descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 45 ลำดับและอนุกรมตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.5 บทที่ 3 และเพิ่มเติม ม.6 เล่ม 1 บทที่ 1เพิ่มเติม

45.6 สัญลักษณ์ซิกมาและอนุกรมอนันต์

แบ่งพื้นที่ครึ่งหนึ่ง แล้วครึ่งของส่วนที่เหลือ ทำต่อไป แม้มีจำนวนชิ้นไม่สิ้นสุด ผลรวมอาจมีขอบเขตจำกัด ต้องแยกระหว่างลิมิตของพจน์กับลิมิตของผลรวมย่อย ก่อนจะไปถึงผลรวมอนันต์ ต้องมีวิธีเขียนผลรวมยาวๆ ให้สั้นและชัดก่อน คือสัญลักษณ์ซิกมา

อ่านดัชนีของซิกมา

∑k=1nak\sum_{k=1}^{n}a_k หมายถึงบวกพจน์ที่ดัชนี 11 จนถึง nn รวม nn พจน์ ถ้าเริ่มที่ k=0k=0 ถึง nn จะมี n+1n+1 พจน์ ดัชนีเป็นชื่อแทนที่เปลี่ยนชื่อได้เมื่อเปลี่ยนอย่างสอดคล้อง เช่น ∑k=14k2\sum_{k=1}^{4} k^2 กับ ∑j=14j2\sum_{j=1}^{4} j^2 คือ 1+4+9+16=301 + 4 + 9 + 16 = 30 เท่ากัน

ตัวอย่าง 1

หา ∑k=032k\sum_{k=0}^{3}2^k

  1. เริ่มที่ศูนย์และจบที่สาม มี 3−0+1=43 - 0 + 1 = 4 พจน์ แทน k=0,1,2,3k = 0, 1, 2, 3 ทีละค่า
  2. 20+21+22+23=1+2+4+8=152^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1+2+4+8=15

สมบัติของซิกมา

สมบัติต่อไปนี้มาจากการสลับลำดับการบวกและดึงตัวร่วม ไม่ใช่สูตรใหม่ที่ต้องจำแยก

สมบัติ

  • ∑k=1nc=nc\sum_{k=1}^{n} c = nc เพราะบวก cc ทั้งหมด nn ครั้ง
  • ∑k=1ncak=c∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} ca_k = c\sum_{k=1}^{n} a_k และ ∑k=1n(ak±bk)=∑k=1nak±∑k=1nbk\sum_{k=1}^{n} (a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k \pm \sum_{k=1}^{n} b_k
  • ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2} และ ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

สูตร ∑k\sum k คืออนุกรมเลขคณิตของเกาส์จากหน้า 45.2 ส่วนสูตร ∑k2\sum k^2 พิสูจน์ได้ด้วยการรวม (k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 จาก k=1k = 1 ถึง nn ข้างซ้ายหักล้างกันเหลือ (n+1)3−1(n+1)^3 - 1 แล้วแก้หา ∑k2\sum k^2

ตัวอย่าง 2

หา ∑k=110(2k+3)\sum_{k=1}^{10}(2k+3)

  1. แยกผลบวก ∑k=1102k+∑k=1103\sum_{k=1}^{10} 2k + \sum_{k=1}^{10} 3 แล้วดึงค่าคงตัว 2∑k=110k+∑k=11032\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 3
  2. ∑k=110k=10(11)2=55\sum_{k=1}^{10} k = \dfrac{10(11)}{2} = 55 และ ∑k=1103=10(3)=30\sum_{k=1}^{10} 3 = 10(3) = 30 ไม่ใช่ 33
  3. ผลรวม 2(55)+30=1402(55) + 30 = 140 ตรวจด้วยอนุกรมเลขคณิต พจน์แรก 55 พจน์สุดท้าย 2323 ได้ 102(5+23)=140\tfrac{10}{2}(5 + 23) = 140 ตรงกัน

ตัวอย่าง 3

หา ∑k=120k(k+1)\sum_{k=1}^{20}k(k+1)

  1. กระจายก่อน k(k+1)=k2+kk(k+1) = k^2 + k จึงได้ ∑k=120k2+∑k=120k\sum_{k=1}^{20} k^2 + \sum_{k=1}^{20} k
  2. ∑k=120k2=20(21)(41)6=2870\sum_{k=1}^{20} k^2 = \dfrac{20(21)(41)}{6} = 2870 และ ∑k=120k=20(21)2=210\sum_{k=1}^{20} k = \dfrac{20(21)}{2} = 210
  3. ผลรวม 2870+210=30802870 + 210 = 3080

