41.4 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ รั้วสองด้านที่ติดกันกำหนดสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่ขึ้นกับทั้งความยาวและมุมระหว่างด้าน ครอสโปรดักต์สร้างเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบและเก็บพื้นที่ไว้ในขนาด
ช่างติดแผงโซลาร์เซลล์บนหลังคาอยากรู้สองอย่าง แผงหันหน้าไปทางไหน และแผงมีพื้นที่เท่าไร ถ้ารู้เวกเตอร์ตามขอบแผงสองด้าน คำตอบทั้งสองอยู่ในเวกเตอร์ตัวเดียวที่หน้านี้จะสร้าง ทิศของมันตั้งฉากกับแผง ขนาดของมันเท่ากับพื้นที่แผง การคูณแบบนี้นิยามในสามมิติเท่านั้น
คำนวณด้วยดีเทอร์มิแนนต์
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ หรือครอสโปรดักต์ ของ u = ⟨ u 1 , u 2 , u 3 ⟩ \mathbf u=\langle u_1,u_2,u_3\rangle u = ⟨ u 1 , u 2 , u 3 ⟩ v = ⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩ \mathbf v=\langle v_1,v_2,v_3\rangle v = ⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩ u × v \mathbf u\times\mathbf v u × v
สมบัติ
u × v = ⟨ u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 ⟩ \mathbf u\times\mathbf v=\langle u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1\rangle u × v = ⟨ u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 ⟩ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ \|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\sin\theta ∥ u ∥∥ v ∥ sin θ
สูตรนี้ยาวและจำยาก แต่จำง่ายขึ้นถ้าเขียนเป็นดีเทอร์มิแนนต์ขนาด 3 × 3 3\times3 3 × 3 i \mathbf i i j \mathbf j j k \mathbf k k u \mathbf u u v \mathbf v v
u × v = ∣ i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ = ∣ u 2 u 3 v 2 v 3 ∣ i − ∣ u 1 u 3 v 1 v 3 ∣ j + ∣ u 1 u 2 v 1 v 2 ∣ k \mathbf u\times\mathbf v=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_2&u_3\\v_2&v_3\end{vmatrix}\mathbf i-\begin{vmatrix}u_1&u_3\\v_1&v_3\end{vmatrix}\mathbf j+\begin{vmatrix}u_1&u_2\\v_1&v_2\end{vmatrix}\mathbf k u × v = i u 1 v 1 j u 2 v 2 k u 3 v 3 = u 2 v 2 u 3 v 3 i − u 1 v 1 u 3 v 3 j + u 1 v 1 u 2 v 2 k
แต่ละพจน์ปิดคอลัมน์ของตัวเองแล้วหาดีเทอร์มิแนนต์ 2 × 2 2\times2 2 × 2 j \mathbf j j u 3 v 1 − u 1 v 3 u_3v_1-u_1v_3 u 3 v 1 − u 1 v 3
ตัวอย่าง 1
หา ⟨ 1 , 2 , 0 ⟩ × ⟨ 3 , 0 , 0 ⟩ \langle1,2,0\rangle\times\langle3,0,0\rangle ⟨ 1 , 2 , 0 ⟩ × ⟨ 3 , 0 , 0 ⟩
องค์ประกอบแรก 2 ( 0 ) − 0 ( 0 ) = 0 2(0)-0(0)=0 2 ( 0 ) − 0 ( 0 ) = 0 0 ( 3 ) − 1 ( 0 ) = 0 0(3)-1(0)=0 0 ( 3 ) − 1 ( 0 ) = 0
องค์ประกอบที่สามคือ 1 ( 0 ) − 2 ( 3 ) = − 6 1(0)-2(3)=-6 1 ( 0 ) − 2 ( 3 ) = − 6
