44.2 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ห้องเรียนหนึ่งมีนักเรียน $30$ คน ลองเดาว่าโอกาสที่มีอย่างน้อยสองคนเกิดวันเดียวกันเป็นเท่าไร คนส่วนใหญ่เดาว่าน้อย เพราะ $30$ คนดูน้อยมากเมื่อเทียบกับ $365$ วัน คำตอบจริงอยู่ท้ายหน้านี้ และจะทำให้หลายคนแปลกใจ

ก่อนจะไปถึงตรงนั้น ต้องมีเครื่องมือสองอย่าง อย่างแรกคือสูตรความน่าจะเป็นที่ใช้การนับ ซึ่งต้องนับเศษและส่วนให้สอดคล้องกัน อย่างที่สองคือส่วนเติมเต็ม ที่เปลี่ยนคำถามยากให้เป็นคำถามง่าย

สูตรสำหรับโอกาสเท่ากัน

สุ่มหยิบสลากจากกล่อง ถ้าสลากแต่ละใบเหมือนกันและสุ่มอย่างทั่วถึง เราใช้จำนวนใบที่ตรงเงื่อนไขเทียบกับจำนวนทั้งหมดได้ แต่ถ้าสลากมีน้ำหนักการสุ่มต่างกัน เช่นชื่อบางคนถูกเขียนลงสลากสองใบ สูตรนับธรรมดาที่นับชื่อจะใช้ไม่ได้ ต้องนับใบสลากแทน

สมบัติแต่ละข้อมาจากการนับโดยตรง $n(E)$ อยู่ระหว่าง $0$ กับ $n(S)$ เพราะ $E$ เป็นสับเซตของ $S$ จึงได้ $0\le P(E)\le1$ เหตุการณ์เป็นไปไม่ได้คือ $\varnothing$ มี $P(\varnothing)=0$ เหตุการณ์แน่นอนคือ $S$ มี $P(S)=1$ ส่วน $E'$ มีสมาชิก $n(S)-n(E)$ ตัว หารด้วย $n(S)$ ได้ $1-P(E)$

ถ้า $A$ กับ $B$ ไม่เกิดร่วมกัน จำนวนสมาชิกของ $A\cup B$ คือ $n(A)+n(B)$ เพราะไม่มีตัวไหนถูกนับซ้ำ จึงได้ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ข้อนี้ใช้เมื่อแยกเหตุการณ์ใหญ่เป็นหลายกรณีที่ไม่ทับกัน แล้วบวกโอกาสของแต่ละกรณี

คำตอบที่ได้ต้องตรวจทุกครั้งว่าอยู่ระหว่าง $0$ กับ $1$ ถ้าได้ค่าเกินหนึ่ง แปลว่านับเศษเกิน หรือนับเศษกับส่วนคนละแบบ

ใช้การจัดหมู่นับเศษและส่วน

เมื่อหยิบของหลายชิ้นพร้อมกัน การเขียนผลลัพธ์ทีละตัวทำไม่ไหว ให้ใช้การจัดหมู่ในบทที่ 43 นับแทน การหยิบพร้อมกันโดยไม่สนลำดับควรนับทั้งเศษและส่วนด้วยการจัดหมู่เหมือนกัน ถ้านับส่วนเป็นลำดับ เศษก็ต้องนับลำดับด้วย ไม่ผสมสองวิธีในเศษส่วนเดียว

ที่ใช้การจัดหมู่ได้ เพราะการหยิบสุ่มอย่างทั่วถึงทำให้ทุกกลุ่มของสิ่งของมีโอกาสถูกหยิบเท่ากัน กลุ่มเหล่านี้จึงเป็นผลลัพธ์ที่โอกาสเท่ากันตามเงื่อนไขของสูตร

ไพ่สำรับมาตรฐานมี $52$ ใบ แบ่งเป็นสี่ดอก คือโพดำ โพแดง ข้าวหลามตัด และดอกจิก ดอกละ $13$ ใบ ได้แก่ A 2 ถึง 10 J Q K โจทย์ไพ่ใช้วิธีเดียวกับลูกบอล ถ้าจั่วสองใบพร้อมกัน คู่ทั้งหมดมี $\binom{52}2=1326$ คู่ โอกาสได้โพแดงทั้งสองใบคือ $\binom{13}2/1326=78/1326=1/17$

หยิบทีละครั้งแบบไม่ใส่คืน

การนับแบบเรียงลำดับกับแบบไม่เรียงลำดับทำได้ทั้งคู่ ถ้าใช้สอดคล้องกันทั้งหมด การเทียบสองวิธีเป็นเครื่องมือตรวจคำตอบที่ดี หลีกเลี่ยงสูตรลัดที่ไม่อธิบายว่าแต่ละจำนวนแทนอะไร โดยเฉพาะการหยิบไม่คืนและการเลือกหลายชิ้นพร้อมกัน

อย่างน้อยหนึ่งใช้ส่วนเติมเต็ม

โจทย์ที่มีคำว่า อย่างน้อยหนึ่ง ถ้านับตรงๆ ต้องแยกหลายกรณี คือได้หนึ่ง ได้สอง ได้สาม ไปเรื่อยๆ แต่ส่วนเติมเต็มของมันมีกรณีเดียว คือไม่ได้เลย จึงแปลงเป็นทั้งหมดลบไม่มีเลยเพื่อลดการแยกกรณี และตรวจคำตอบว่ามีค่าระหว่างศูนย์กับหนึ่ง

ใช้กับการจับสลากได้เช่นกัน จากห้องในตัวอย่าง 3 โอกาสที่ตัวแทนสามคนมีหญิงอย่างน้อยหนึ่งคน เท่ากับหนึ่งลบโอกาสได้ชายล้วน คือ $1-\binom63/\binom{10}3=1-\tfrac{20}{120}=\tfrac56$

วันเกิดซ้ำในห้อง 30 คน

กลับมาที่คำถามตอนต้น สมมติว่าปีมี $365$ วัน (ไม่นับ 29 กุมภาพันธ์) และนักเรียนแต่ละคนเกิดวันไหนก็ได้โอกาสเท่ากัน ไม่ขึ้นกับคนอื่น

ผลนี้ขัดกับความรู้สึก ตารางข้างล่างคำนวณแบบเดียวกันกับห้องขนาดอื่น จะเห็นว่าเพียง $23$ คน โอกาสก็เกินครึ่งแล้ว

สรุป

• สูตร $P(E)=n(E)/n(S)$ ต้องอาศัยผลลัพธ์ที่โอกาสเท่ากัน
• เศษและส่วนต้องนับผลลัพธ์แบบเดียวกัน จัดหมู่ทั้งคู่ หรือเรียงลำดับทั้งคู่
• เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันบวกความน่าจะเป็นกันได้ตรงๆ
• หยิบไม่คืนทีละครั้ง ตัวคูณครั้งถัดไปใช้จำนวนที่เหลือ
• ส่วนเติมเต็ม $P(E')=1-P(E)$ ช่วยจัดการอย่างน้อยหนึ่ง เช่นปัญหาวันเกิดซ้ำ

ในตัวอย่าง 2 เราบวกโอกาสได้ เพราะสองกรณีไม่ทับกัน หน้าถัดไปสำหรับสายเพิ่มเติมจะดูกรณีที่ทับกัน และดูว่าข้อมูลที่รู้แล้วเปลี่ยนความน่าจะเป็นอย่างไร