descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 29 พีระมิด กรวย และทรงกลมตรงกับหนังสือ ม.3 เล่ม 2 บทที่ 3

29.1 พีระมิด กรวย ทรงกลม และสูงเอียง

หลังคาศาลาทรงจั่วสี่ด้าน หมวกวันเกิดกระดาษ ลูกฟุตบอล ทั้งสามอย่างไม่ใช่ปริซึมหรือทรงกระบอกแบบในบทที่ 12 เพราะไม่ได้มีฐานสองฐานที่เท่ากันและขนานกัน หลังคากับหมวกมีฐานด้านเดียวแล้วเรียวขึ้นไปเป็นจุดแหลม ส่วนลูกบอลไม่มีฐานเลย หน้านี้จะทำความรู้จักรูปทรงสามแบบนี้ และความยาวหนึ่งที่ใช้ทั้งบท คือสูงเอียง

พีระมิด

นิยาม

พีระมิด (pyramid) คือรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม มีจุดยอดหนึ่งจุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน และมีหน้าข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมทุกหน้า โดยหน้าข้างทุกหน้ามีจุดยอดร่วมกันที่จุดนั้น

เรียกชื่อพีระมิดตามรูปของฐานเหมือนปริซึม ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่าพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าพีระมิดฐานสามเหลี่ยม

พีระมิดในบทนี้เป็นพีระมิดตรงทั้งหมด คือฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า และจุดยอดอยู่ตรงเหนือจุดศูนย์กลางของฐานพอดี หน้าข้างทุกหน้าจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เท่ากันทุกประการ

จุดยอดhℓs
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ s เส้นสีเขียวคือความสูง h เส้นสีส้มคือสูงเอียง ℓ เส้นประคือขอบที่ถูกบัง

ในรูปมีความยาวสองค่าที่ต้องแยกให้ออก

  • ความสูง hh ของพีระมิด คือระยะตั้งฉากจากจุดยอดลงไปถึงฐาน เส้นนี้อยู่ข้างในพีระมิด มองจากข้างนอกไม่เห็น
  • สูงเอียง ℓ\ell คือความสูงของหน้าข้างแต่ละหน้า วัดจากจุดยอดลงมาตั้งฉากกับขอบฐาน เส้นนี้อยู่บนผิวด้านนอก ถ้าเอาไม้บรรทัดทาบหน้าข้างก็วัดได้เลย

เส้นสองเส้นนี้กับส่วนของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของฐานไปถึงจุดกึ่งกลางของขอบฐาน เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีสูงเอียงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ ss ด้านที่อยู่บนฐานยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน คือ s2\tfrac{s}{2} จึงได้

ℓ2=h2+(s2)2\ell^2 = h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2

ตัวอย่าง 1

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 1010 เซนติเมตร สูง 1212 เซนติเมตร มีสูงเอียงเท่าไร

  1. ด้านบนฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน คือ 10÷2=510 \div 2 = 5 เซนติเมตร
  2. ℓ2=122+52=144+25=169\ell^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169
  3. ℓ=169=13\ell = \sqrt{169} = 13 เซนติเมตร

ลองคิดก่อน

เพื่อนหาสูงเอียงของพีระมิดในตัวอย่าง 1 ด้วย 122+102\sqrt{12^2 + 10^2} ได้ประมาณ 15.615.6 เซนติเมตร เพื่อนพลาดตรงไหน

ดูคำตอบ

เพื่อนใช้ด้านฐานทั้งด้าน 1010 เซนติเมตร แต่สามเหลี่ยมมุมฉากวิ่งจากจุดศูนย์กลางของฐานไปถึงจุดกึ่งกลางของขอบฐานเท่านั้น ระยะนี้ยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน คือ 55 เซนติเมตร ตรวจได้อีกทางว่า 15.615.6 ยาวเกินไป เพราะถ้าสูงเอียงยาวขนาดนั้น สามเหลี่ยมหน้าข้างที่มีฐานยาว 1010 ต้องสูงกว่านี้มาก ทั้งที่พีระมิดสูงแค่ 1212

สูงเอียงไม่ใช่ขอบข้าง ขอบข้างคือเส้นที่วิ่งจากจุดยอดลงไปที่มุมของฐาน ซึ่งยาวกว่าสูงเอียงเสมอ ขอบข้าง สูงเอียง และครึ่งหนึ่งของด้านฐาน เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากอีกรูปหนึ่งบนหน้าข้าง โดยมีขอบข้างเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่าง 2

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 1010 เซนติเมตร ขอบข้างทุกเส้นยาว 1313 เซนติเมตร จงหาสูงเอียง และความสูงของพีระมิด

  1. บนหน้าข้าง ขอบข้างเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านประกอบมุมฉากคือสูงเอียงกับครึ่งหนึ่งของด้านฐาน 55 เซนติเมตร
  2. ℓ2=132−52=169−25=144\ell^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 ได้สูงเอียง ℓ=12\ell = 12 เซนติเมตร
  3. ในพีระมิด h2=ℓ2−52=144−25=119h^2 = \ell^2 - 5^2 = 144 - 25 = 119 ได้ความสูง h=119≈10.91h = \sqrt{119} \approx 10.91 เซนติเมตร