ลองคิดก่อน

เพื่อนคิดว่า ∑k=13k2=(∑k=13k)2\sum_{k=1}^{3} k^2 = \left(\sum_{k=1}^{3} k\right)^2 เพราะยกกำลังสองทีละพจน์หรือยกกำลังสองทีหลังก็น่าจะเหมือนกัน ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ข้างซ้ายคือ 1+4+9=141 + 4 + 9 = 14 ข้างขวาคือ 62=366^2 = 36 ผลบวกยกกำลังสองมีพจน์คูณไขว้ เช่น 2×1×22 \times 1 \times 2 เพิ่มเข้ามา ซิกมากระจายได้กับการบวกลบและการคูณค่าคงตัวเท่านั้น ไม่กระจายกับการคูณกันหรือการยกกำลัง

ผลรวมอนันต์

สมบัติ

อนุกรมลู่เข้าเมื่อผลรวมย่อย SnS_n มีลิมิตจำกัด อนุกรมเรขาคณิตที่ ∣r∣<1|r|<1 มีผลรวม S=a1/(1−r)S=a_1/(1-r) เพราะ rn→0r^n\to0 ในสูตรผลรวมจำกัด

เหตุผลมาจากสองหน้าก่อน ผลรวมย่อยของอนุกรมเรขาคณิตคือ Sn=a1(1−rn)1−rS_n = \dfrac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} เมื่อ ∣r∣<1|r| < 1 หน้า 45.5 บอกว่า rn→0r^n \to 0 ทฤษฎีบทลิมิตจึงให้ Sn→a11−rS_n \to \dfrac{a_1}{1-r} ถ้า ∣r∣≥1|r| \ge 1 พจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์ และอนุกรมลู่ออก

ถ้า ana_n ไม่เข้าใกล้ศูนย์ อนุกรมลู่ออกแน่ แต่พจน์เข้าใกล้ศูนย์เป็นเพียงเงื่อนไขจำเป็น ยังไม่รับรองการลู่เข้า เช่นอนุกรมฮาร์มอนิก

ตัวอย่าง 4

หาผลรวม 6+3+32+⋯6+3+\tfrac32+\cdots

  1. a1=6a_1=6 และ r=3/6=1/2r=3/6=1/2 ตรวจก่อนว่า ∣r∣<1|r|<1 จึงใช้สูตรได้
  2. ผลรวมอนันต์ 61−1/2=12\dfrac{6}{1-1/2}=12

ลองคิดก่อน

ลำดับพจน์ 1/n1/n เข้าใกล้ศูนย์ จึงสรุปว่าอนุกรม ∑1/n\sum 1/n ลู่เข้าได้ไหม

ดูคำตอบ

สรุปไม่ได้ พจน์เข้าใกล้ศูนย์ไม่พอ อนุกรมนี้ลู่ออก จัดกลุ่ม 13+14\tfrac13 + \tfrac14 มากกว่า 12\tfrac12 และ 15\tfrac15 ถึง 18\tfrac18 รวมกันก็มากกว่า 12\tfrac12 ทำแบบนี้ได้ไม่รู้จบ ผลรวมย่อยจึงโตเกินทุกจำนวน การตรวจผลรวมย่อยกับพจน์ทั่วไปเป็นคนละเรื่องกัน

ลองคิดก่อน

อนุกรม 1−1+1−1+⋯1 - 1 + 1 - 1 + \cdots เพื่อนคนหนึ่งจับคู่ (1−1)+(1−1)+⋯(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots ได้ 00 อีกคนใช้สูตร a11−r\dfrac{a_1}{1-r} กับ r=−1r = -1 ได้ 12\tfrac12 ใครถูก

ดูคำตอบ

ไม่มีใครถูก อนุกรมนี้ลู่ออก ผลรวมย่อยคือ 1,0,1,0,…1, 0, 1, 0, \ldots แกว่งไม่เลือกค่าเดียว จึงไม่มีลิมิต การจับคู่ใส่วงเล็บเปลี่ยนลำดับผลรวมย่อยที่ดู จึงใช้กับอนุกรมที่ลู่ออกไม่ได้ ส่วนสูตรผลรวมอนันต์ต้องมี ∣r∣<1|r| < 1 แต่ ∣−1∣=1|-1| = 1 ต้องตรวจเงื่อนไขก่อนแทนสูตรทุกครั้ง

ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

บทที่ 4 เปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนด้วยการคูณสิบหรือร้อยแล้วลบ วิธีนี้คือการลบ S−rSS - rS ของอนุกรมเรขาคณิตนั่นเอง ทศนิยมซ้ำแยกเป็นผลบวกของก้อนที่ซ้ำ แต่ละก้อนเล็กลงเท่ากันทุกครั้ง จึงเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่ ∣r∣<1|r| < 1 เสมอ

