descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 6 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวตรงกับหนังสือ ม.1 เล่ม 2 บทที่ 1

6.4 การแก้สมการ

สมการในหน้าที่แล้วมีตัวแปรอยู่ข้างเดียว แก้ได้ในสองสามขั้น สมการที่เจอในโจทย์จริงมักยาวกว่านั้น ตัวแปรอยู่ทั้งสองข้าง มีวงเล็บ หรือมีเศษส่วน หน้านี้ใช้สมบัติของการเท่ากันชุดเดิมทั้งหมด เพิ่มแค่ลำดับการทำงานให้เป็นระบบ

ขั้นตอนแก้สมการ

  1. ถ้ามีเศษส่วน คูณทั้งสองข้างด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วนให้เศษส่วนหายไป
  2. ถ้ามีวงเล็บ กระจายวงเล็บ แล้วรวมพจน์ที่คล้ายกันในแต่ละข้าง
  3. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปไว้ข้างหนึ่ง ย้ายค่าคงตัวไปไว้อีกข้าง ด้วยสมบัติการบวก
  4. กำจัดตัวคูณหน้าตัวแปรด้วยสมบัติการคูณ
  5. แทนคำตอบในสมการเดิมเพื่อตรวจ

ตัวแปรอยู่ทั้งสองข้าง

ตาชั่งข้างล่างมีกล่องทั้งสองข้าง ข้างซ้ายมีกล่อง 5 กล่องกับตุ้ม 1 ลูก ข้างขวามีกล่อง 2 กล่องกับตุ้ม 10 ลูก ก่อนอ่านตัวอย่าง ลองหาว่าควรเอาอะไรออกก่อน

ลองเอากล่องออกข้างละเท่ากันก่อน แล้วค่อยจัดการตุ้ม

ตัวอย่าง 1

แก้สมการ 5x+1=2x+105x + 1 = 2x + 10

  1. ข้างขวามี 2x2x ลบ 2x2x ทั้งสองข้าง เหมือนเอากล่องออกข้างละ 2 กล่อง ได้ 3x+1=103x + 1 = 10
  2. ลบ 11 ทั้งสองข้าง ได้ 3x=93x = 9
  3. หารด้วย 33 ทั้งสองข้าง ได้ x=3x = 3
  4. ตรวจ ข้างซ้าย 5(3)+1=165(3) + 1 = 16 ข้างขวา 2(3)+10=162(3) + 10 = 16 เท่ากัน

จะย้ายตัวแปรไปข้างไหนก็ได้ คำตอบเท่ากัน แต่ถ้าย้ายไปข้างที่มีสัมประสิทธิ์ของตัวแปรมากกว่า จะได้สัมประสิทธิ์เป็นบวก คำนวณง่ายกว่า

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ 4x−7=6x+34x - 7 = 6x + 3

  1. ข้างขวามี 6x6x มากกว่า จึงลบ 4x4x ทั้งสองข้าง ได้ −7=2x+3-7 = 2x + 3
  2. ลบ 33 ทั้งสองข้าง ได้ −10=2x-10 = 2x
  3. หารด้วย 22 ทั้งสองข้าง ได้ −5=x-5 = x ใช้สมบัติสมมาตรเขียนเป็น x=−5x = -5
  4. ตรวจ ข้างซ้าย 4(−5)−7=−274(-5) - 7 = -27 ข้างขวา 6(−5)+3=−276(-5) + 3 = -27 เท่ากัน

ย้ายข้างแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย

หลายคนแก้ 3x+1=103x + 1 = 10 โดยพูดว่า ย้าย +1+1 ไปอีกข้างกลายเป็น −1-1 ได้ 3x=10−13x = 10 - 1 วิธีพูดนี้ใช้ได้ เพราะมันคือการลบ 11 ทั้งสองข้างแบบย่อ ทางซ้าย +1−1+1 - 1 หายไป ทางขวาจึงเหลือ −1-1 ให้เห็น

ย้ายข้างใช้กับการบวกลบเท่านั้น

ถ้า 3x=93x = 9 ห้ามย้าย 33 ไปเป็น x=9−3x = 9 - 3 เพราะ 33 คูณ xx อยู่ ไม่ได้บวกอยู่ ตัวที่คูณอยู่ต้องหารทั้งสองข้าง ได้ x=93=3x = \tfrac{9}{3} = 3 ถ้าไม่แน่ใจ ให้ถามตัวเองว่าจำนวนนั้นบวก ลบ คูณ หรือหารตัวแปรอยู่ แล้วทำกลับด้วยการดำเนินการตรงข้าม

สมการที่มีวงเล็บ

ตัวอย่าง 3

แก้สมการ 3(x−4)=2(x+1)−53(x - 4) = 2(x + 1) - 5

  1. กระจายวงเล็บ ข้างซ้าย 3x−123x - 12 ข้างขวา 2x+2−5=2x−32x + 2 - 5 = 2x - 3 ได้ 3x−12=2x−33x - 12 = 2x - 3
  2. ลบ 2x2x ทั้งสองข้าง ได้ x−12=−3x - 12 = -3
  3. บวก 1212 ทั้งสองข้าง ได้ x=9x = 9
  4. ตรวจ ข้างซ้าย 3(9−4)=153(9 - 4) = 15 ข้างขวา 2(9+1)−5=152(9 + 1) - 5 = 15 เท่ากัน

ลองคิดก่อน

แก้สมการ 5−2(x−3)=15 - 2(x - 3) = 1 เพื่อนกระจายได้ 5−2x−6=15 - 2x - 6 = 1 แล้วได้ x=−1x = -1 ผิดตรงไหน คำตอบที่ถูกคืออะไร

ดูคำตอบ

−2-2 ต้องคูณเข้าไปทั้งสองพจน์ในวงเล็บ −2×x=−2x-2 \times x = -2x และ −2×(−3)=+6-2 \times (-3) = +6 ลบคูณลบเป็นบวก จึงได้ 5−2x+6=15 - 2x + 6 = 1 หรือ 11−2x=111 - 2x = 1 ลบ 1111 ทั้งสองข้างได้ −2x=−10-2x = -10 หารด้วย −2-2 ได้ x=5x = 5 ตรวจ 5−2(5−3)=5−4=15 - 2(5 - 3) = 5 - 4 = 1 จริง ส่วน x=−1x = -1 ของเพื่อนให้ 5−2(−4)=135 - 2(-4) = 13 ไม่เท่ากับ 11

สมการที่มีเศษส่วนหรือทศนิยม

เศษส่วนทำให้คำนวณพลาดง่าย วิธีที่ปลอดภัยคือคูณทั้งสองข้างด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วนทุกตัวตั้งแต่แรก เศษส่วนจะหายไปหมด เหลือสมการที่มีแต่จำนวนเต็ม

ตัวอย่าง 4

แก้สมการ x3+x4=7\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 7

  1. ค.ร.น. ของ 33 กับ 44 คือ 1212 คูณทั้งสองข้างด้วย 1212 ต้องคูณทุกพจน์ รวมทั้ง 77 ทางขวาด้วย ได้ 12⋅x3+12⋅x4=12⋅712 \cdot \dfrac{x}{3} + 12 \cdot \dfrac{x}{4} = 12 \cdot 7
  2. ได้ 4x+3x=844x + 3x = 84 หรือ 7x=847x = 84
  3. หารด้วย 77 ได้ x=12x = 12
  4. ตรวจ 123+124=4+3=7\tfrac{12}{3} + \tfrac{12}{4} = 4 + 3 = 7 จริง

ตัวอย่าง 5

แก้สมการ x+25=x−12\dfrac{x + 2}{5} = \dfrac{x - 1}{2}

  1. ค.ร.น. ของ 55 กับ 22 คือ 1010 คูณทั้งสองข้าง ได้ 2(x+2)=5(x−1)2(x + 2) = 5(x - 1) ใส่วงเล็บไว้ก่อน เพราะตัวเศษทั้งก้อนถูกคูณ
  2. กระจาย ได้ 2x+4=5x−52x + 4 = 5x - 5
  3. ลบ 2x2x ทั้งสองข้าง ได้ 4=3x−54 = 3x - 5 บวก 55 ทั้งสองข้าง ได้ 9=3x9 = 3x
  4. หารด้วย 33 ได้ x=3x = 3 ตรวจ 3+25=1\tfrac{3 + 2}{5} = 1 และ 3−12=1\tfrac{3 - 1}{2} = 1 เท่ากัน

ทศนิยมก็ใช้หลักเดียวกัน คูณด้วย 1010 หรือ 100100 ให้ทศนิยมหายไปก่อน

ตัวอย่าง 6

แก้สมการ 0.4x+1.5=0.1x+30.4x + 1.5 = 0.1x + 3

  1. ทศนิยมมากที่สุดหนึ่งตำแหน่ง คูณทั้งสองข้างด้วย 1010 ได้ 4x+15=x+304x + 15 = x + 30
  2. ลบ xx ทั้งสองข้าง ได้ 3x+15=303x + 15 = 30 ลบ 1515 ทั้งสองข้าง ได้ 3x=153x = 15
  3. หารด้วย 33 ได้ x=5x = 5
  4. ตรวจ ข้างซ้าย 0.4(5)+1.5=3.50.4(5) + 1.5 = 3.5 ข้างขวา 0.1(5)+3=3.50.1(5) + 3 = 3.5 เท่ากัน

ตรวจคำตอบทุกครั้ง

การตรวจใช้เวลาไม่ถึงนาที แต่จับข้อผิดพลาดได้เกือบทุกแบบ ทั้งเครื่องหมายผิด ลืมคูณบางพจน์ หรือกระจายวงเล็บพลาด ข้อสำคัญคือต้องแทนในสมการเดิมที่โจทย์ให้ ไม่ใช่สมการที่เขียนเองระหว่างทาง เพราะถ้าขั้นกลางผิด สมการระหว่างทางก็ผิดไปแล้ว ตรวจกับมันจะดูเหมือนถูก

สรุป

  • ลำดับการแก้ กำจัดเศษส่วน กระจายวงเล็บ ย้ายตัวแปรไปข้างเดียว แล้วหารด้วยสัมประสิทธิ์
  • ย้ายข้างเปลี่ยนเครื่องหมายคือการบวกลบทั้งสองข้างแบบย่อ ใช้กับตัวที่คูณอยู่ไม่ได้
  • จำนวนลบหน้าวงเล็บต้องคูณเข้าไปทุกพจน์ ลบคูณลบเป็นบวก
  • คูณด้วย ค.ร.น. ต้องคูณทุกพจน์ทั้งสองข้าง
  • ตรวจคำตอบด้วยการแทนในสมการเดิมเสมอ