descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 46 แคลคูลัสเบื้องต้นตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 1 บทที่ 2เพิ่มเติม

46.2 อนุพันธ์จากนิยาม

ในหน้า 46.1 รถที่วิ่งได้ s(t)=5t2s(t) = 5t^2 เมตร มีความเร็วเฉลี่ยในช่วงสั้นลงเรื่อยๆ เข้าใกล้ 2020 เมตรต่อวินาที ตัวเลข 2020 นี้คือความเร็วขณะหนึ่งที่วินาทีที่ 22 ถ้าวาดกราฟระยะทางเทียบเวลา ความเร็วเฉลี่ยคือความชันของเส้นที่ลากผ่านสองจุดบนกราฟ ส่วนความเร็วขณะหนึ่งคือความชันของกราฟตรงจุดเดียว

ความคิดเดียวกันใช้ได้กับปริมาณอื่นทุกอย่างที่เปลี่ยนตามกัน เช่นค่าไฟที่เปลี่ยนตามจำนวนหน่วย หรืออุณหภูมิที่เปลี่ยนตามเวลา หน้านี้จะนิยามความชันที่จุดเดียวด้วยลิมิต แล้วคำนวณจากนิยามจนเห็นแบบแผนที่จะกลายเป็นสูตรในหน้าถัดไป

ความชันเส้นตัดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย

เส้นตรงที่ลากผ่านสองจุดบนกราฟเรียกว่าเส้นตัด ถ้าจุดแรกอยู่ที่ x=ax = a และจุดที่สองห่างออกไป hh จุดทั้งสองคือ (a,f(a))(a, f(a)) และ (a+h,f(a+h))(a + h, f(a + h)) ความชันของเส้นตัดคือผลต่างของค่า yy หารผลต่างของค่า xx

ความชันเส้นตัด=f(a+h)−f(a)h\text{ความชันเส้นตัด} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

ปริมาณนี้คืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ ff บนช่วงจาก aa ถึง a+ha + h เมื่อเลื่อนจุดที่สองเข้าหาจุดแรก คือให้ hh เข้าใกล้ศูนย์ เส้นตัดจะหมุนเข้าหาเส้นที่แตะกราฟพอดีที่จุดแรก เส้นนั้นคือเส้นสัมผัส ลองเลื่อน hh ในกราฟข้างล่างให้เข้าใกล้ศูนย์ทั้งจากด้านบวกและด้านลบ

เมื่อ h เข้าใกล้ศูนย์ เส้นตัดสีเขียวหมุนเข้าหาเส้นสัมผัสที่มีความชัน 2

ตัวอย่าง 1

หาความชันเส้นตัดของกราฟ y=x2y = x^2 จากจุด (1,1)(1, 1) ไปยังจุดที่ x=3x = 3 22 1.51.5 1.11.1 แล้วคาดความชันของเส้นสัมผัสที่ x=1x = 1

  1. ไป x=3x = 3 ความชันคือ 9−13−1=4\dfrac{9 - 1}{3 - 1} = 4 ไป x=2x = 2 ได้ 4−11=3\dfrac{4-1}{1} = 3
  2. ไป x=1.5x = 1.5 ได้ 2.25−10.5=2.5\dfrac{2.25 - 1}{0.5} = 2.5 ไป x=1.1x = 1.1 ได้ 1.21−10.1=2.1\dfrac{1.21 - 1}{0.1} = 2.1
  3. ตัวเลขลดลงเข้าหา 22 ดูให้เป็นสูตร ความชันเส้นตัดคือ (1+h)2−1h=2h+h2h=2+h\dfrac{(1+h)^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h เมื่อ h≠0h \ne 0
  4. เมื่อ hh เข้าใกล้ศูนย์ 2+h2 + h เข้าใกล้ 22 ความชันของเส้นสัมผัสที่ x=1x = 1 จึงเท่ากับ 22

นิยามของอนุพันธ์

นิยาม

อนุพันธ์ของ ff ที่ x=ax = a คือ f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h เมื่อลิมิตนี้มีค่า ถ้ามีค่าจะกล่าวว่า ff หาอนุพันธ์ได้ที่ aa

อนุพันธ์ที่ aa มีสองความหมายพร้อมกัน ในทางกราฟคือความชันของเส้นสัมผัสที่จุด (a,f(a))(a, f(a)) ในทางปริมาณคืออัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งของ ff เทียบกับ xx หน่วยของอนุพันธ์จึงเป็นหน่วยของผลลัพธ์ต่อหน่วยของตัวแปรต้น ระยะทางเป็นเมตร เวลาเป็นวินาที อนุพันธ์ก็เป็นเมตรต่อวินาที

