ดีกรีของพหุนาม

นิยาม

ดีกรีของพหุนามคือดีกรีที่สูงที่สุดของพจน์ในพหุนาม เมื่อเขียนพหุนามในรูปผลสำเร็จแล้ว

ตัวอย่าง 2

หาดีกรีของ $4x^3 - 2x^2y^3 + 7$

พหุนามนี้อยู่ในรูปผลสำเร็จแล้ว ไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน
ดีกรีของแต่ละพจน์ $4x^3$ มีดีกรี $3$ และ $-2x^2y^3$ มีดีกรี $2 + 3 = 5$ และ $7$ มีดีกรี $0$
ดีกรีสูงสุดคือ $5$ พหุนามนี้จึงมีดีกรี $5$

ลองคิดก่อน

$x^4 + 3x - x^4 + 2$ มีดีกรีเท่าไร เห็น $x^4$ ก็น่าจะเป็น $4$

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ $4$ ต้องเขียนในรูปผลสำเร็จก่อน $x^4 - x^4 = 0$ หักล้างกันหมด เหลือ $3x + 2$ ดีกรีจึงเป็น $1$ นี่คือเหตุผลที่นิยามบอกว่าให้ดูดีกรีหลังจากรวมพจน์ที่คล้ายกันแล้ว

การบวกพหุนาม

บวกพหุนามคือเอาทุกพจน์มาเรียงต่อกัน แล้วรวมพจน์ที่คล้ายกัน

ตัวอย่าง 3

หา $(3x^2 - 5x + 4) + (x^2 + 7x - 9)$

ถอดวงเล็บ เครื่องหมายไม่เปลี่ยนเพราะข้างหน้าวงเล็บเป็นบวก $3x^2 - 5x + 4 + x^2 + 7x - 9$
รวมพจน์ $x^2$ ได้ $4x^2$ รวมพจน์ $x$ ได้ $-5x + 7x = 2x$ รวมค่าคงตัวได้ $4 - 9 = -5$
ได้ $4x^2 + 2x - 5$

ถ้าพจน์เยอะ จะตั้งบวกในแนวตั้งแบบบวกเลขก็ได้ ให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ในหลักเดียวกัน

\begin{array}{rrrr} & 3x^2 & -\;5x & +\;4 \\ + & x^2 & +\;7x & -\;9 \\ \hline & 4x^2 & +\;2x & -\;5 \end{array}

การลบพหุนาม

ลบด้วยจำนวนใด ก็คือบวกด้วยจำนวนตรงข้ามของจำนวนนั้น พหุนามก็เหมือนกัน จำนวนตรงข้ามของพหุนามได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายทุกพจน์ เช่น จำนวนตรงข้ามของ $2x^2 - 6x + 3$ คือ $-2x^2 + 6x - 3$

ตัวอย่าง 4

หา $(5x^2 - 2x + 1) - (2x^2 - 6x + 3)$

ถอดวงเล็บหลัง เปลี่ยนเครื่องหมายทุกพจน์ในวงเล็บนั้น $5x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + 6x - 3$
รวมพจน์ $x^2$ ได้ $5x^2 - 2x^2 = 3x^2$ รวมพจน์ $x$ ได้ $-2x + 6x = 4x$ รวมค่าคงตัวได้ $1 - 3 = -2$
ได้ $3x^2 + 4x - 2$

ลองคิดก่อน

เพื่อนทำข้อเดียวกันได้ $5x^2 - 2x + 1 - 2x^2 - 6x + 3 = 3x^2 - 8x + 4$ ลองหาว่าผิดตรงไหน และจะตรวจคำตอบเองโดยไม่ต้องทำใหม่ได้ยังไง

ดูคำตอบ

เพื่อนเปลี่ยนเครื่องหมายแค่พจน์แรกในวงเล็บ $-6x$ ต้องกลายเป็น $+6x$ และ $+3$ ต้องกลายเป็น $-3$ ด้วย

ตรวจได้ด้วยการแทนค่า เช่น $x = 1$ โจทย์ได้ $(5 - 2 + 1) - (2 - 6 + 3) = 4 - (-1) = 5$ คำตอบที่ถูก $3 + 4 - 2 = 5$ ตรงกัน แต่คำตอบของเพื่อน $3 - 8 + 4 = -1$ ไม่ตรง แสดงว่าผิดแน่นอน

ตรวจด้วยการแทนค่า

หลังบวกลบพหุนามเสร็จ ลองแทน $x$ ด้วยจำนวนเล็กๆ เช่น $1$ หรือ $2$ ทั้งในโจทย์และในคำตอบ ถ้าได้ไม่เท่ากัน คำตอบผิดแน่นอน ถ้าเท่ากันก็มั่นใจขึ้น

โจทย์ปัญหา

ตัวอย่าง 5

แปลงผักรูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว $2x + 3$ เมตร $x + 4$ เมตร และ $3x - 1$ เมตร ครูมีลวดยาว $10x + 20$ เมตร ถ้าใช้ลวดล้อมแปลงผักหนึ่งรอบ จะเหลือลวดยาวเท่าไร และถ้า $x = 5$ เหลือลวดกี่เมตร

ความยาวรอบแปลงคือผลบวกของสามด้าน $(2x + 3) + (x + 4) + (3x - 1) = 6x + 6$ เมตร
ลวดที่เหลือ $(10x + 20) - (6x + 6) = 10x + 20 - 6x - 6 = 4x + 14$ เมตร
ถ้า $x = 5$ เหลือลวด $4(5) + 14 = 34$ เมตร ตรวจได้ ลวดยาว $70$ เมตร รอบแปลงยาว $36$ เมตร เหลือ $70 - 36 = 34$ เมตร

สรุป

พหุนามคือเอกนาม หรือผลบวกของเอกนามหลายตัว แต่ละตัวเรียกว่าพจน์ อ่านพจน์พร้อมเครื่องหมายข้างหน้า
รูปผลสำเร็จคือรวมพจน์ที่คล้ายกันจนไม่เหลือ แล้วเรียงจากดีกรีมากไปน้อย
ดีกรีของพหุนามคือดีกรีสูงสุดของพจน์ หลังจากเขียนในรูปผลสำเร็จแล้ว
บวกพหุนาม รวมพจน์ที่คล้ายกัน ลบพหุนาม เปลี่ยนเครื่องหมายทุกพจน์ของตัวลบก่อน แล้วค่อยรวม
ตรวจคำตอบได้ด้วยการแทนค่า $x$ ทั้งในโจทย์และคำตอบ