5.2 หน้าตัดของรูปสามมิติ

หั่นแครอทตามขวางได้แผ่นกลม แต่ถ้าผ่าแครอทตามยาวจากโคนถึงปลาย รอยผ่าเป็นรูปยาวแหลมคล้ายสามเหลี่ยม แครอทหัวเดิม แค่เปลี่ยนแนวมีด รอยตัดก็เปลี่ยนรูปไปเลย หน้านี้จะหาว่าตัดรูปสามมิติแต่ละแบบในแนวต่างๆ แล้วได้รอยตัดเป็นรูปอะไร

หน้าตัดคืออะไร

ในคณิตศาสตร์ ใช้ระนาบแทนใบมีด ระนาบคือผิวเรียบแบนที่แผ่ออกไปทุกทางไม่สิ้นสุด เหมือนแผ่นกระจกที่ไม่มีขอบ

นิยาม

หน้าตัด คือรูปสองมิติที่เกิดขึ้นตรงรอยที่ระนาบตัดผ่านรูปสามมิติ

หน้าตัดเป็นรูปสองมิติเสมอ เพราะมันอยู่บนระนาบ คำถามของหน้านี้จึงเป็นคำถามเดียวซ้ำๆ คือ หน้าตัดเป็นรูปสองมิติรูปอะไร

ตัดขนานกับฐาน

ระนาบที่ขนานกับฐานเหมือนการหั่นตามขวาง ทุกจุดบนรอยตัดอยู่สูงจากฐานเท่ากัน

ปริซึม และทรงกระบอก หน้าตัดเป็นรูปเดียวกับฐานและขนาดเท่าฐาน ไม่ว่าตัดที่ความสูงเท่าไร เพราะรูปทรงไม่เปลี่ยนขนาดตลอดความสูง
พีระมิด และกรวย หน้าตัดเป็นรูปแบบเดียวกับฐาน แต่เล็กกว่า ยิ่งตัดใกล้ยอดยิ่งเล็ก
ทรงกลม หน้าตัดเป็นวงกลม ตัดผ่านจุดศูนย์กลางได้วงกลมใหญ่ที่สุด

กราฟข้างล่างให้เลือกรูปทรง แนวของระนาบ และเลื่อนระนาบได้ ตอนนี้ตั้งไว้ที่ลูกบาศก์ ตัดขนานกับฐาน

รูปทรง 0 ลูกบาศก์ 1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 ปริซึมสามเหลี่ยม 3 ทรงกระบอก 4 กรวย แนวระนาบ 0 ขนานกับฐาน 1 ตั้งฉากกับฐาน 2 ถึง 4 ตัดเอียงแบบต่างๆ ลองตั้งรูปทรงเป็น 4 แล้วเลื่อนระนาบขึ้นลง ดูว่าวงกลมเล็กลงตอนไหน

ตัวอย่าง 1

กล่องกระดาษทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ฐานกว้าง 6 เซนติเมตร ยาว 10 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร ตัดกล่องด้วยระนาบที่ขนานกับฐาน หน้าตัดเป็นรูปอะไร และมีพื้นที่เท่าไร

กล่องนี้เป็นปริซึมสี่เหลี่ยม ตัดขนานกับฐานได้รูปเดียวกับฐานและขนาดเท่าฐาน
หน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 6 เซนติเมตร ยาว 10 เซนติเมตร
พื้นที่ $6 \times 10 = 60$ ตารางเซนติเมตร ตัดที่ความสูง 1 เซนติเมตรหรือ 3 เซนติเมตรก็ได้ 60 ตารางเซนติเมตรเท่ากัน

ตัดตั้งฉากกับฐาน

ระนาบที่ตั้งฉากกับฐานเหมือนการผ่าจากบนลงล่าง ตั้งค่าแนวระนาบในกราฟเป็น 1 แล้วเลือกรูปทรงทีละแบบ

ปริซึม และทรงกระบอก หน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งยาวเท่าความสูงของรูปทรง
พีระมิด ถ้าระนาบผ่านยอด หน้าตัดเป็นรูปสามเหลี่ยม ถ้าระนาบขนานกับขอบฐานด้านหนึ่งแต่ไม่ผ่านยอด หน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
กรวย ถ้าระนาบผ่านยอด หน้าตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ถ้าไม่ผ่านยอด ด้านล่างเป็นเส้นตรงแต่ด้านบนเป็นเส้นโค้ง

ตัวอย่าง 2

แท่งเทียนทรงกระบอก เส้นผ่านศูนย์กลาง 6 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร ผ่าตามยาวด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับฐานและผ่านแกนกลางของแท่งเทียน หน้าตัดมีพื้นที่เท่าไร

ตัดทรงกระบอกตั้งฉากกับฐานได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านตั้งยาวเท่าความสูง คือ 20 เซนติเมตร
ระนาบผ่านแกนกลาง จึงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ฐาน รอยตัดบนฐานยาวเท่าเส้นผ่านศูนย์กลาง คือ 6 เซนติเมตร
พื้นที่ $6 \times 20 = 120$ ตารางเซนติเมตร

