25.3 กราฟของ y = a(x − h)² + k

หน้าที่แล้วจุดยอดอยู่ที่ $(0, 0)$ ตลอด หน้านี้จะย้ายจุดยอดไปไว้ที่ไหนก็ได้ ด้วยการเลื่อนกราฟขึ้นลงและซ้ายขวา พอเข้าใจการเลื่อนแล้ว จะอ่านจุดยอดของฟังก์ชันกำลังสองได้ทุกตัว

เลื่อนขึ้นลง y = x² + k

เทียบ $y = x^2$ กับ $y = x^2 - 3$ ที่ค่า $x$ เดียวกัน ค่า $y$ ของตัวหลังน้อยกว่าตัวแรก 3 เสมอ กราฟทั้งเส้นจึงเลื่อนลง 3 หน่วย จุดยอดย้ายจาก $(0, 0)$ ไปที่ $(0, -3)$

ถ้าบวก $k$ กราฟเลื่อนขึ้น $k$ หน่วย ถ้าลบ กราฟเลื่อนลง ตรงไปตรงมา

เลื่อนซ้ายขวา y = (x − h)²

ส่วนนี้นักเรียนพลาดกันมากที่สุด ลองดู $y = (x - 2)^2$ ค่า $y$ น้อยที่สุดคือ $0$ ซึ่งเกิดเมื่อวงเล็บเป็นศูนย์ คือ $x - 2 = 0$ หรือ $x = 2$ จุดยอดจึงอยู่ที่ $(2, 0)$ กราฟเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ทั้งที่ในสมการมีเครื่องหมายลบ

ลบไปขวา บวกไปซ้าย

$(x - 2)^2$ เลื่อนไปขวา 2 หน่วย ส่วน $(x + 2)^2$ เลื่อนไปซ้าย 2 หน่วย ถ้าจำสลับเมื่อไร ให้ถามตัวเองว่าค่า $x$ เท่าไรทำให้วงเล็บเป็นศูนย์ ค่านั้นคือพิกัด $x$ ของจุดยอด

รวมทั้งสามค่า

เลื่อนแถบข้างล่างทีละตัว $h$ ย้ายจุดยอดซ้ายขวา $k$ ย้ายขึ้นลง $a$ ทำแบบเดียวกับหน้าที่แล้ว เส้นประสีเขียวคือแกนสมมาตร

ลองทำให้จุดยอดไปอยู่ที่ $(-3, 4)$ และกราฟคว่ำลง ต้องตั้งค่าอะไรบ้าง

สมบัติ

กราฟของ $y = a(x - h)^2 + k$ เมื่อ $a \neq 0$

มีจุดยอดที่ $(h, k)$
มีแกนสมมาตรคือเส้น $x = h$
ถ้า $a > 0$ กราฟเปิดขึ้น และมีค่าต่ำสุดเท่ากับ $k$ ที่ $x = h$
ถ้า $a < 0$ กราฟคว่ำลง และมีค่าสูงสุดเท่ากับ $k$ ที่ $x = h$

ลองคิดก่อน

กราฟของ $y = -(x + 1)^2 + 4$ มีจุดยอดที่ไหน มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

ดูคำตอบ

เขียน $x + 1$ ให้เป็น $x - (-1)$ จะได้ $h = -1$ และ $k = 4$ จุดยอดคือ $(-1, 4)$ เพราะ $a = -1$ ติดลบ กราฟคว่ำลง จึงมีค่าสูงสุดเท่ากับ $4$ เมื่อ $x = -1$

จาก ax² + bx + c ไปเป็น a(x − h)² + k

โจทย์ส่วนใหญ่ให้ฟังก์ชันมาในรูป $y = ax^2 + bx + c$ ซึ่งอ่านจุดยอดตรงๆ ไม่ได้ ต้องจัดรูปก่อนด้วยกำลังสองสมบูรณ์ หลักคือ $x^2 + 2px$ ต้องเติม $p^2$ จึงจะได้ $(x + p)^2$

ตัวอย่าง 1

เขียน $y = x^2 - 4x + 3$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้วบอกจุดยอด

