44.4 แผนภาพต้นไม้และการย้อนหาเหตุ
ชุดตรวจโรคชนิดหนึ่งโฆษณาว่าแม่นยำ เพื่อนตรวจแล้วได้ผลบวก จึงตกใจว่าตัวเองป่วยแน่นอนเกือบร้อยเปอร์เซ็นต์ ฟังดูสมเหตุสมผล แต่ถ้าโรคนี้พบในคนเพียงหนึ่งในร้อย โอกาสที่เพื่อนป่วยจริงอาจต่ำกว่าหนึ่งในห้า หน้านี้จะคำนวณให้เห็นว่าตัวเลขนี้มาจากไหน
เครื่องมือที่ใช้มีสองอย่าง คือแผนภาพต้นไม้ที่ต่อกฎคูณจากหน้า 44.3 เป็นหลายขั้น และตารางจำนวนคนที่ช่วยย้อนเงื่อนไขจากผลกลับไปหาเหตุ ตัวเลขทุกตัวในหน้านี้เป็นตัวเลขสมมติเพื่อฝึกคิด ไม่ใช่ข้อมูลของโรคหรือชุดตรวจจริง
แผนภาพต้นไม้คือกฎคูณหลายขั้น
บทที่ 30 ใช้แผนภาพต้นไม้ไล่ผลลัพธ์ที่โอกาสเท่ากัน ในหน้านี้จะเขียนความน่าจะเป็นกำกับบนกิ่งด้วย ซึ่งทำให้ใช้ได้แม้ผลลัพธ์มีโอกาสไม่เท่ากัน หลักการอ่านมีสามข้อ
- กิ่งแรกใช้ความน่าจะเป็นธรรมดา กิ่งถัดไปใช้ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขว่ากิ่งก่อนหน้าเกิดแล้ว
- คูณตามทางเดินจากโคนถึงปลาย ได้ความน่าจะเป็นที่ทุกขั้นบนทางนั้นเกิด นี่คือกฎคูณ
- ทางเดินต่างทางไม่เกิดร่วมกัน ถ้าเหตุการณ์ที่ถามมีหลายทาง ให้บวกผลของทุกทางนั้น
ตรวจแผนภาพได้ง่าย กิ่งที่แตกจากจุดเดียวกันต้องรวมกันได้ และผลของทุกทางเดินรวมกันต้องได้ เช่นกัน
ตัวอย่าง 1
กล่องมีหลอดไฟดี หลอด เสีย หลอด สุ่มหยิบทีละหลอดสองครั้งโดยไม่ใส่คืน หาโอกาสที่ได้หลอดเสียทั้งสองหลอด และโอกาสที่ได้หลอดเสียพอดีหนึ่งหลอด
- กิ่งแรกแตกเป็นเสีย กับดี กิ่งที่สองเหลือหลอด หลอด และจำนวนหลอดเสียขึ้นกับว่าครั้งแรกได้อะไร
- เสียทั้งสองเป็นทางเดินเดียว คือเสียแล้วเสีย เหลือหลอดเสีย จาก ได้
- เสียพอดีหนึ่งหลอดมีสองทาง ทางเสียแล้วดีได้ ทางดีแล้วเสียได้
- สองทางไม่เกิดร่วมกัน บวกได้ ตรวจด้วยการจัดหมู่ ตรงกัน
ความน่าจะเป็นรวมจากหลายทาง
บางครั้งเหตุการณ์ที่สนใจเกิดได้จากหลายสาเหตุ เช่นมาโรงเรียนสายอาจเกิดในวันที่ฝนตกหรือวันที่ฝนไม่ตก โอกาสสายในแต่ละแบบต่างกัน จึงหาโอกาสสายรวมทันทีไม่ได้ ต้องแยกตามสาเหตุก่อน แล้วรวมทุกทางที่จบที่สาย
ตัวอย่าง 2
ในฤดูฝน วันหนึ่งฝนตกตอนเช้าด้วยความน่าจะเป็น ถ้าฝนตก แพรวมาโรงเรียนสายด้วยความน่าจะเป็น ถ้าฝนไม่ตก สายด้วยความน่าจะเป็น หาโอกาสที่แพรวมาสายในวันหนึ่ง