ถ้าผ่าแท่งเทียนแนวเดิมแต่ขยับระนาบออกจากแกนกลาง หน้าตัดยังเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง 20 เซนติเมตร แต่ด้านล่างสั้นกว่า 6 เซนติเมตร เพราะเส้นที่ตัดวงกลมโดยไม่ผ่านจุดศูนย์กลางสั้นกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเสมอ

ตัวอย่าง 3

ก้อนดินน้ำมันรูปกรวย รัศมีของฐาน 3 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร ใช้เส้นเอ็นผ่าจากยอดลงมาตั้งฉากกับฐาน ผ่านจุดศูนย์กลางของฐาน หน้าตัดเป็นรูปอะไร และมีพื้นที่เท่าไร

ระนาบตั้งฉากกับฐานและผ่านยอด หน้าตัดจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ฐานของสามเหลี่ยมคือรอยตัดบนฐานของกรวย ซึ่งผ่านจุดศูนย์กลาง จึงยาวเท่าเส้นผ่านศูนย์กลาง $2 \times 3 = 6$ เซนติเมตร
ความสูงของสามเหลี่ยมเท่ากับความสูงของกรวย คือ 4 เซนติเมตร
พื้นที่ $\tfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ ตารางเซนติเมตร

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่าตัดกรวยด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับฐาน ได้รูปสามเหลี่ยมเสมอ ลองตั้งรูปทรงเป็น 4 แนวระนาบเป็น 1 แล้วเลื่อนระนาบดู เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ได้สามเหลี่ยมเฉพาะตอนระนาบผ่านยอดพอดีเท่านั้น พอเลื่อนระนาบออกจากยอด ระนาบไม่แตะยอดแล้ว ด้านบนของหน้าตัดจึงไม่แหลม กลายเป็นเส้นโค้งที่ไล่ลงมาหาฐาน ลองทำแบบเดียวกันกับพีระมิด ตั้งรูปทรงเป็น 1 ผ่านยอดได้สามเหลี่ยม เลื่อนออกจากยอดได้รูปสี่เหลี่ยมคางหมู

ตัดเอียง

ระนาบไม่จำเป็นต้องขนานหรือตั้งฉากกับฐาน ลูกบาศก์เป็นตัวอย่างที่ดี เพราะตัดเอียงแล้วได้หน้าตัดหลายแบบจนน่าแปลกใจ

ตัดเฉียดมุมใดมุมหนึ่ง ได้รูปสามเหลี่ยม ถ้าระนาบผ่านจุดยอดสามจุดที่อยู่ติดกับมุมเดียวกัน ด้านทั้งสามคือเส้นทแยงมุมของหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามหน้าที่เท่ากัน จึงได้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
ตัดเอียงเล็กน้อยตามแนวขอบ ได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่ใช่จัตุรัส
ตัดเฉียงผ่านกลางลูกบาศก์ ได้รูปห้าเหลี่ยม หรือรูปหกเหลี่ยม ก็ได้ แล้วแต่ความชันของระนาบ

ลองตั้งรูปทรงเป็น 0 แนวระนาบเป็น 4 แล้วเลื่อนระนาบจากปลายหนึ่งไปอีกปลาย จะเห็นสามเหลี่ยมโตขึ้นจนกลายเป็นหกเหลี่ยม แล้วกลับเป็นสามเหลี่ยม ตรงกลางพอดีได้รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า แนวระนาบ 3 ให้รูปห้าเหลี่ยม

ลองคิดก่อน

ตัดลูกบาศก์ให้ได้หน้าตัดเป็นรูปเจ็ดเหลี่ยมได้ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ได้ ด้านแต่ละด้านของหน้าตัดคือรอยที่ระนาบตัดผ่านหน้าหนึ่งหน้าของลูกบาศก์ ระนาบตัดหน้าเรียบหน้าหนึ่งได้รอยเป็นเส้นตรงไม่เกินหนึ่งเส้น ลูกบาศก์มี 6 หน้า หน้าตัดจึงมีได้มากที่สุด 6 ด้าน รวมกับที่ลองในกราฟ หน้าตัดของลูกบาศก์มีได้ 3 4 5 หรือ 6 ด้าน

ทรงกระบอกกับกรวยตัดเอียงได้รูปวงรี ถ้าระนาบไม่ไปโดนฐาน ส่วนทรงกลมตัดแนวไหนก็ได้วงกลมเสมอ

สรุป

หน้าตัดคือรูปสองมิติตรงรอยที่ระนาบตัดผ่านรูปสามมิติ
ตัดขนานกับฐาน ปริซึมกับทรงกระบอกได้รูปเท่าฐาน พีระมิดกับกรวยได้รูปแบบเดียวกับฐานแต่เล็กกว่า
ตัดตั้งฉากกับฐาน ปริซึมกับทรงกระบอกได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดกับกรวยได้สามเหลี่ยมเมื่อระนาบผ่านยอด กรวยที่ไม่ผ่านยอดได้รูปที่มีด้านโค้ง
ลูกบาศก์ตัดเอียงได้หน้าตัด 3 ถึง 6 ด้าน ไม่เกินจำนวนหน้าของมัน
ทรงกลมตัดแนวไหนก็ได้วงกลม