ถ้าเปลี่ยน aa เป็นตัวแปร xx เราได้ฟังก์ชันใหม่ f′(x)f'(x) ที่บอกความชันของกราฟที่ทุกจุด เรียกว่าฟังก์ชันอนุพันธ์ เขียนได้หลายแบบ คือ f′(x)f'(x) หรือ y′y' หรือ dydx\dfrac{dy}{dx} แบบสุดท้ายอ่านว่า ดีวายดีเอกซ์ เตือนให้นึกถึงผลต่างของ yy หารผลต่างของ xx ที่เล็กลงเรื่อยๆ ไม่ใช่เศษส่วนธรรมดาที่ตัด dd ทิ้งได้

ขั้นตอนหาอนุพันธ์จากนิยามมีสามขั้นเสมอ คือ เขียนผลต่าง f(x+h)−f(x)f(x + h) - f(x) แล้วจัดรูปให้ทุกพจน์มี hh เป็นตัวประกอบ หารด้วย hh ให้หมดเมื่อ h≠0h \ne 0 แล้วจึงให้ hh เข้าใกล้ศูนย์ ถ้าแทน h=0h = 0 ก่อนตัด จะได้ 00\tfrac{0}{0} เหมือนในหน้า 46.1

ตัวอย่าง 2

ใช้นิยามหาอนุพันธ์ของ f(x)=x2f(x)=x^2 ที่ x=ax=a แล้วใช้ผลนี้หาความเร็วของรถ s(t)=5t2s(t) = 5t^2 ที่วินาทีที่ 22

  1. ผลต่าง (a+h)2−a2=a2+2ah+h2−a2=2ah+h2(a+h)^2 - a^2 = a^2 + 2ah + h^2 - a^2 = 2ah + h^2 ทุกพจน์มี hh แล้ว
  2. หารด้วย hh ได้ 2a+h2a + h เมื่อ h≠0h\ne0
  3. ให้ h→0h\to0 ได้ f′(a)=2af'(a)=2a ความชันที่ x=1x = 1 จึงเป็น 22 ตรงกับตัวอย่างที่ 1
  4. รถมี s(t)=5t2s(t) = 5t^2 ทำแบบเดียวกันได้ผลต่างหาร hh เป็น 10t+5h10t + 5h จึงได้ s′(t)=10ts'(t) = 10t และ s′(2)=20s'(2) = 20 เมตรต่อวินาที ตรงกับตารางในหน้า 46.1

ตัวอย่าง 3

ใช้นิยามหา f′(x)f'(x) เมื่อ f(x)=x3f(x) = x^3 แล้วหาความชันที่ x=−1x = -1

  1. กระจาย (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 ลบ x3x^3 ออก เหลือ 3x2h+3xh2+h33x^2h + 3xh^2 + h^3
  2. หารด้วย hh ได้ 3x2+3xh+h23x^2 + 3xh + h^2 เมื่อ h≠0h \ne 0
  3. ให้ h→0h\to0 สองพจน์หลังมี hh จึงหายไป ได้ f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
  4. ที่ x=−1x = -1 ความชันคือ 3(−1)2=33(-1)^2 = 3 เป็นบวก แม้จุดนั้นอยู่ใต้แกน xx ความชันบอกทิศที่กราฟกำลังไป ไม่ได้บอกว่ากราฟอยู่สูงหรือต่ำ

ผลสองตัวอย่างนี้มีแบบแผน x2x^2 ได้ 2x2x และ x3x^3 ได้ 3x23x^2 คือดึงเลขชี้กำลังลงมาคูณแล้วลดกำลังลงหนึ่ง หน้า 46.3 จะใช้แบบแผนนี้เป็นสูตร แต่ก่อนจะเชื่อสูตร ลองดูฟังก์ชันที่มีรากที่สองว่ายังเข้ากับแบบแผนหรือไม่

ตัวอย่าง 4

ใช้นิยามหาอนุพันธ์ของ f(x)=xf(x) = \sqrt{x} เมื่อ xx มากกว่าศูนย์ แล้วหา f′(4)f'(4)