ตัวอย่าง 1 กับ 2 มีฐานเท่ากัน ตัวเลข 1212 กับ 1313 ก็ซ้ำกัน แต่ความหมายสลับที่กันหมด ก่อนแทนค่าให้ถามตัวเองทุกครั้งว่าตัวเลขนี้คือความสูง สูงเอียง หรือขอบข้าง

กรวย

นิยาม

กรวย (cone) คือรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลม มีจุดยอดหนึ่งจุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน และมีผิวโค้งที่เกิดจากส่วนของเส้นตรงทุกเส้นที่ต่อจุดยอดกับจุดบนเส้นรอบวงของฐาน ถ้าส่วนของเส้นตรงที่ต่อจุดยอดกับจุดศูนย์กลางของฐานตั้งฉากกับฐาน เรียกว่ากรวยตรง

กรวยในบทนี้เป็นกรวยตรงทั้งหมด เช่น กรวยไอศกรีม กรวยจราจร หมวกวันเกิด ความยาวที่ใช้มีสามค่า คือรัศมีของฐาน rr ความสูง hh และสูงเอียง ℓ\ell ซึ่งเป็นระยะจากจุดยอดไปถึงจุดใดก็ได้บนเส้นรอบวงของฐาน

hrℓ
กรวยตรงรัศมี r สูง h สูงเอียง ℓ ความสูงตั้งฉากกับรัศมีที่จุดศูนย์กลางของฐาน

ความสูง รัศมี และสูงเอียง เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีสูงเอียงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ตรงกับเส้นขอบที่เห็นเมื่อมองกรวยจากด้านข้าง

สูงเอียงของกรวย

ℓ2=r2+h2\ell^2 = r^2 + h^2

กรวยใช้รัศมีทั้งเส้น ไม่ต้องหารสองเหมือนพีระมิด เพราะรัศมีวัดจากจุดศูนย์กลางถึงขอบฐานอยู่แล้ว

ตัวอย่าง 3

กรวยจราจรมีฐานกว้าง 3030 เซนติเมตร สูง 2020 เซนติเมตร มีสูงเอียงเท่าไร ไม่นับแผ่นฐานสี่เหลี่ยมที่รองอยู่ข้างล่าง

  1. ฐานกว้าง 3030 เซนติเมตรคือเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมีจึงเป็น 1515 เซนติเมตร
  2. ℓ2=152+202=225+400=625\ell^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625
  3. ℓ=625=25\ell = \sqrt{625} = 25 เซนติเมตร

ตัวอย่าง 4

หมวกวันเกิดทรงกรวยมีรัศมีของฐาน 77 เซนติเมตร วัดจากปลายหมวกลงมาตามผิวหมวกถึงขอบได้ 2525 เซนติเมตร หมวกใบนี้สูงเท่าไร

  1. ระยะที่วัดตามผิวหมวกคือสูงเอียง ℓ=25\ell = 25 เซนติเมตร ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
  2. h2=ℓ2−r2=625−49=576h^2 = \ell^2 - r^2 = 625 - 49 = 576
  3. h=576=24h = \sqrt{576} = 24 เซนติเมตร

ทรงกลม

นิยาม

ทรงกลม (sphere) คือรูปเรขาคณิตสามมิติที่ทุกจุดบนผิวอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน จุดคงที่นั้นคือจุดศูนย์กลาง และระยะที่เท่ากันนั้นคือรัศมี rr ของทรงกลม

ตัดทรงกลมด้วยระนาบที่ผ่านจุดศูนย์กลาง จะได้สองชิ้นที่เท่ากัน แต่ละชิ้นเรียกว่าครึ่งทรงกลม (hemisphere) ชามแกง โดมของอาคาร และส้มที่ผ่าครึ่ง เป็นรูปครึ่งทรงกลม

rr
ทรงกลมรัศมี r และครึ่งทรงกลมรัศมี r หน้าตัดของครึ่งทรงกลมเป็นวงกลมรัศมี r

ทรงกลมไม่มีฐาน ไม่มีความสูงหรือสูงเอียงให้สับสน ขนาดของมันบอกได้ด้วยรัศมีค่าเดียว สิ่งที่ต้องระวังมีอย่างเดียวคือโจทย์มักบอกขนาดลูกบอลเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ต้องหารสองก่อนเสมอ

สรุป

  • พีระมิดมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม หน้าข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม กรวยมีฐานเป็นวงกลม ทั้งสองเรียวไปที่จุดยอดจุดเดียว
  • ความสูงวัดตั้งฉากจากจุดยอดลงไปที่ฐาน สูงเอียงวัดบนผิวด้านนอก สูงเอียงยาวกว่าความสูงเสมอ
  • พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ℓ2=h2+(s2)2\ell^2 = h^2 + \left(\tfrac{s}{2}\right)^2 ใช้ครึ่งหนึ่งของด้านฐาน
  • กรวย ℓ2=r2+h2\ell^2 = r^2 + h^2 ใช้รัศมีทั้งเส้น
  • ทรงกลมมีแค่รัศมี ระวังโจทย์ที่ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง