27.1 สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

มีเงิน 60 บาท จะซื้อขนมที่ร้านสหกรณ์ ขนมห่อละ 10 บาท นมกล่องละ 15 บาท อยากใช้เงินให้หมดพอดี ถ้าซื้อขนม $x$ ห่อ และนม $y$ กล่อง เงินที่จ่ายคือ $10x + 15y$ บาท จึงต้องได้

10x + 15y = 60

สมการนี้มีตัวแปรสองตัว คำตอบจึงไม่ใช่ตัวเลขตัวเดียว แต่เป็นคู่ของจำนวน ลองหาดู

ขนม $x$ ห่อ	นม $y$ กล่อง	จ่าย $10x + 15y$
6	0	60
3	2	60
0	4	60

ซื้อได้สามแบบ ถ้า $x = 1$ จะเหลือเงินซื้อนม 50 บาท ซึ่งซื้อนมได้ไม่พอดี เพราะ 50 หารด้วย 15 ไม่ลงตัว แต่ถ้าไม่ใช่เรื่องจำนวนชิ้น $x$ กับ $y$ เป็นจำนวนใดก็ได้ สมการนี้จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

สมการเชิงเส้นสองตัวแปรคืออะไร

นิยาม

สมการที่เขียนได้ในรูป

Ax + By + C = 0

เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นตัวแปร $A$ $B$ และ $C$ เป็นค่าคงตัว โดยที่ $A$ และ $B$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกว่าสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ในทางปฏิบัติมักย้ายค่าคงตัวไปไว้อีกข้าง เช่น $10x + 15y = 60$ ก็คือ $10x + 15y - 60 = 0$ ซึ่งมี $A = 10$ $B = 15$ และ $C = -60$ สมการ $y = ax + b$ จากบทที่ 8 ก็เป็นสมการแบบนี้ เพราะย้ายข้างได้เป็น $ax - y + b = 0$

คำตอบของสมการคือคู่อันดับ $(x, y)$ ที่แทนลงไปแล้วทำให้สมการเป็นจริง ตัวหน้าของคู่อันดับคือค่า $x$ ตัวหลังคือค่า $y$ เสมอ

ตัวอย่าง 1

คู่อันดับใดเป็นคำตอบของสมการ $2x + 3y = 11$ บ้าง

$(1, 3)$ $(4, 1)$ $(-2, 5)$ $(3, 2)$

$(1, 3)$ แทน $x = 1$ และ $y = 3$ ได้ $2(1) + 3(3) = 2 + 9 = 11$ เป็นจริง จึงเป็นคำตอบ
$(4, 1)$ ได้ $2(4) + 3(1) = 8 + 3 = 11$ เป็นคำตอบ
$(-2, 5)$ ได้ $2(-2) + 3(5) = -4 + 15 = 11$ เป็นคำตอบ
$(3, 2)$ ได้ $2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ ไม่เท่ากับ $11$ จึงไม่เป็นคำตอบ

กราฟของสมการเป็นเส้นตรง

ถ้านำคำตอบทุกคู่ของ $2x + 3y = 12$ ไปจุดบนระนาบ จุดทั้งหมดจะเรียงกันเป็นเส้นตรงเส้นเดียว เพราะย้าย $2x$ ไปอีกข้างได้ $3y = -2x + 12$ แล้วหารด้วย $3$ ทั้งสองข้างได้

y = -\tfrac{2}{3}x + 4

ซึ่งเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้นแบบในบทที่ 8 กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจึงเป็นเส้นตรงเสมอ ทุกจุดบนเส้นเป็นคำตอบ และทุกคำตอบอยู่บนเส้น

วิธีที่เร็วที่สุดในการวาดกราฟแบบนี้คือหาจุดตัดแกนทั้งสอง เพราะแทน $x = 0$ หรือ $y = 0$ แล้วพจน์หนึ่งหายไป คิดเลขง่าย