ดูสองพจน์แรก $x^2 - 4x$ ครึ่งหนึ่งของ $-4$ คือ $-2$ จึงต้องการ $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$
เติม $4$ แล้วลบ $4$ ออก ค่าของฟังก์ชันไม่เปลี่ยน $y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3$
ได้ $y = (x - 2)^2 - 1$ จึงมีจุดยอดที่ $(2, -1)$ ตรงกับกราฟในหน้า 25.1

ตัวอย่าง 2

เขียน $y = 2x^2 + 12x + 10$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้วบอกจุดยอดและค่าต่ำสุด

$a = 2$ ไม่ใช่ $1$ ต้องดึง $2$ ออกจากสองพจน์แรกก่อน $y = 2(x^2 + 6x) + 10$
ในวงเล็บ ครึ่งหนึ่งของ $6$ คือ $3$ จึงเติม $9$ แล้วลบ $9$ $y = 2\big[(x^2 + 6x + 9) - 9\big] + 10$
คูณ $2$ เข้าไปในวงเล็บใหญ่ $y = 2(x + 3)^2 - 18 + 10$ ตรงนี้ลืมกันบ่อย $-9$ ที่อยู่ในวงเล็บถูกคูณด้วย $2$ กลายเป็น $-18$
ได้ $y = 2(x + 3)^2 - 8$ จุดยอดคือ $(-3, -8)$ และเพราะ $a = 2 > 0$ จึงมีค่าต่ำสุด $-8$

ทางลัดหาจุดยอด

ทำกำลังสองสมบูรณ์กับ $y = ax^2 + bx + c$ ทุกตัวแบบตัวอย่าง 2 จะได้พิกัด $x$ ของจุดยอดเป็นสูตรเดียวเสมอ

h = -\frac{b}{2a}

ได้ $h$ แล้ว แทนกลับลงในฟังก์ชันเพื่อหา $k$ เช่นตัวอย่าง 2 ได้ $h = -\tfrac{12}{2(2)} = -3$ แทน $x = -3$ ได้ $k = 2(9) - 36 + 10 = -8$ ตรงกับที่ทำกำลังสองสมบูรณ์ ใช้ทางลัดนี้ตรวจคำตอบได้ แต่โจทย์ที่สั่งให้เขียนในรูป $a(x - h)^2 + k$ ยังต้องแสดงการจัดรูป

วาดกราฟจากสมการ

ไม่ต้องแทนค่าเจ็ดจุดแบบหน้า 25.1 อีกแล้ว ใช้จุดสำคัญไม่กี่จุดก็พอ

ตัวอย่าง 3

วาดกราฟของ $y = x^2 - 4x + 3$

จุดยอดจากตัวอย่าง 1 คือ $(2, -1)$ $a = 1 > 0$ กราฟเปิดขึ้น ลากเส้นประแกนสมมาตร $x = 2$
จุดตัดแกน $y$ แทน $x = 0$ ได้ $y = 3$ คือจุด $(0, 3)$
สะท้อนจุด $(0, 3)$ ข้ามแกนสมมาตร จุด $x = 0$ อยู่ซ้ายแกน 2 หน่วย จุดคู่ของมันจึงอยู่ขวาแกน 2 หน่วยคือ $(4, 3)$
จุดตัดแกน $x$ ให้ $y = 0$ ได้ $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0$ จึงตัดที่ $x = 1$ และ $x = 3$
ลากเส้นโค้งเรียบผ่านห้าจุด $(0, 3)$ $(1, 0)$ $(2, -1)$ $(3, 0)$ $(4, 3)$

สรุป

$y = a(x - h)^2 + k$ มีจุดยอด $(h, k)$ และแกนสมมาตร $x = h$
$(x - h)^2$ เลื่อนไปขวา $h$ หน่วย ถามตัวเองว่า $x$ เท่าไรทำให้วงเล็บเป็นศูนย์
เปลี่ยนรูป $ax^2 + bx + c$ ด้วยกำลังสองสมบูรณ์ ถ้า $a \neq 1$ ให้ดึง $a$ ออกก่อน
ทางลัด $h = -\tfrac{b}{2a}$ ใช้ตรวจคำตอบ
วาดกราฟจากจุดยอด จุดตัดแกน $y$ จุดสะท้อน และจุดตัดแกน $x$