28.2 มุมในวงกลม

วางจุด A และ B สองจุดบนวงกลม แล้วให้ผู้สังเกต P เคลื่อนบนส่วนโค้งอีกด้านของ AB มุม APB จะเปลี่ยนตามระยะที่มองเห็นไหม ลองลากจุดก่อนอ่านสมบัติ

มุมต้องรองรับส่วนโค้งเดียวกัน

เหตุผลเริ่มจากลากรัศมี OP แล้วแบ่งรูปเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เพราะ OA, OB และ OP ยาวเท่ากัน มุมฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน เมื่อใช้ผลบวกมุมสามเหลี่ยมจะได้มุมศูนย์กลางเป็นสองเท่า ถ้า O อยู่นอกมุม APB ต้องใช้ผลต่างของสองมุม จึงยังได้ความสัมพันธ์เดียวกัน เงื่อนไขเรื่องส่วนโค้งช่วยป้องกันการใช้มุมศูนย์กลางผิดด้าน

มุมในครึ่งวงกลม

เมื่อ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ส่วนโค้งแต่ละด้านมีขนาด $180^\circ$ มุมที่จุดบนวงกลมซึ่งรองรับ AB จึงเป็น $90^\circ$ เสมอ ไม่ว่าจุดยอดจะอยู่ตรงไหนของครึ่งวงกลมนั้น ยกเว้นปลาย A และ B ที่ทำให้ไม่เกิดสามเหลี่ยม

สี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดบนวงกลม

ถ้า A B C D เรียงรอบวงกลม มุม A และ C รองรับส่วนโค้งที่รวมกันเต็มวง จึงรวมกันเท่ากับครึ่งหนึ่งของ $360^\circ$ นั่นคือ $180^\circ$ มุม B กับ D ก็เช่นกัน

สรุป

• ระบุส่วนโค้งที่ไม่ผ่านจุดยอดก่อนใช้กฎครึ่งหนึ่ง
• มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก
• มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันเป็น 180 องศา