descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 19 การให้เหตุผลทางเรขาคณิตตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 2 บทที่ 4

19.4 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ช่างไม้ทำโครงหลังคาทรงจั่ว โดยตัดไม้จันทันสองท่อนให้ยาวเท่ากัน ปลายบนชนกันที่ยอดจั่ว ปลายล่างวางบนคานสองฝั่ง ช่างไม่ต้องวัดมุมที่ไม้จันทันวางบนคานเลย เพราะรู้ว่าสองข้างจะเอียงเท่ากันเอง หน้านี้จะพิสูจน์ว่าทำไม

ส่วนต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

นิยาม

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน

  • ด้านที่ยาวเท่ากันสองด้าน เรียกว่า ด้านประกอบมุมยอด
  • มุมที่อยู่ระหว่างด้านประกอบมุมยอด เรียกว่า มุมยอด
  • ด้านที่สาม เรียกว่า ฐาน และมุมสองมุมที่อยู่ปลายฐาน เรียกว่า มุมที่ฐาน

ลองลากจุด AA ในรูปข้างล่าง ฐาน BCBC อยู่กับที่ เส้นประสีเขียวคือเส้นที่ตั้งฉากกับ BCBC และผ่านจุดกึ่งกลางของ BCBC ดูว่ามุมที่ฐานสองมุมเท่ากันเมื่อไร

ลาก AA ไปไว้บนเส้นประหลายตำแหน่ง แล้วลองลากออกนอกเส้นประ

จะเห็นว่ามุมที่ฐานเท่ากันทุกครั้งที่ AB=ACAB = AC แต่นี่คือการลองดู ยังไม่ใช่การพิสูจน์ ต่อไปจะพิสูจน์

มุมที่ฐานเท่ากัน

ทฤษฎีบท

ถ้ารูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วมุมที่ฐานมีขนาดเท่ากัน

ABCD
เส้นสีเขียว ADAD แบ่งมุมยอดเป็นสองส่วนเท่ากัน มุมสีม่วงคือมุมที่ฐานที่ต้องพิสูจน์

กำหนดให้ △ABC\triangle ABC มี AB=ACAB = AC

ต้องการพิสูจน์ว่า AB^C=AC^BA\hat{B}C = A\hat{C}B

มุม BB กับมุม CC อยู่ในรูปสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน ยังจับคู่เป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปไม่ได้ จึงต้องลากเส้นเพิ่ม ลาก AD‾\overline{AD} แบ่งครึ่ง BA^CB\hat{A}C ตัด BC‾\overline{BC} ที่ DD (ทุกมุมแบ่งครึ่งได้ด้วยการสร้างที่เรียนตอน ม.1) จะได้ △ABD\triangle ABD ที่มีมุม BB และ △ACD\triangle ACD ที่มีมุม CC

พิสูจน์

ข้อความเหตุผล
(1) AB=ACAB = ACกำหนดให้
(2) BA^D=CA^DB\hat{A}D = C\hat{A}DAD‾\overline{AD} แบ่งครึ่ง BA^CB\hat{A}C
(3) AD=ADAD = ADเป็นด้านร่วม
(4) △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACDด.ม.ด. จาก (1) (2) (3)
(5) AB^D=AC^DA\hat{B}D = A\hat{C}Dมุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการมีขนาดเท่ากัน

AB^DA\hat{B}D คือมุมเดียวกับ AB^CA\hat{B}C และ AC^DA\hat{C}D คือมุมเดียวกับ AC^BA\hat{C}B เพราะ DD อยู่บน BC‾\overline{BC} จึงได้สิ่งที่ต้องพิสูจน์

ได้อะไรเพิ่มจากการพิสูจน์เดียวกัน

บรรทัด (4) บอกว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ จึงอ่านส่วนที่สมนัยกันได้อีก

ข้อความเหตุผล
(6) BD=CDBD = CDด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ
(7) AD^B=AD^CA\hat{D}B = A\hat{D}Cมุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ
(8) AD^B+AD^C=180∘A\hat{D}B + A\hat{D}C = 180^\circBB DD CC อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
(9) AD^B=AD^C=90∘A\hat{D}B = A\hat{D}C = 90^\circจาก (7) และ (8) มุมสองมุมที่เท่ากันและรวมกันได้ 180∘180^\circ ต้องเป็นมุมละ 90∘90^\circ

สมบัติ

เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แบ่งฐานออกเป็นสองส่วนยาวเท่ากัน และตั้งฉากกับฐาน

ช่างไม้ใช้สมบัตินี้ทุกวัน เสาที่ตั้งจากยอดจั่วลงมาตั้งฉากกับคาน จะลงตรงกึ่งกลางคานพอดี

ตัวอย่าง 1

หลังคาทรงจั่วหลังหนึ่งมีมุมยอดจั่ว 120∘120^\circ ไม้จันทันสองข้างยาวเท่ากัน ไม้จันทันแต่ละข้างทำมุมกับคานกี่องศา

  1. ไม้จันทันสองข้างกับคานเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ไม้จันทันทำกับคานคือมุมที่ฐาน
  2. มุมที่ฐานเท่ากัน ให้แต่ละมุมเป็น xx องศา ได้ 120+x+x=180120 + x + x = 180
  3. 2x=602x = 60 จึงได้ x=30x = 30 ไม้จันทันแต่ละข้างทำมุม 30∘30^\circ กับคาน

ตัวอย่าง 2

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปหนึ่งมีมุมที่ฐานมุมหนึ่งเท่ากับ 52∘52^\circ มุมยอดมีขนาดเท่าใด

  1. มุมที่ฐานอีกมุมหนึ่งก็เท่ากับ 52∘52^\circ
  2. มุมยอดเท่ากับ 180∘−52∘−52∘=76∘180^\circ - 52^\circ - 52^\circ = 76^\circ

ลองคิดก่อน

ก้อยเริ่มพิสูจน์ทฤษฎีบทมุมที่ฐานแบบนี้ "ลาก AD‾\overline{AD} ให้ตั้งฉากกับ BC‾\overline{BC} และแบ่งครึ่ง BC‾\overline{BC} ที่ DD" แล้วใช้ ด.ม.ด. กับ BD=CDBD = CD AD^B=AD^CA\hat{D}B = A\hat{D}C และ AD=ADAD = AD การพิสูจน์ของก้อยมีปัญหาตรงไหน

ดูคำตอบ

ก้อยสั่งให้เส้นเส้นเดียวทำสองอย่างพร้อมกัน คือตั้งฉากกับ BCBC และผ่านจุดกึ่งกลางของ BCBC ด้วย แต่เส้นจาก AA ที่ตั้งฉากกับ BCBC มีได้เส้นเดียว จะผ่านจุดกึ่งกลางหรือไม่ยังไม่รู้ ต้องพิสูจน์ก่อน และนั่นก็คือสิ่งที่ได้ตอนท้ายของการพิสูจน์ข้างบน ก้อยจึงแอบใช้ข้อสรุปเป็นสิ่งที่กำหนดให้ เวลาลากเส้นเพิ่ม ให้ลากโดยกำหนดเงื่อนไขเพียงข้อเดียว เช่น แบ่งครึ่งมุม หรือลากไปจุดกึ่งกลางของฐาน แล้วพิสูจน์ส่วนที่เหลือ

บทกลับ มุมเท่ากันแล้วด้านเท่ากัน

บทกลับของทฤษฎีบทมุมที่ฐานคือ "ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน แล้วด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมทั้งสองยาวเท่ากัน" ในกราฟข้างบน ถ้าลาก AA จนมุม BB เท่ากับมุม CC จะเห็นว่า AB=ACAB = AC ทุกครั้ง หน้า 19.3 เตือนไว้ว่าบทกลับต้องพิสูจน์แยก จึงพิสูจน์ต่อ

ABCD
คราวนี้รู้แค่ว่ามุมสีม่วงสองมุมเท่ากัน ยังไม่รู้ว่า ABAB กับ ACAC ยาวเท่ากันหรือไม่

กำหนดให้ △ABC\triangle ABC มี AB^C=AC^BA\hat{B}C = A\hat{C}B

ต้องการพิสูจน์ว่า AB=ACAB = AC

ลาก AD‾\overline{AD} แบ่งครึ่ง BA^CB\hat{A}C ตัด BC‾\overline{BC} ที่ DD เหมือนเดิม คราวนี้รู้มุมสองคู่แต่ด้านคู่เดียว คือ ADAD ซึ่งไม่ได้อยู่ระหว่างมุมที่รู้ ต้องหามุมคู่ที่สามก่อน แล้วจึงใช้ ม.ด.ม. ได้

พิสูจน์

ข้อความเหตุผล
(1) BA^D=CA^DB\hat{A}D = C\hat{A}DAD‾\overline{AD} แบ่งครึ่ง BA^CB\hat{A}C
(2) AB^D=AC^DA\hat{B}D = A\hat{C}Dกำหนดให้
(3) AD^B=AD^CA\hat{D}B = A\hat{D}Cมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180∘180^\circ จึงได้ AD^B=180∘−BA^D−AB^DA\hat{D}B = 180^\circ - B\hat{A}D - A\hat{B}D และ AD^C=180∘−CA^D−AC^DA\hat{D}C = 180^\circ - C\hat{A}D - A\hat{C}D ซึ่งเท่ากันจาก (1) และ (2)
(4) AD=ADAD = ADเป็นด้านร่วม
(5) △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACDม.ด.ม. จาก (1) (4) (3)
(6) AB=ACAB = ACด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการยาวเท่ากัน

ข้อความกับบทกลับจริงทั้งคู่ จึงเขียนรวมได้ว่า ด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมยาวเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านทั้งสองมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่าง 3

แสดงว่ามุมทุกมุมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด 60∘60^\circ

  1. ให้ △ABC\triangle ABC มี AB=BC=CAAB = BC = CA
  2. AB=ACAB = AC จึงได้มุมที่อยู่ตรงข้าม AC^B=AB^CA\hat{C}B = A\hat{B}C ตามทฤษฎีบทมุมที่ฐาน
  3. BA=BCBA = BC จึงได้ BC^A=BA^CB\hat{C}A = B\hat{A}C ด้วยเหตุผลเดียวกัน
  4. มุมทั้งสามจึงเท่ากันหมด และรวมกันได้ 180∘180^\circ แต่ละมุมจึงเท่ากับ 180∘÷3=60∘180^\circ \div 3 = 60^\circ

สรุป

  • รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมที่ฐานเท่ากัน พิสูจน์ด้วยการลากเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดแล้วใช้ ด.ม.ด.
  • เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดแบ่งครึ่งฐานและตั้งฉากกับฐาน
  • บทกลับก็จริง ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมทั้งสองยาวเท่ากัน พิสูจน์ด้วย ม.ด.ม.
  • เวลาลากเส้นเพิ่ม กำหนดเงื่อนไขให้เส้นนั้นได้ทีละหนึ่งข้อ