ตัวอย่าง 5

เขียน 0.3˙6˙0.\dot{3}\dot{6} และ 0.16˙0.1\dot{6} เป็นเศษส่วน

  1. 0.3˙6˙=0.36+0.0036+0.000036+⋯0.\dot{3}\dot{6} = 0.36 + 0.0036 + 0.000036 + \cdots พจน์แรก 36100\tfrac{36}{100} อัตราส่วน 1100\tfrac{1}{100}
  2. ผลรวม 36/1001−1/100=3699=411\dfrac{36/100}{1 - 1/100} = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}
  3. 0.16˙=0.1+(0.06+0.006+⋯ )0.1\dot{6} = 0.1 + (0.06 + 0.006 + \cdots) ส่วนที่ซ้ำเริ่มที่ตำแหน่งที่สอง แยก 0.10.1 ออกก่อน ส่วนที่ซ้ำมีพจน์แรก 6100\tfrac{6}{100} อัตราส่วน 110\tfrac{1}{10} รวมได้ 690=115\tfrac{6}{90} = \tfrac{1}{15}
  4. ได้ 110+115=16\tfrac{1}{10} + \tfrac{1}{15} = \tfrac{1}{6} ตรวจ 1÷6=0.1666…1 \div 6 = 0.1666\ldots ถูกต้อง

ลูกบอลเด้ง

ตัวอย่าง 6

ปล่อยลูกบอลจากความสูง 66 เมตร ทุกครั้งที่ตกถึงพื้น ลูกบอลเด้งขึ้นสูง 23\tfrac23 ของความสูงก่อนหน้า ถ้าเด้งไปเรื่อยๆ ไม่หยุด ระยะทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ทั้งหมดเป็นเท่าไร

  1. วาดเส้นทางก่อน ลงครั้งแรก 66 เมตรมีครั้งเดียว หลังจากนั้นทุกการเด้งมีทั้งขาขึ้นและขาลงยาวเท่ากัน
  2. ความสูงที่เด้งคือ 4,83,169,…4, \tfrac83, \tfrac{16}{9}, \ldots เป็นอนุกรมเรขาคณิต a1=4a_1 = 4 และ r=23r = \tfrac23 ผลรวม 41−2/3=12\dfrac{4}{1 - 2/3} = 12 เมตร
  3. ระยะทางทั้งหมด 6+2(12)=306 + 2(12) = 30 เมตร ถ้าลืมคูณสอง จะได้ 1818 เมตร ซึ่งนับแค่ขาลง

หางอนุกรมและค่าประมาณ

ผลรวมอนันต์ไม่ต้องบวกพจน์จนหมดจริงๆ สูตรมาจากลิมิตของผลรวมย่อย ถ้าต้องการประมาณโดยใช้จำนวนพจน์จำกัด ผลรวมส่วนที่ยังไม่บวกเรียกว่าหางอนุกรม สำหรับเรขาคณิตที่พจน์เป็นบวก หางเป็นผลรวมเริ่มที่พจน์ถัดไปโดยใช้อัตราส่วนเดิม จึงคุมความคลาดเคลื่อนได้

ตัวอย่าง 7

ใช้สี่พจน์แรกประมาณ 1+1/2+1/4+⋯1+1/2+1/4+\cdots ส่วนที่ยังขาดเท่าไร

  1. ผลรวมอนันต์คือ 22 ส่วนสี่พจน์แรกเท่ากับ 1+1/2+1/4+1/8=15/81+1/2+1/4+1/8=15/8
  2. หางเริ่มที่ 1/161/16 มีผลรวม (1/16)/(1−1/2)=1/8(1/16)/(1-1/2)=1/8
  3. ตรวจ 15/8+1/8=215/8+1/8=2 ตรงผลรวมอนันต์

ตรวจวิธีคิด

กรณีอัตราส่วนเป็นลบ ผลรวมย่อยอาจแกว่งรอบค่าจริง จึงไม่ตีความหางว่าเป็นจำนวนที่ขาดแบบบวกเสมอ ต้องพิจารณาเครื่องหมายและค่าสัมบูรณ์แยกกัน

สรุป

  • นับจำนวนพจน์จากขอบเขตดัชนี จาก mm ถึง nn มี n−m+1n - m + 1 พจน์
  • ซิกมากระจายกับการบวกลบและค่าคงตัว ใช้ ∑k\sum k และ ∑k2\sum k^2 ช่วยคำนวณ
  • อนุกรมพิจารณาลิมิตของผลรวมย่อย พจน์เข้าใกล้ศูนย์ยังไม่พอ
  • สูตรผลรวมเรขาคณิตอนันต์ใช้เฉพาะค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนน้อยกว่าหนึ่ง
  • ทศนิยมซ้ำและระยะทางของลูกบอลเด้งเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์

ลิมิตที่ใช้ในบทนี้เป็นลิมิตเมื่อดัชนีเป็นจำนวนเต็มเพิ่มขึ้น บทที่ 46 จะใช้ความคิดเดียวกันกับลิมิตของฟังก์ชันที่ตัวแปรเปลี่ยนต่อเนื่อง