ตัวอย่าง 2

วาดกราฟของ $2x + 3y = 12$

ตัดแกน $y$ แทน $x = 0$ ได้ $3y = 12$ จึงได้ $y = 4$ คือจุด $(0, 4)$
ตัดแกน $x$ แทน $y = 0$ ได้ $2x = 12$ จึงได้ $x = 6$ คือจุด $(6, 0)$
หาจุดที่สามไว้ตรวจ แทน $x = 3$ ได้ $6 + 3y = 12$ จึงได้ $y = 2$ คือจุด $(3, 2)$
ลากเส้นตรงผ่านทั้งสามจุด และลากเลยออกไปทั้งสองข้าง

กราฟของ

2x + 3y = 12

ตัดแกน

y

ที่

(0, 4)

และตัดแกน

x

ที่

(6, 0)

เส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้งก็นับ

$y = -2$ คือ $0x + 1y + 2 = 0$ มี $A = 0$ ซึ่งใช้ได้ เพราะ $B$ ไม่เป็นศูนย์ กราฟเป็นเส้นแนวนอน
$x = 3$ คือ $1x + 0y - 3 = 0$ มี $B = 0$ กราฟเป็นเส้นแนวตั้ง ซึ่งเขียนในรูป $y = ax + b$ ไม่ได้ แต่ยังเป็นสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ถ้า $A$ และ $B$ เป็นศูนย์ทั้งคู่ จะไม่เหลือตัวแปรเลย จึงไม่นับ

เปลี่ยนเป็นรูป y = ax + b

ในหน้าต่อไปต้องเทียบเส้นตรงสองเส้น การเขียนสมการในรูป $y = ax + b$ ทำให้เห็นทันทีว่าเส้นเอียงแค่ไหนและตัดแกน $y$ ที่ใด

ตัวอย่าง 3

เขียน $4x - 2y = 6$ ในรูป $y = ax + b$

ย้าย $4x$ ไปอีกข้าง ได้ $-2y = -4x + 6$
หารด้วย $-2$ ทั้งสองข้าง ต้องหารทุกพจน์ ได้ $y = \dfrac{-4x}{-2} + \dfrac{6}{-2}$
ได้ $y = 2x - 3$ เส้นนี้ตัดแกน $y$ ที่ $(0, -3)$ และเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $1$ ค่า $y$ เพิ่มขึ้น $2$

หารให้ครบทุกพจน์

ขั้นที่ 2 ของตัวอย่างนี้พลาดกันบ่อย คนที่หารแค่พจน์แรกจะได้ $y = 2x + 6$ ส่วนคนที่ลืมว่าตัวหารติดลบจะได้ $y = -2x + 3$ ตรวจได้ง่ายๆ ด้วยการแทนจุดหนึ่งจุด เช่น $(0, -3)$ ลงในสมการเดิม $4(0) - 2(-3) = 6$ เป็นจริง

ลองคิดก่อน

$xy = 6$ มีตัวแปรสองตัว และมีคำตอบเป็นคู่อันดับ เช่น $(1, 6)$ $(2, 3)$ $(3, 2)$ เป็นสมการเชิงเส้นสองตัวแปรไหม

ดูคำตอบ

ไม่เป็น $xy$ คือ $x$ คูณ $y$ ซึ่งเขียนในรูป $Ax + By + C = 0$ ไม่ได้ ดูจากจุดก็เห็น จาก $(1, 6)$ ไป $(2, 3)$ ค่า $y$ ลดลง $3$ แต่จาก $(2, 3)$ ไป $(3, 2)$ ลดลงแค่ $1$ จุดจึงไม่เรียงเป็นเส้นตรง สมการเชิงเส้นต้องมีแต่พจน์ $x$ พจน์ $y$ และค่าคงตัว ห้ามมี $xy$ $x^2$ หรือตัวแปรเป็นตัวหาร

สรุป

สมการเชิงเส้นสองตัวแปรเขียนได้ในรูป $Ax + By + C = 0$ โดย $A$ และ $B$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
คำตอบคือคู่อันดับ $(x, y)$ ที่แทนแล้วสมการเป็นจริง และมีมากมายนับไม่ถ้วน
กราฟเป็นเส้นตรง วาดได้เร็วจากจุดตัดแกนทั้งสอง และใช้จุดที่สามตรวจ
ย้ายข้างแล้วหารให้ครบทุกพจน์ จะได้รูป $y = ax + b$