  1. ตั้ง x+h−xh\dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} แทน h=0h = 0 ได้ 00\tfrac{0}{0} และแยกตัวประกอบไม่ได้ จึงคูณสังยุค x+h+x\sqrt{x+h} + \sqrt{x} ทั้งเศษและส่วนแบบหน้า 46.1
  2. เศษกลายเป็น (x+h)−x=h(x + h) - x = h ได้ hh(x+h+x)=1x+h+x\dfrac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} เมื่อ h≠0h \ne 0
  3. ให้ h→0h\to0 ได้ f′(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ซึ่งเขียนได้เป็น 12x−1/2\tfrac{1}{2}x^{-1/2} เข้ากับแบบแผนดึงเลขชี้กำลัง 12\tfrac{1}{2} ลงมาแล้วลดกำลังลงหนึ่ง
  4. f′(4)=12⋅2=14f'(4) = \dfrac{1}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{4} ตรงกับลิมิตในตัวอย่างที่ 4 ของหน้า 46.1 เพราะลิมิตนั้นคือนิยามของอนุพันธ์ที่ 44 ในอีกรูปหนึ่ง

เส้นสัมผัสบอกทิศของกราฟ

ความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับสองเท่าของพิกัด x ของจุดสัมผัส

เลื่อนจุดสัมผัสจากด้านลบผ่านศูนย์ไปด้านบวก ความชันเปลี่ยนจากลบเป็นศูนย์แล้วเป็นบวกตาม f′(x)=2xf'(x) = 2x ช่วงที่ความชันเป็นลบ กราฟกำลังลง ช่วงที่เป็นบวก กราฟกำลังขึ้น จุดต่ำสุดจึงตรงกับตำแหน่งที่เส้นสัมผัสขนานแกนนอน ข้อสังเกตนี้คือหัวใจของการหาค่าสูงสุดต่ำสุดในหน้า 46.4

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่าเส้นสัมผัสต้องแตะกราฟเพียงจุดเดียว เหมือนเส้นสัมผัสวงกลม เส้นสัมผัสกราฟ y=x3y = x^3 ที่ x=1x = 1 แตะกราฟจุดเดียวหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ ความชันที่ x=1x = 1 คือ 33 เส้นสัมผัสคือ y=3x−2y = 3x - 2 ตั้ง x3=3x−2x^3 = 3x - 2 ได้ x3−3x+2=(x−1)2(x+2)=0x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) = 0 เส้นนี้จึงพบกราฟอีกครั้งที่ x=−2x = -2 เส้นสัมผัสของกราฟทั่วไปนิยามจากความชันที่จุดนั้น ไม่ได้นิยามจากจำนวนจุดที่แตะ คำนิยามแบบวงกลมใช้ได้เฉพาะวงกลมและภาคตัดกรวย

ลองคิดก่อน

ฟังก์ชัน f(x)=∣x∣f(x) = |x| ต่อเนื่องที่ศูนย์ จึงต้องหาอนุพันธ์ที่ศูนย์ได้ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ผลหาร ∣0+h∣−0h=∣h∣h\dfrac{|0 + h| - 0}{h} = \dfrac{|h|}{h} เป็นฟังก์ชันในตัวอย่างที่ 2 ของหน้า 46.1 ซึ่งลิมิตขวาเป็น 11 ลิมิตซ้ายเป็น −1-1 ไม่มีลิมิตสองด้าน จึงหาอนุพันธ์ที่ศูนย์ไม่ได้ กราฟเป็นมุมแหลมที่ศูนย์ ไม่มีเส้นสัมผัสเส้นเดียว ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ต้องต่อเนื่อง แต่ฟังก์ชันต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้

สรุป

  • ความชันเส้นตัดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย อนุพันธ์คือลิมิตของความชันนี้เมื่อ hh เข้าใกล้ศูนย์
  • f′(a)f'(a) เป็นทั้งความชันเส้นสัมผัสและอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง มีหน่วยเป็นหน่วยผลลัพธ์ต่อหน่วยตัวแปรต้น
  • หาจากนิยามโดยจัดผลต่างให้มี hh เป็นตัวประกอบ หาร hh ก่อน แล้วจึงให้ hh เข้าใกล้ศูนย์
  • x2x^2 ได้ 2x2x x3x^3 ได้ 3x23x^2 x\sqrt{x} ได้ 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}} ส่วน ∣x∣|x| หาอนุพันธ์ที่ศูนย์ไม่ได้

การหาอนุพันธ์จากนิยามทุกครั้งยาวเกินไป หน้าถัดไปจะสรุปแบบแผนที่เห็นเป็นกฎ แล้วใช้กับผลบวก ผลคูณ ผลหาร และฟังก์ชันประกอบ