ผลลัพธ์คือ ⟨ 0 , 0 , − 6 ⟩ \langle0,0,-6\rangle ⟨ 0 , 0 , − 6 ⟩ 6 6 6 z z z x y xy x y
ตัวอย่าง 2
หา ⟨ 2 , − 1 , 3 ⟩ × ⟨ 1 , 4 , − 2 ⟩ \langle2,-1,3\rangle\times\langle1,4,-2\rangle ⟨ 2 , − 1 , 3 ⟩ × ⟨ 1 , 4 , − 2 ⟩
พจน์ i \mathbf i i ( − 1 ) ( − 2 ) − ( 3 ) ( 4 ) = 2 − 12 = − 10 (-1)(-2)-(3)(4)=2-12=-10 ( − 1 ) ( − 2 ) − ( 3 ) ( 4 ) = 2 − 12 = − 10
พจน์ j \mathbf j j ( 2 ) ( − 2 ) − ( 3 ) ( 1 ) = − 4 − 3 = − 7 (2)(-2)-(3)(1)=-4-3=-7 ( 2 ) ( − 2 ) − ( 3 ) ( 1 ) = − 4 − 3 = − 7 j \mathbf j j + 7 +7 + 7
พจน์ k \mathbf k k ( 2 ) ( 4 ) − ( − 1 ) ( 1 ) = 8 + 1 = 9 (2)(4)-(-1)(1)=8+1=9 ( 2 ) ( 4 ) − ( − 1 ) ( 1 ) = 8 + 1 = 9 − 10 i + 7 j + 9 k = ⟨ − 10 , 7 , 9 ⟩ -10\mathbf i+7\mathbf j+9\mathbf k=\langle-10,7,9\rangle − 10 i + 7 j + 9 k = ⟨ − 10 , 7 , 9 ⟩
ตรวจด้วยดอตโปรดักต์ กับตัวแรก − 20 − 7 + 27 = 0 -20-7+27=0 − 20 − 7 + 27 = 0 − 10 + 28 − 18 = 0 -10+28-18=0 − 10 + 28 − 18 = 0
ทิศตามกฎมือขวา
เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้ง u \mathbf u u v \mathbf v v กฎมือขวา เลือกให้ คือชี้นิ้วทั้งสี่ของมือขวาไปตาม u \mathbf u u v \mathbf v v 180 180 180 u × v \mathbf u\times\mathbf v u × v
u v u × v พื้นที่ = ‖u × v‖ u × v ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u และ v เป็นด้าน ทิศตามกฎมือขวา ขนาดเท่ากับพื้นที่ที่ระบายสี ตรวจกับฐานมาตรฐาน i = ⟨ 1 , 0 , 0 ⟩ \mathbf i=\langle1,0,0\rangle i = ⟨ 1 , 0 , 0 ⟩ j = ⟨ 0 , 1 , 0 ⟩ \mathbf j=\langle0,1,0\rangle j = ⟨ 0 , 1 , 0 ⟩ k = ⟨ 0 , 0 , 1 ⟩ \mathbf k=\langle0,0,1\rangle k = ⟨ 0 , 0 , 1 ⟩ i × j = k \mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k i × j = k j × k = i \mathbf j\times\mathbf k=\mathbf i j × k = i k × i = j \mathbf k\times\mathbf i=\mathbf j k × i = j j × i = − k \mathbf j\times\mathbf i=-\mathbf k j × i = − k u × u = 0 \mathbf u\times\mathbf u=\mathbf 0 u × u = 0
ลองคิดก่อน
เพื่อนบอกว่า u × v = v × u \mathbf u\times\mathbf v=\mathbf v\times\mathbf u u × v = v × u
ดูคำตอบ ไม่ถูก สลับลำดับแล้วได้ v × u = − ( u × v ) \mathbf v\times\mathbf u=-(\mathbf u\times\mathbf v) v × u = − ( u × v ) v \mathbf v v u \mathbf u u i × j = k \mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k i × j = k j × i = − k \mathbf j\times\mathbf i=-\mathbf k j × i = − k
ตัวอย่าง 3
หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่สร้างโดย ⟨ 1 , 0 , 1 ⟩ \langle1,0,1\rangle ⟨ 1 , 0 , 1 ⟩ ⟨ 0 , 2 , 0 ⟩ \langle0,2,0\rangle ⟨ 0 , 2 , 0 ⟩
ใช้สูตรได้ ⟨ 0 ( 0 ) − 1 ( 2 ) , 1 ( 0 ) − 1 ( 0 ) , 1 ( 2 ) − 0 ( 0 ) ⟩ = ⟨ − 2 , 0 , 2 ⟩ \langle0(0)-1(2),\ 1(0)-1(0),\ 1(2)-0(0)\rangle=\langle-2,0,2\rangle ⟨ 0 ( 0 ) − 1 ( 2 ) , 1 ( 0 ) − 1 ( 0 ) , 1 ( 2 ) − 0 ( 0 )⟩ = ⟨ − 2 , 0 , 2 ⟩
ตรวจดอตกับตัวแรกได้ − 2 + 0 + 2 = 0 -2+0+2=0 − 2 + 0 + 2 = 0 0 0 0
ขนาดเป็น 4 + 0 + 4 = 2 2 \sqrt{4+0+4}=2\sqrt2 4 + 0 + 4 = 2 2 ⟨ − 1 2 , 0 , 1 2 ⟩ \langle-\tfrac{1}{\sqrt2},0,\tfrac{1}{\sqrt2}\rangle ⟨ − 2 1 , 0 , 2 1 ⟩
ตรวจวิธีคิด
คำตอบตั้งฉากอาจมีได้หลายขนาดและสองทิศ ถ้าโจทย์ขอเพียงเวกเตอร์ตั้งฉาก ตัวคูณไม่เป็นศูนย์ใดก็ใช้ได้ แต่ถ้าขอผลคูณตามลำดับที่ระบุ ต้องได้ทั้งขนาดและทิศตรงสูตร
ขนาดเท่ากับพื้นที่
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานคือฐานคูณสูง ให้ u \mathbf u u ∥ u ∥ \|\mathbf u\| ∥ u ∥ v \mathbf v v ∥ v ∥ sin θ \|\mathbf v\|\sin\theta ∥ v ∥ sin θ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ = ∥ u × v ∥ \|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\sin\theta=\|\mathbf u\times\mathbf v\| ∥ u ∥∥ v ∥ sin θ = ∥ u × v ∥ u \mathbf u u v \mathbf v v sin θ = 0 \sin\theta=0 sin θ = 0
ตัวอย่าง 4
แปลงผักสามเหลี่ยมมีด้านจากมุมเดียวกันเป็น ⟨ 4 , 0 , 0 ⟩ \langle4,0,0\rangle ⟨ 4 , 0 , 0 ⟩ ⟨ 1 , 3 , 0 ⟩ \langle1,3,0\rangle ⟨ 1 , 3 , 0 ⟩
ครอสโปรดักต์คือ ⟨ 0 , 0 , 4 ( 3 ) − 0 ( 1 ) ⟩ = ⟨ 0 , 0 , 12 ⟩ \langle0,0,4(3)-0(1)\rangle=\langle0,0,12\rangle ⟨ 0 , 0 , 4 ( 3 ) − 0 ( 1 )⟩ = ⟨ 0 , 0 , 12 ⟩ 12 12 12
สามเหลี่ยมมีพื้นที่ครึ่งหนึ่ง คือ 6 6 6
ตรวจด้วยฐานคูณสูง ฐานยาว 4 4 4 x x x y y y 3 3 3 1 2 × 4 × 3 = 6 \tfrac12\times4\times3=6 2 1 × 4 × 3 = 6
ลองคิดก่อน
ถ้าครอสโปรดักต์เป็น ⟨ 0 , 0 , − 12 ⟩ \langle0,0,-12\rangle ⟨ 0 , 0 , − 12 ⟩
ดูคำตอบ พื้นที่ใช้ขนาดของเวกเตอร์จึงเป็นบวก เครื่องหมายลบขององค์ประกอบบอกทิศตามแกน ไม่ได้บอกพื้นที่ลบ
ตัวอย่าง 5
หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A ( 1 , 0 , 0 ) A(1,0,0) A ( 1 , 0 , 0 ) B ( 0 , 2 , 0 ) B(0,2,0) B ( 0 , 2 , 0 ) C ( 0 , 0 , 3 ) C(0,0,3) C ( 0 , 0 , 3 )
สามเหลี่ยมนี้เอียงอยู่ในสามมิติ ใช้ฐานคูณสูงตรงๆ ยาก จึงสร้างเวกเตอร์สองด้านจากจุดยอดเดียวกัน A B → = ⟨ − 1 , 2 , 0 ⟩ \overrightarrow{AB}=\langle-1,2,0\rangle A B = ⟨ − 1 , 2 , 0 ⟩ A C → = ⟨ − 1 , 0 , 3 ⟩ \overrightarrow{AC}=\langle-1,0,3\rangle A C = ⟨ − 1 , 0 , 3 ⟩
ครอสโปรดักต์ องค์ประกอบแรก 2 ( 3 ) − 0 ( 0 ) = 6 2(3)-0(0)=6 2 ( 3 ) − 0 ( 0 ) = 6 0 ( − 1 ) − ( − 1 ) ( 3 ) = 3 0(-1)-(-1)(3)=3 0 ( − 1 ) − ( − 1 ) ( 3 ) = 3 ( − 1 ) ( 0 ) − 2 ( − 1 ) = 2 (-1)(0)-2(-1)=2 ( − 1 ) ( 0 ) − 2 ( − 1 ) = 2 ⟨ 6 , 3 , 2 ⟩ \langle6,3,2\rangle ⟨ 6 , 3 , 2 ⟩
ขนาดคือ 36 + 9 + 4 = 49 = 7 \sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7 36 + 9 + 4 = 49 = 7
พื้นที่สามเหลี่ยมจึงเป็น 7 2 \tfrac72 2 7
ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
กล่องที่เอียงได้ซึ่งมีขอบสามเส้นจากมุมเดียวกันเป็น u \mathbf u u v \mathbf v v w \mathbf w w u \mathbf u u v \mathbf v v ∥ u × v ∥ \|\mathbf u\times\mathbf v\| ∥ u × v ∥ w \mathbf w w u × v \mathbf u\times\mathbf v u × v
V = ∣ ( u × v ) ⋅ w ∣ = ∣ det ( u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ) ∣ V=\left|(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w\right|=\left|\det\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{pmatrix}\right| V = ∣ ( u × v ) ⋅ w ∣ = det u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3
ใส่ค่าสัมบูรณ์เพราะผลคูณอาจติดลบเมื่อ w \mathbf w w u × v \mathbf u\times\mathbf v u × v
ตัวอย่าง 6
หาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ u = ⟨ 2 , 0 , 0 ⟩ \mathbf u=\langle2,0,0\rangle u = ⟨ 2 , 0 , 0 ⟩ v = ⟨ 1 , 3 , 0 ⟩ \mathbf v=\langle1,3,0\rangle v = ⟨ 1 , 3 , 0 ⟩ w = ⟨ 1 , 1 , 4 ⟩ \mathbf w=\langle1,1,4\rangle w = ⟨ 1 , 1 , 4 ⟩
หาพื้นที่ฐานก่อน u × v = ⟨ 0 , 0 , 2 ( 3 ) − 0 ( 1 ) ⟩ = ⟨ 0 , 0 , 6 ⟩ \mathbf u\times\mathbf v=\langle0,0,2(3)-0(1)\rangle=\langle0,0,6\rangle u × v = ⟨ 0 , 0 , 2 ( 3 ) − 0 ( 1 )⟩ = ⟨ 0 , 0 , 6 ⟩ 6 6 6
ดอตกับ w \mathbf w w ( u × v ) ⋅ w = 0 + 0 + 6 ( 4 ) = 24 (\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w=0+0+6(4)=24 ( u × v ) ⋅ w = 0 + 0 + 6 ( 4 ) = 24 24 24 24
ตรวจความหมาย ฐานอยู่บนระนาบ x y xy x y z z z w \mathbf w w 4 4 4 6 × 4 = 24 6\times4=24 6 × 4 = 24 u \mathbf u u v \mathbf v v w \mathbf w w 2 ( 12 − 0 ) − 0 + 0 = 24 2(12-0)-0+0=24 2 ( 12 − 0 ) − 0 + 0 = 24
สรุป
ครอสโปรดักต์ให้เวกเตอร์ในสามมิติ คำนวณด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่แถวแรกเป็น i \mathbf i i j \mathbf j j k \mathbf k k j \mathbf j j
ผลลัพธ์ตั้งฉากกับทั้งสองตัว ตรวจได้ด้วยดอตโปรดักต์ ทิศตามกฎมือขวา
สลับลำดับต้องกลับทิศ v × u = − ( u × v ) \mathbf v\times\mathbf u=-(\mathbf u\times\mathbf v) v × u = − ( u × v )
พื้นที่ใช้ขนาด ∥ u × v ∥ \|\mathbf u\times\mathbf v\| ∥ u × v ∥
ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ ∣ ( u × v ) ⋅ w ∣ \left|(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w\right| ∣ ( u × v ) ⋅ w ∣
ตอนนี้มีเครื่องมือครบทั้งบท ลูกศร พิกัด ดอตโปรดักต์ และครอสโปรดักต์ แบบฝึกหัดท้ายบทผสมทุกเรื่อง ก่อนทำแต่ละข้อให้ถามตัวเองก่อนว่าคำตอบควรเป็นจำนวนหรือเวกเตอร์