- แยกตามสาเหตุก่อน เพราะโอกาสสายขึ้นกับว่าฝนตกหรือไม่ ได้แผนภาพต้นไม้ในรูปข้างบน
- ทางฝนตกแล้วสาย ใช้กฎคูณ
- ทางฝนไม่ตกแล้วสาย
- สองทางไม่เกิดร่วมกัน จึงได้
ย้อนจากผลไปหาเหตุ
คำถามที่น่าสนใจกว่าคือถามกลับ ครูเห็นว่าแพรวมาสาย อยากรู้ว่าโอกาสที่เช้านี้ฝนตกเป็นเท่าไร นี่คือ ซึ่งเป็นเงื่อนไขกลับทิศกับตัวเลขบนกิ่ง ใช้นิยามความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขจากหน้า 44.3 ได้ตรงๆ ตัวเศษคือทางที่ทั้งฝนตกและสาย ตัวส่วนคือทุกทางที่สาย
ตัวอย่าง 3
จากตัวอย่าง 2 เมื่อรู้ว่าแพรวมาสาย โอกาสที่เช้านั้นฝนตกเป็นเท่าไร
- กลุ่มอ้างอิงใหม่คือวันที่สาย มีความน่าจะเป็นรวม จากตัวอย่าง 2
- ในกลุ่มนั้น ส่วนที่ฝนตกด้วยคือทาง
- ประมาณ
- ก่อนรู้ว่าสาย โอกาสฝนตกเป็นแค่ พอรู้ว่าสาย โอกาสขึ้นเป็นราว เพราะการสายเกิดในวันฝนตกบ่อยกว่า ข้อมูลใหม่จึงดึงโอกาสไปทางฝนตก
การคำนวณย้อนแบบนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเบส์ ในหน้านี้ไม่ต้องจำสูตร เพราะทำได้ด้วยสองขั้นที่รู้แล้ว คือหาผลรวมของทุกทางที่จบที่ผลที่เห็นเป็นตัวส่วน แล้วเลือกทางที่มาจากเหตุที่สนใจเป็นตัวเศษ
ตรวจโรคและผลบวกลวง
ตัวอย่างที่ทำให้คนเข้าใจผิดมากที่สุดคือการตรวจโรค ชุดตรวจมีความผิดพลาดได้สองทาง คนป่วยแต่ตรวจได้ผลลบ เรียกว่าผลลบลวง และคนไม่ป่วยแต่ตรวจได้ผลบวก เรียกว่าผลบวกลวง เมื่อโรคพบน้อย คนไม่ป่วยมีจำนวนมากมาย ผลบวกลวงที่แม้มีสัดส่วนน้อยก็กลายเป็นจำนวนคนที่มาก
การใช้ตารางจำนวนคนจะเห็นภาพชัดกว่าการคูณทศนิยม ให้สมมติประชากรเป็นจำนวนกลมๆ ที่ทำให้ทุกช่องเป็นจำนวนเต็ม แล้วเติมทีละแถว
ตัวอย่าง 4
โรคหนึ่งพบในประชากร ชุดตรวจให้ผลบวกกับคนป่วย และให้ผลบวกลวงกับคนไม่ป่วย ถ้าสุ่มคนมาตรวจแล้วได้ผลบวก โอกาสที่เขาป่วยจริงเป็นเท่าไร
- สมมติประชากร คน ป่วย คือ คน ไม่ป่วย คน
- แถวคนป่วย ตรวจได้ผลบวก ของ คือ คน ผลลบ คน
- แถวคนไม่ป่วย ผลบวกลวง ของ คือ คน ผลลบ คน
- รู้แล้วว่าผลบวก กลุ่มอ้างอิงคือหลักผลบวกทั้งหมด คน ในนั้นป่วยจริง คน
- ประมาณ ผลบวกส่วนใหญ่มาจากคนไม่ป่วย เพราะคนไม่ป่วยมีมากกว่าคนป่วยเกือบร้อยเท่า
ตารางที่เติมครบแล้วเป็นแบบนี้ แถวอ่าน ส่วนหลักอ่าน
