39.8 แบบฝึกหัด

ครึ่งรอบคือ $180^\circ = \pi$ เรเดียน หนึ่งองศาจึงเท่ากับ $\tfrac{\pi}{180}$ เรเดียน

คูณด้วย $240$ ได้ $240 \cdot \tfrac{\pi}{180} = \tfrac{240\pi}{180}$ ตัดตัวร่วม $60$ ได้ $\tfrac{4\pi}{3}$ เรเดียน

ตรวจ $240^\circ$ คือ $180^\circ + 60^\circ$ ส่วน $\tfrac{4\pi}{3} = \pi + \tfrac{\pi}{3}$ ตรงกัน

$\tfrac{4\pi}{3} = \pi + \tfrac{\pi}{3}$ หมุนเลยครึ่งรอบไปอีก $\tfrac{\pi}{3}$ จุดปลายจึงอยู่จตุภาคที่ 3 (ซ้ายล่าง)

มุมอ้างอิงคือ $\tfrac{4\pi}{3} - \pi = \tfrac{\pi}{3}$ ขนาดของโคไซน์จึงเป็น $\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}$

โคไซน์คือพิกัด $x$ ของจุดปลาย จุดอยู่ซ้ายแกน $y$ จึงติดลบ ได้ $\cos\tfrac{4\pi}{3} = -\tfrac{1}{2}$

เทียบกับรูป $y = a\sin(bx + c) + d$ ได้ $a = 2$ $b = 4$ $c = 0$ $d = -3$

กราฟครบหนึ่งรอบเมื่อมุมภายใน $4x$ เพิ่มขึ้น $2\pi$ คือเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $\tfrac{2\pi}{4} = \tfrac{\pi}{2}$ คาบจึงเป็น $\tfrac{\pi}{2}$

ตัวคูณ $2$ ภายนอกเปลี่ยนแอมพลิจูด และ $-3$ เลื่อนเส้นกึ่งกลาง ทั้งสองไม่เปลี่ยนคาบ

แยก $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ แล้วใช้สูตร $\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$

$\cos 75^\circ = \cos 45^\circ\cos 30^\circ - \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{\sqrt{6}}{4} - \tfrac{\sqrt{2}}{4}$

จึงได้ $\cos 75^\circ = \tfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ประมาณ $0.259$ เป็นบวกและเล็ก สมเหตุสมผลกับมุมที่เกือบเป็นมุมฉาก

คำนวณจากข้างในออกมา $\tfrac{5\pi}{6}$ อยู่จตุภาคที่ 2 มุมอ้างอิง $\tfrac{\pi}{6}$ ไซน์บวก จึงได้ $\sin\tfrac{5\pi}{6} = \tfrac{1}{2}$

ต่อไปหา $\arcsin\tfrac{1}{2}$ ซึ่งต้องเป็นมุมในช่วงหลัก $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$ ที่มีไซน์เท่ากับ $\tfrac{1}{2}$ มุมนั้นคือ $\tfrac{\pi}{6}$

ดังนั้น $\arcsin\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right) = \tfrac{\pi}{6}$ ไม่ใช่ $\tfrac{5\pi}{6}$ เพราะ $\tfrac{5\pi}{6}$ อยู่นอกช่วงหลัก และไม่ใช่ $-\tfrac{\pi}{6}$ เพราะ $\sin\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{1}{2}$

สูตร $s = r\theta$ ใช้มุมเรเดียน จึงแปลงก่อน $120^\circ = 120 \cdot \tfrac{\pi}{180} = \tfrac{2\pi}{3}$ เรเดียน

ส่วนโค้ง $s = 10 \cdot \tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{20\pi}{3}$ เซนติเมตร ประมาณ $20.9$ เซนติเมตร

ตรวจ $120^\circ$ คือหนึ่งในสามรอบ เส้นรอบวง $20\pi$ หารสามได้ $\tfrac{20\pi}{3}$ ตรงกัน

รู้สองด้านกับมุมระหว่างด้าน (ด.ม.ด.) จึงใช้กฎของโคไซน์ ให้ $a = 6$ $b = 10$ $C = 60^\circ$

$c^2 = 6^2 + 10^2 - 2(6)(10)\cos 60^\circ = 36 + 100 - 120 \cdot \tfrac{1}{2} = 76$

ความยาวต้องเป็นบวก $c = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ ประมาณ $8.72$ เมตร สั้นกว่า $\sqrt{136}$ ที่จะได้ถ้ามุมเป็นมุมฉาก สอดคล้องกับมุม $60^\circ$ ที่แคบกว่า

ขั้นแรกหามุมอ้างอิง ค่า $\tfrac{1}{2}$ มาจาก $\sin\tfrac{\pi}{6}$ มุมอ้างอิงจึงเป็น $\tfrac{\pi}{6}$

ขั้นสองหาจตุภาค ไซน์ลบเมื่อจุดปลายอยู่ใต้แกน $x$ คือจตุภาคที่ 3 และ 4 ได้ $\pi + \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{7\pi}{6}$ และ $2\pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{11\pi}{6}$

ช่วง $[0, 2\pi)$ คือหนึ่งรอบพอดี บวกหรือลบ $2\pi$ จะออกนอกช่วง คำตอบจึงมีสองค่า $x = \tfrac{7\pi}{6}$ และ $x = \tfrac{11\pi}{6}$

เกณฑ์ตรวจ มีครบสองมุม ทั้งสองอยู่ในช่วง และอธิบายจตุภาคถูก ค่าหลัก $\arcsin\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{\pi}{6}$ ไม่ใช่คำตอบ เพราะอยู่นอกช่วงที่โจทย์กำหนด

ดึงตัวร่วม $\sin x$ ออก ได้ $\sin x\,(2\cos x + 1) = 0$ ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

กรณี $\sin x = 0$ จุดปลายอยู่บนแกน $x$ ได้ $x = 0$ และ $x = \pi$

กรณี $2\cos x + 1 = 0$ คือ $\cos x = -\tfrac{1}{2}$ มุมอ้างอิง $\tfrac{\pi}{3}$ โคไซน์ลบในจตุภาคที่ 2 และ 3 ได้ $\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}$ และ $\pi + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{4\pi}{3}$

รวมสี่คำตอบ $0$ $\tfrac{2\pi}{3}$ $\pi$ และ $\tfrac{4\pi}{3}$ ถ้าหารด้วย $\sin x$ ตั้งแต่ต้นจะเหลือแค่สองคำตอบหลัง เพราะการหารตัดกรณี $\sin x = 0$ ทิ้งไป

ข้อมูลคือด้าน $a$ $b$ กับมุม $A$ ซึ่งไม่อยู่ระหว่างสองด้านนี้ จึงเป็นกรณีคลุมเครือ ด.ด.ม.

วิธีที่หนึ่ง เทียบกับความสูง $h = b\sin A = 10 \times 0.643 = 6.43$ เซนติเมตร ด้าน $a = 7$ ยาวกว่า $h$ จึงยื่นถึงฐาน และสั้นกว่า $b = 10$ จึงตัดฐานได้สองจุดทางเดียวกับ $A$ ได้สองรูป

วิธีที่สอง ใช้กฎของไซน์ $\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{10 \times 0.643}{7}$ ประมาณ $0.918$ ได้ $B$ ประมาณ $66.7^\circ$ หรือ $180^\circ - 66.7^\circ = 113.3^\circ$ ตรวจผลรวมมุม $40^\circ + 66.7^\circ$ และ $40^\circ + 113.3^\circ = 153.3^\circ$ น้อยกว่า $180^\circ$ ทั้งคู่ จึงเป็นสามเหลี่ยมได้ทั้งสองรูป