descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 39 ฟังก์ชันตรีโกณมิติตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 1เพิ่มเติม

39.7 กฎของไซน์และโคไซน์

นักเรียนกลุ่มหนึ่งอยากรู้ว่าแม่น้ำหน้าโรงเรียนกว้างเท่าไร แต่ไม่มีเรือข้ามไปขึงเทปวัด ฝั่งตรงข้ามมีต้นไม้ใหญ่ต้นหนึ่ง พวกเขาจึงปักหลักสองหลักบนฝั่งตัวเองห่างกัน 100100 เมตร แล้วใช้ไม้โปรแทรกเตอร์วัดมุมจากแนวฝั่งไปยังต้นไม้ที่หลักทั้งสอง ได้ 75∘75^\circ กับ 60∘60^\circ ข้อมูลเท่านี้พอหาความกว้างของแม่น้ำได้ไหม

หลักสองหลักกับต้นไม้เป็นสามเหลี่ยม แต่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนตรีโกณมิติแบบบทที่ 31 จึงใช้ตรงๆ ไม่ได้ หน้านี้จะสร้างกฎสองข้อที่ใช้กับสามเหลี่ยมทุกรูป แล้วกลับมาตอบคำถามนี้

ตั้งชื่อด้านให้ตรงมุม

ในสามเหลี่ยม ABCABC เขียนมุมด้วยอักษรตัวใหญ่ และให้ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมใช้อักษรตัวเล็กตัวเดียวกัน ด้าน aa อยู่ตรงข้ามมุม AA ด้าน bb อยู่ตรงข้ามมุม BB และด้าน cc อยู่ตรงข้ามมุม CC การตั้งชื่อแบบนี้ทำให้สูตรจำง่าย และบอกได้ทันทีว่าด้านไหนคู่กับมุมไหน

กฎของโคไซน์มาจากพีทาโกรัส

วางสามเหลี่ยมบนระนาบพิกัดให้ CC อยู่ที่จุดกำเนิดและ BB อยู่บนแกน xx ที่ (a,0)(a, 0) จุด AA อยู่ห่างจาก CC เป็นระยะ bb ในทิศมุม CC ตามหน้า 39.1 พิกัดของ AA คือ (bcos⁡C,bsin⁡C)(b\cos C, b\sin C)

CBAabc(b cos C, b sin C)(a, 0)
ด้าน cc คือระยะจาก A(bcos⁡C,bsin⁡C)A(b\cos C, b\sin C) ถึง B(a,0)B(a, 0) เส้นประคือความสูงจาก AA ซึ่งยาว bsin⁡Cb\sin C

ด้าน cc คือระยะระหว่าง AA กับ BB ใช้สูตรระยะทาง (ซึ่งก็คือพีทาโกรัสของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีเส้นประเป็นด้านหนึ่ง)

c2=(bcos⁡C−a)2+(bsin⁡C)2=b2cos⁡2C−2abcos⁡C+a2+b2sin⁡2Cc^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2 = b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C

รวม b2cos⁡2C+b2sin⁡2C=b2b^2\cos^2 C + b^2\sin^2 C = b^2 ด้วยเอกลักษณ์จากหน้า 39.2 ได้กฎของโคไซน์ การพิสูจน์นี้ไม่ได้สมมุติว่า CC เป็นมุมแหลม ถ้า CC เป็นมุมป้าน cos⁡C\cos C ติดลบ จุด AA แค่ไปอยู่ทางซ้ายของแกน yy สูตรยังเหมือนเดิม

กฎของโคไซน์

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

และในทำนองเดียวกัน a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A และ b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B

ถ้า C=90∘C = 90^\circ จะได้ cos⁡C=0\cos C = 0 เหลือ c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 ซึ่งคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส พจน์ −2abcos⁡C-2ab\cos C จึงเป็นตัวปรับเมื่อมุมไม่ฉาก มุมแหลมทำให้ cc สั้นกว่ากรณีมุมฉาก มุมป้านทำให้ยาวกว่า กฎนี้เหมาะเมื่อรู้สองด้านกับมุมระหว่างด้าน (ด.ม.ด.) หรือรู้สามด้าน (ด.ด.ด.) แล้วจะหามุม

จากรูปเดียวกัน ความสูงของสามเหลี่ยมเมื่อใช้ aa เป็นฐานคือ bsin⁡Cb\sin C จึงได้พื้นที่เท่ากับ 12\tfrac{1}{2} คูณฐานคูณสูง คือ 12absin⁡C\tfrac{1}{2}ab\sin C มุมในสูตรต้องเป็นมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านที่ใช้

ตัวอย่าง 1

แปลงผักรูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว 55 เมตรและ 77 เมตร มุมระหว่างสองด้านนี้ 60∘60^\circ หาด้านที่สามและพื้นที่ของแปลง

  1. ข้อมูลเป็นสองด้านกับมุมระหว่าง (ด.ม.ด.) จึงใช้กฎของโคไซน์ ให้ a=5a = 5 b=7b = 7 และ C=60∘C = 60^\circ
  2. c2=52+72−2(5)(7)cos⁡60∘=25+49−70⋅12=39c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 25 + 49 - 70 \cdot \tfrac{1}{2} = 39
  3. ความยาวต้องเป็นบวก จึงเลือกรากบวก c=39c = \sqrt{39} ประมาณ 6.246.24 เมตร ตรวจว่าสมเหตุสมผล ถ้ามุมเป็นมุมฉากด้านที่สามจะยาว 74\sqrt{74} ประมาณ 8.68.6 เมตร มุม 60∘60^\circ แคบกว่ามุมฉาก ด้านที่สามจึงควรสั้นกว่า
  4. พื้นที่ 12(5)(7)sin⁡60∘=352⋅32=3534\tfrac{1}{2}(5)(7)\sin 60^\circ = \tfrac{35}{2} \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} ประมาณ 15.215.2 ตารางเมตร

ตัวอย่าง 2

สามเหลี่ยมมีด้านยาว 55 77 และ 88 หน่วย หามุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาว 77 และบอกว่าสามเหลี่ยมนี้มีมุมป้านหรือไม่

  1. รู้สามด้าน (ด.ด.ด.) ให้ b=7b = 7 เป็นด้านตรงข้ามมุม BB ที่ต้องการ แล้วจัดกฎของโคไซน์ใหม่ให้ cos⁡B\cos B อยู่ข้างเดียว cos⁡B=a2+c2−b22ac\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}
  2. แทนค่า cos⁡B=25+64−492(5)(8)=4080=12\cos B = \dfrac{25 + 64 - 49}{2(5)(8)} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2} จึงได้ B=60∘B = 60^\circ
  3. มุมที่ใหญ่ที่สุดอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุด 88 คำนวณ cos⁡C=25+49−642(5)(7)=1070=17\cos C = \dfrac{25 + 49 - 64}{2(5)(7)} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7} เป็นบวก มุม CC จึงเป็นมุมแหลม และเพราะเป็นมุมใหญ่ที่สุด สามเหลี่ยมนี้ไม่มีมุมป้าน

ลองคิดก่อน

สามเหลี่ยมมีด้าน AB=6AB = 6 และ AC=10AC = 10 และมุม B=50∘B = 50^\circ เพื่อนเขียนว่า BC2=62+102−2(6)(10)cos⁡50∘BC^2 = 6^2 + 10^2 - 2(6)(10)\cos 50^\circ ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

มุมในกฎของโคไซน์ต้องเป็นมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านที่ใช้ ด้าน ABAB กับ ACAC มาบรรจบกันที่จุด AA จึงต้องใช้มุม AA ไม่ใช่มุม BB ข้อมูลในโจทย์นี้เป็นสองด้านกับมุมที่ไม่อยู่ระหว่างด้าน ต้องใช้กฎของไซน์ และระวังกรณีคลุมเครือในหัวข้อถัดไป ก่อนแทนสูตรให้ดูว่ามุมที่ใช้อยู่ตรงจุดที่สองด้านมาพบกันหรือไม่

กฎของไซน์มาจากความสูง

ลากความสูง hh จากจุด CC ลงด้าน cc ความสูงนี้เป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป รูปที่มีมุม AA ให้ h=bsin⁡Ah = b\sin A และรูปที่มีมุม BB ให้ h=asin⁡Bh = a\sin B ความสูงเส้นเดียวกันจึงได้ bsin⁡A=asin⁡Bb\sin A = a\sin B หารด้วย sin⁡Asin⁡B\sin A\sin B จะได้ asin⁡A=bsin⁡B\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} ทำแบบเดียวกันกับความสูงเส้นอื่นจะได้ครบสามคู่

กฎของไซน์

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

กฎนี้เหมาะเมื่อรู้ด้านหนึ่งพร้อมมุมตรงข้ามของมันเป็นคู่ แล้วมีข้อมูลอีกหนึ่งอย่าง เช่นรู้สองมุมกับหนึ่งด้าน (ม.ม.ด.) ถ้ารู้สองมุม มุมที่สามหาได้จากผลรวม 180∘180^\circ เสมอ

ตัวอย่าง 3

ให้ A=30∘A = 30^\circ B=45∘B = 45^\circ และ a=6a = 6 หา bb

  1. คู่ aa กับ AA รู้ครบทั้งด้านและมุม จึงตั้ง bsin⁡45∘=6sin⁡30∘\dfrac{b}{\sin 45^\circ} = \dfrac{6}{\sin 30^\circ}
  2. คูณด้วย sin⁡45∘\sin 45^\circ ได้ b=6⋅2212=62b = \dfrac{6 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{1}{2}} = 6\sqrt{2} ประมาณ 8.498.49 หน่วย
  3. ตรวจ มุมที่เหลือ C=180∘−30∘−45∘=105∘C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ เป็นสามเหลี่ยมได้จริง และ b>ab \gt a สอดคล้องกับ B>AB \gt A เพราะด้านยาวกว่าอยู่ตรงข้ามมุมใหญ่กว่า

ตัวอย่าง 4

กลับไปที่แม่น้ำ หลัก AA และ BB อยู่บนฝั่งเดียวกันห่างกัน 100100 เมตร ต้นไม้ CC อยู่อีกฝั่ง วัดมุม CAB=75∘CAB = 75^\circ และมุม CBA=60∘CBA = 60^\circ แม่น้ำกว้างเท่าไร (ถือว่าฝั่งเป็นเส้นตรงขนานกัน)

  1. มุมที่ต้นไม้ C=180∘−75∘−60∘=45∘C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ ตอนนี้รู้คู่ด้านกับมุมตรงข้าม คือ c=AB=100c = AB = 100 กับ C=45∘C = 45^\circ จึงใช้กฎของไซน์ได้
  2. หาด้าน a=BCa = BC ซึ่งอยู่ตรงข้ามมุม A=75∘A = 75^\circ asin⁡75∘=100sin⁡45∘\dfrac{a}{\sin 75^\circ} = \dfrac{100}{\sin 45^\circ} ใช้ sin⁡75∘=6+24\sin 75^\circ = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} จากหน้า 39.5 ได้ a=100⋅6+2422=50(3+1)a = \dfrac{100 \cdot \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = 50(\sqrt{3} + 1) ประมาณ 136.6136.6 เมตร
  3. ความกว้างของแม่น้ำคือระยะตั้งฉากจาก CC ถึงแนวฝั่ง ABAB ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม B=60∘B = 60^\circ ระยะนี้คือ asin⁡60∘=50(3+1)⋅32=25(3+3)a\sin 60^\circ = 50(\sqrt{3} + 1) \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 25(3 + \sqrt{3})
  4. แม่น้ำกว้างประมาณ 118.3118.3 เมตร โดยไม่ต้องข้ามไปวัดเลย

กรณีคลุมเครือ ด.ด.ม.

ถ้ารู้สองด้านกับมุมที่ไม่อยู่ระหว่างสองด้านนั้น กฎของไซน์จะให้ค่า sin⁡B\sin B มาก่อน แต่หน้า 39.4 สอนแล้วว่าค่าไซน์บวกหนึ่งค่ามาจากสองมุมในช่วง 0∘0^\circ ถึง 180∘180^\circ คือ BB กับ 180∘−B180^\circ - B เพราะ sin⁡θ=sin⁡(180∘−θ)\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta) ทั้งสองมุมอาจใช้ได้ หรือใช้ได้มุมเดียว หรือไม่มีสามเหลี่ยมเลย

ลองเลื่อนแถบในกราฟข้างล่าง ด้าน b=6b = 6 ยึดไว้ที่มุม AA ด้าน aa คือรัศมีของวงกลมรอบ CC ที่ต้องยื่นไปแตะฐาน ถ้า aa สั้นกว่าความสูง h=bsin⁡Ah = b\sin A จะแตะไม่ถึง ถ้ายาวระหว่าง hh กับ bb วงกลมตัดฐานสองจุดทางขวาของ AA ได้สองรูป ถ้ายาวตั้งแต่ bb ขึ้นไป จุดตัดหนึ่งไปอยู่หลัง AA เหลือรูปเดียว

เลื่อนด้าน a ดูว่าเมื่อไรได้สองรูป (ส้มและม่วง) รูปเดียว หรือไม่มีเลย

ตัวอย่าง 5

ให้ A=30∘A = 30^\circ a=6a = 6 และ b=62b = 6\sqrt{2} หาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม BB แล้วเทียบกับกรณี a=10a = 10

  1. กฎของไซน์ให้ sin⁡B=bsin⁡Aa=62⋅126=22\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{6\sqrt{2} \cdot \tfrac{1}{2}}{6} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
  2. มุมในสามเหลี่ยมอยู่ระหว่าง 0∘0^\circ ถึง 180∘180^\circ จึงมี B=45∘B = 45^\circ หรือ B=135∘B = 135^\circ
  3. ตรวจผลรวมมุมทีละกรณี 30∘+45∘=75∘30^\circ + 45^\circ = 75^\circ และ 30∘+135∘=165∘30^\circ + 135^\circ = 165^\circ น้อยกว่า 180∘180^\circ ทั้งคู่ จึงได้สองรูป ตรงกับเงื่อนไข h=32h = 3\sqrt{2} ประมาณ 4.244.24 น้อยกว่า a=6a = 6 ซึ่งน้อยกว่า bb ประมาณ 8.498.49
  4. ถ้า a=10a = 10 จะได้ sin⁡B=3210\sin B = \dfrac{3\sqrt{2}}{10} ประมาณ 0.4240.424 ค่าหลักคือ BB ประมาณ 25.1∘25.1^\circ อีกค่าคือ 154.9∘154.9^\circ แต่ 30∘+154.9∘30^\circ + 154.9^\circ เกิน 180∘180^\circ ต้องตัดทิ้ง เหลือรูปเดียว ตรงกับ a≥ba \ge b

ลองคิดก่อน

ใช้กฎของไซน์ได้ sin⁡B=12\sin B = \tfrac{1}{2} แล้วกดเครื่องคิดเลขได้ B=30∘B = 30^\circ ตอบแค่นี้พอไหม

ดูคำตอบ

ยังไม่พอ เครื่องคิดเลขให้ค่าหลักของ arcsin⁡\arcsin ซึ่งอยู่ในช่วง −90∘-90^\circ ถึง 90∘90^\circ ตามหน้า 39.6 จึงไม่เคยให้มุมป้าน แต่ในสามเหลี่ยม B=150∘B = 150^\circ ก็มีไซน์เท่ากับ 12\tfrac{1}{2} ต้องลองทั้ง 30∘30^\circ และ 150∘150^\circ แล้วตรวจว่าผลรวมกับมุมที่โจทย์ให้ยังน้อยกว่า 180∘180^\circ หรือไม่ ถ้าผ่านทั้งคู่จะมีสองรูป ถ้าต้องการหามุมจากสามด้านโดยไม่ต้องกังวลเรื่องนี้ ให้ใช้กฎของโคไซน์ เพราะ arccos⁡\arccos ให้ค่าใน [0∘,180∘][0^\circ, 180^\circ] ครอบคลุมมุมป้านอยู่แล้ว

เลือกกฎให้ตรงข้อมูล

ข้อมูลที่รู้ใช้ข้อควรระวัง
สองด้านกับมุมระหว่าง (ด.ม.ด.)กฎของโคไซน์มุมต้องอยู่ตรงจุดที่สองด้านพบกัน
สามด้าน (ด.ด.ด.)กฎของโคไซน์ในรูปหามุมผลรวมสองด้านต้องยาวกว่าด้านที่สาม
สองมุมกับหนึ่งด้าน (ม.ม.ด.)กฎของไซน์หามุมที่สามจากผลรวม 180∘180^\circ ก่อน
สองด้านกับมุมที่ไม่อยู่ระหว่าง (ด.ด.ม.)กฎของไซน์อาจมีศูนย์ หนึ่ง หรือสองรูป ต้องตรวจทุกครั้ง

บทนี้เริ่มจากคำถามว่า sin⁡150∘\sin 150^\circ คืออะไร และจบที่การวัดแม่น้ำโดยไม่ต้องข้ามไป ทั้งหมดใช้เพียงความคิดเดียว คือจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยมีพิกัด (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) ลองทำแบบฝึกหัดท้ายบทเพื่อตรวจว่าใช้เครื่องมือแต่ละชิ้นได้คล่องแล้ว

สรุป

  • กฎของโคไซน์ c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C มาจากสูตรระยะทาง เมื่อ C=90∘C = 90^\circ กลายเป็นพีทาโกรัส
  • กฎของไซน์ asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} มาจากความสูงเส้นเดียวกันคำนวณสองทาง
  • พื้นที่ 12absin⁡C\tfrac{1}{2}ab\sin C ใช้มุมระหว่างสองด้าน
  • ด.ม.ด. และ ด.ด.ด. ใช้กฎของโคไซน์ ม.ม.ด. ใช้กฎของไซน์
  • ด.ด.ม. อาจได้หลายรูป ลองทั้ง BB และ 180∘−B180^\circ - B แล้วตรวจผลรวมมุม