| ผลบวก | ผลลบ | รวม | |
|---|---|---|---|
| ป่วย | 95 | 5 | 100 |
| ไม่ป่วย | 495 | 9405 | 9900 |
| รวม | 590 | 9410 | 10000 |
ลองคิดก่อน
ชุดตรวจให้ผลบวกกับคนป่วย จึงสรุปว่าคนที่ได้ผลบวกป่วยจริง ถูกหรือไม่
ดูคำตอบ
ไม่ถูก คือ อ่านจากแถวคนป่วยในตาราง ส่วนคำถามคือ ต้องอ่านจากหลักผลบวก สองค่านี้มีตัวหารต่างกัน คือ กับ จึงได้ กับราว เป็นความผิดพลาดแบบเดียวกับการสลับเงื่อนไขในหน้า 44.3
ลองคิดก่อน
ใช้ชุดตรวจเดิม แต่ไปตรวจที่คลินิกซึ่งคนที่มาตรวจมีอาการแล้ว และป่วยจริง ผลบวกยังมีความหมายเท่าเดิมหรือไม่
ดูคำตอบ
ไม่เท่าเดิม ลองใช้ คนอีกครั้ง ป่วย คน ผลบวก คน ไม่ป่วย คน ผลบวกลวง คน ได้ ประมาณ ชุดตรวจเดียวกันแต่ความหมายของผลบวกต่างกันมาก เพราะสัดส่วนคนป่วยในกลุ่มที่ตรวจต่างกัน ความน่าจะเป็นก่อนตรวจจึงเป็นข้อมูลที่ขาดไม่ได้
แพทย์จึงมักตรวจซ้ำเมื่อได้ผลบวกครั้งแรก ตัวอย่างสุดท้ายแสดงว่าการตรวจซ้ำเปลี่ยนคำตอบได้มากแค่ไหน
ตัวอย่าง 5
จากตัวอย่าง 4 สมมติว่าผลของการตรวจสองครั้งเป็นอิสระกันเมื่อรู้ว่าคนนั้นป่วยหรือไม่ป่วย ถ้าคนหนึ่งได้ผลบวกทั้งสองครั้ง โอกาสที่เขาป่วยจริงเป็นเท่าไร
- ต้องคูณ และ สองครั้ง จึงเลือกประชากร คนเพื่อให้ได้จำนวนเต็ม ป่วย คน ไม่ป่วย คน
- คนป่วยได้ผลบวกทั้งสองครั้ง คน ใช้กฎคูณของเหตุการณ์อิสระในกลุ่มคนป่วย
- คนไม่ป่วยได้ผลบวกลวงทั้งสองครั้ง คน
- กลุ่มอ้างอิงคือคนที่ได้ผลบวกสองครั้ง คน ได้ ประมาณ
- ผลบวกครั้งเดียวให้โอกาสป่วยราว ผลบวกสองครั้งให้ราว เพราะผลบวกลวงซ้ำสองครั้งเกิดยากมาก
สรุป
- แผนภาพต้นไม้ กิ่งแรกใช้ความน่าจะเป็นธรรมดา กิ่งต่อไปใช้ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข
- คูณตามทางเดิน แล้วบวกทุกทางที่จบที่เหตุการณ์ที่ถาม
- ย้อนจากผลไปหาเหตุ ตัวส่วนคือทุกทางที่จบที่ผลที่เห็น ตัวเศษคือทางที่มาจากเหตุที่สนใจ
- ตารางจำนวนคนสมมติทำให้เห็นว่ากำลังหารด้วยกลุ่มไหน
- กับ ต่างกันมากเมื่อโรคพบน้อย
แบบฝึกหัดท้ายบทมีโจทย์ให้ลองใช้ทุกหน้าของบทนี้ ส่วนการกำหนดค่าตัวเลขให้แต่ละผลลัพธ์แล้วหาการแจกแจงของค่านั้น จะต่อในบทที่ 50 ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น