22.3 ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

ไม้ลูกบาศก์ก้อนหนึ่งยาวด้านละ $x$ เซนติเมตร เลื่อยลูกบาศก์เล็กยาวด้านละ $2$ เซนติเมตรออกจากมุมหนึ่ง เนื้อไม้ที่เหลือมีปริมาตร $x^3 - 8$ ลูกบาศก์เซนติเมตร

$x^3 - 8$ มีสองพจน์และเป็นผลต่าง คล้าย $x^2 - 4$ มาก แต่ยกกำลังสาม สูตรผลต่างของกำลังสองใช้ไม่ได้ หน้านี้จะหาสูตรของกำลังสามมาใช้แทน

หาสูตรด้วยการคูณ

ผลต่างของกำลังสองมี $(A - B)$ เป็นตัวประกอบ ลองเดาว่า $A^3 - B^3$ ก็มี $(A - B)$ เป็นตัวประกอบเหมือนกัน แล้วหาว่าต้องคูณกับอะไร ลองคูณ $(A - B)$ กับ $(A^2 + AB + B^2)$ ดู

พจน์ตรงกลางหักล้างกันหมด เหลือแค่ $A^3 - B^3$ พอดี คูณแบบเดียวกันกับ $(A + B)(A^2 - AB + B^2)$ ก็จะได้ $A^3 + B^3$

สองสูตรนี้หน้าตาเหมือนกัน ต่างกันแค่เครื่องหมาย จำเครื่องหมายเป็นลำดับว่า เหมือน ตรงข้าม บวกเสมอ

• วงเล็บแรก เครื่องหมายเหมือนโจทย์ โจทย์เป็นผลบวกก็เป็น $A + B$
• พจน์กลางของวงเล็บที่สอง เครื่องหมายตรงข้ามกับโจทย์
• พจน์สุดท้าย $B^2$ เป็นบวกเสมอ

รู้จักกำลังสามให้ขึ้นใจ

ก่อนใช้สูตร ต้องมองออกว่าพจน์ไหนเป็นกำลังสามของอะไร

เอกนามก็เป็นกำลังสามได้ เช่น $8x^3 = (2x)^3$ และ $27x^6 = (3x^2)^3$ ดูว่าสัมประสิทธิ์อยู่ในตาราง และเลขชี้กำลังของตัวแปรหารด้วย $3$ ลงตัว

ใช้สูตร

สูตรใช้กับสองตัวแปรได้เหมือนกัน เช่น $x^3 + 27y^3$ มี $A = x$ และ $B = 3y$ จึงได้ $(x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$

วงเล็บที่สองแยกต่อไม่ได้

วงเล็บที่สองของตัวอย่าง 1 คือ $x^2 + 2x + 4$ ซึ่งหน้า 22.1 ตรวจแล้วว่าแยกไม่ได้ วงเล็บที่สองของผลบวกและผลต่างของกำลังสามเป็นแบบนี้ทุกครั้ง เมื่อ $A$ กับ $B$ ไม่มีตัวร่วมกัน ใช้สูตรเสร็จแล้วจึงไม่ต้องพยายามแยกวงเล็บนี้ต่อ

ใช้กับจำนวน

สูตรนี้ช่วยแยกจำนวนที่อยู่ใกล้กำลังสามของ $10$ ให้เป็นผลคูณได้ในใจ

สรุป

• $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
• $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$
• จำเครื่องหมายว่า เหมือน ตรงข้าม บวกเสมอ
• พจน์กลางของวงเล็บที่สองคือ $AB$ ไม่ใช่ $2AB$ และวงเล็บนี้แยกต่อไม่ได้
• $A^3 - B^3$ ไม่เท่ากับ $(A - B)^3$