37.2 ลอการิทึมและสมบัติ

รู้ว่า $2^3=8$ ก็รู้ว่าต้องยกกำลังเท่าไร แต่ถ้าถามว่า $2^x=10$ เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนเต็ม ลอการิทึมตั้งชื่อให้คำตอบของคำถามนี้

ท้ายหน้า 37.1 เราอยากรู้ว่าคลิปที่ผู้ชมเพิ่มเป็นสองเท่าทุกวันจะถึง $10000$ คนวันไหน ซึ่งกลายเป็นคำถาม $2^t = 100$ ลองไล่ดู $2^6 = 64$ ยังไม่ถึง $2^7 = 128$ เกินแล้ว คำตอบจึงอยู่ระหว่าง $6$ กับ $7$ แต่เราไม่มีวิธีเขียนค่านี้ออกมาตรงๆ คล้ายกับตอนที่ถามว่าจำนวนใดยกกำลังสองได้ $2$ แล้วต้องตั้งชื่อคำตอบว่า $\sqrt{2}$ ลอการิทึมก็เป็นชื่อแบบเดียวกัน แต่ใช้กับเลขชี้กำลัง

การย้อนเอกซ์โพเนนเชียล

อ่าน $\log_a b$ ว่า ล็อกฐาน $a$ ของ $b$ แล้วแปลในใจเป็นคำถามว่า ต้องยก $a$ กำลังเท่าไรจึงได้ $b$ ค่าของลอการิทึมจึงเป็นเลขชี้กำลังเสมอ ไม่ใช่ผลของการยกกำลัง ตัวอย่างการเขียนสองแบบที่หมายถึงเรื่องเดียวกัน

เงื่อนไขในนิยามมาจากหน้า 37.1 ทั้งหมด ฐาน $a$ ต้องบวกและไม่เป็นหนึ่ง เพราะเป็นฐานของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ส่วนอาร์กิวเมนต์ $b$ ต้องบวก เพราะ $a^c$ เป็นบวกเสมอ ไม่มีเลขชี้กำลังไหนทำให้ได้ศูนย์หรือจำนวนลบ คำถาม $\log_2(-8)$ จึงไม่มีคำตอบเลย ไม่ใช่ว่าคำตอบเป็นจำนวนลบ

ผลที่ตามมาจากนิยามโดยตรงมีสามข้อที่ใช้บ่อย คือ $\log_a 1 = 0$ เพราะ $a^0 = 1$ และ $\log_a a = 1$ เพราะ $a^1 = a$ และ $\log_a (a^c) = c$ เพราะถามว่ายก $a$ กำลังเท่าไรได้ $a^c$ ก็ต้องตอบ $c$

กราฟของลอการิทึม

$\log_a x$ ทำงานย้อนกับ $a^x$ ตัวหนึ่งรับเลขชี้กำลังแล้วส่งผลกำลังออกมา อีกตัวรับผลกำลังแล้วส่งเลขชี้กำลังกลับ จึงเป็นฟังก์ชันผกผันกันตามหน้า 36.5 ทุกจุด $(p, q)$ บนกราฟ $y = 2^x$ สลับเป็น $(q, p)$ ได้จุดบนกราฟ $y = \log_2 x$ เช่น $(1, 2)$ กลายเป็น $(2, 1)$ และ $(0, 1)$ กลายเป็น $(1, 0)$

กราฟ $y=\log_a x$ สะท้อน $y=a^x$ ข้าม $y=x$ จึงมีโดเมน $(0,\infty)$ เรนจ์ $\mathbb R$ และผ่าน $(1,0)$ ฐานมากกว่าหนึ่งให้กราฟเพิ่ม ฐานระหว่างศูนย์กับหนึ่งให้กราฟลด โดเมนกับเรนจ์สลับกับของเอกซ์โพเนนเชียลพอดี และเส้นกำกับก็สลับจากแนวนอน $y = 0$ เป็นแนวตั้ง $x = 0$ ลองเลื่อนฐานในกราฟของหน้า 37.1 อีกครั้ง คราวนี้ดูเส้นประเขียวที่เป็นลอการิทึม

สิ่งที่ควรสังเกตคือกราฟลอการิทึมฐานมากกว่าหนึ่งขึ้นช้ามาก $\log_2 1024 = 10$ แปลว่ากว่าจะขึ้นถึงความสูง $10$ ต้องเดินไปถึง $x = 1024$ ลอการิทึมจึงเหมาะกับการย่อจำนวนที่ต่างกันเป็นพันเท่าล้านเท่าให้เหลือตัวเลขเล็กๆ ที่เทียบกันง่าย

สมบัติจากกฎกำลัง

เมื่อ $M,N>0$ $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$ $\log_a(M/N)=\log_a M-\log_a N,\qquad \log_a(M^r)=r\log_a M$

สมบัติเหล่านี้ไม่ต้องท่องแยก เพราะเป็นกฎเลขยกกำลังจากบทที่ 14 ที่เขียนใหม่ในภาษาของเลขชี้กำลัง ให้ $\log_a M = p$ และ $\log_a N = q$ แปลว่า $M = a^p$ และ $N = a^q$ เมื่อคูณกันได้ $MN = a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ เลขชี้กำลังของ $MN$ จึงเป็น $p + q$ คือ $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ การหารทำแบบเดียวกันได้ $a^{p-q}$ ส่วนการยกกำลัง $M^r = (a^p)^r = a^{pr}$ จึงได้ $r\log_a M$

สูตรผลคูณมาจากการบวกเลขชี้กำลัง ไม่ได้ใช้กับผลบวกของอาร์กิวเมนต์ จึงไม่มีสูตร $\log_a(M+N)=\log_a M+\log_a N$ และ $\log_a M \cdot \log_a N$ ก็ไม่ใช่ $\log_a(MN)$

ลอการิทึมสามัญและค่าความเป็นกรดด่าง

ลอการิทึมฐาน $10$ ใช้บ่อยจนมีชื่อเฉพาะว่าลอการิทึมสามัญ เขียน $\log x$ โดยไม่ใส่ฐาน เพราะเราเขียนจำนวนด้วยระบบฐานสิบ $\log$ ของ $10$ $100$ $1000$ จึงเป็น $1$ $2$ $3$ คือนับจำนวนศูนย์ท้ายนั่นเอง

ตัวอย่างที่เจอในวิชาเคมีคือค่า pH ของสารละลาย นิยามจาก $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$ เมื่อ $[\text{H}^+]$ คือความเข้มข้นของไฮโดรเจนไอออนในหน่วยโมลต่อลิตร น้ำบริสุทธิ์มี $[\text{H}^+] = 10^{-7}$ จึงมี pH เท่ากับ $7$ ความเข้มข้นจริงเป็นทศนิยมที่มีศูนย์ยาวมาก อ่านยาก ลอการิทึมย่อให้เหลือเลขหลักเดียว ส่วนเครื่องหมายลบใส่ไว้ให้ pH เป็นบวก

เปลี่ยนฐานเพื่อใช้เครื่องคิดเลข

สูตรเปลี่ยนฐานคือ $\log_a b=\log_c b/\log_c a$ เมื่อ $c>0$ $c\ne1$ ใช้กับเครื่องคิดเลขที่มี $\log$ ฐานสิบหรือ $\ln$ ฐาน $e$ ได้ ต้องเปลี่ยนทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นฐานเดียวกัน

ที่มาของสูตรใช้สมบัติย้ายกำลัง ให้ $x = \log_a b$ แปลว่า $a^x = b$ ใส่ $\log_c$ ทั้งสองข้างได้ $\log_c (a^x) = \log_c b$ ย้ายกำลังลงมาได้ $x \log_c a = \log_c b$ หารด้วย $\log_c a$ ซึ่งไม่เป็นศูนย์เพราะ $a \ne 1$ จึงได้สูตร ฐาน $e$ ประมาณ $2.718$ เป็นฐานที่ใช้มากในวิชาแคลคูลัส แต่ในหน้านี้ใช้ฐานสิบก็พอ

ย้ายเลขชี้กำลังพร้อมเงื่อนไข

สมบัติย้ายกำลัง $\log_a(M^r)=r\log_a M$ ต้องมี $M>0$ หากข้างในเป็นกำลังสองของตัวแปรที่อาจลบ ต้องเขียนค่าสัมบูรณ์เพื่อรักษาโดเมน

ถ้าเขียน $2\log_2 x$ จะใช้ไม่ได้เมื่อ $x<0$ แม้สูตรเดิมมีความหมาย การจัดรูปที่ดูสั้นลงจึงอาจลดโดเมนโดยไม่ตั้งใจ ต้องบอกเงื่อนไขหรือใช้ค่าสัมบูรณ์ให้ครบ เรื่องนี้จะกลับมาในหน้า 37.3 เพราะการรวมหรือแยกลอการิทึมระหว่างแก้สมการก็เปลี่ยนโดเมนได้แบบเดียวกัน

สรุป

• ลอการิทึมตอบคำถามว่าใช้เลขชี้กำลังเท่าไร $\log_a b = c$ ก็ต่อเมื่อ $a^c = b$
• อาร์กิวเมนต์ต้องบวก ฐานต้องบวกและไม่เท่ากับหนึ่ง
• กราฟ $y = \log_a x$ สะท้อน $y = a^x$ ข้ามเส้น $y = x$
• รวมผลบวกของลอการิทึมเป็นผลคูณ ผลต่างเป็นผลหาร และย้ายกำลังลงมาคูณได้
• ไม่มีสูตรสำหรับ $\log_a(M + N)$
• เปลี่ยนฐานด้วย $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$ เพื่อใช้เครื่องคิดเลข