descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 39 ฟังก์ชันตรีโกณมิติตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 1เพิ่มเติม

39.2 ค่าตรีโกณมิติและเอกลักษณ์

มุม 30∘30^\circ กับ 150∘150^\circ ต่างกันมาก แต่ถ้าวาดจุดปลายทั้งสองบนวงกลมหนึ่งหน่วย จะเห็นว่าอยู่สูงจากแกน xx เท่ากันพอดี จุดหนึ่งอยู่ขวา อีกจุดอยู่ซ้าย เหมือนภาพในกระจกที่ตั้งตามแกน yy ไซน์ของสองมุมนี้จึงเท่ากัน ส่วนโคไซน์มีขนาดเท่ากันแต่เครื่องหมายตรงข้าม

ข้อสังเกตนี้บอกว่าเราไม่ต้องจำค่าของมุมทุกมุม ถ้ารู้ค่าของมุมแหลมไม่กี่มุมจากบทที่ 31 ก็หาค่าของมุมใดๆ ได้ เพียงรู้ว่าจุดปลายอยู่ส่วนไหนของระนาบ หน้านี้จะทำเรื่องนี้ให้เป็นขั้นตอน แล้วต่อด้วยเอกลักษณ์ที่ใช้หาค่าหนึ่งจากอีกค่าหนึ่ง

เครื่องหมายอ่านได้จากพิกัด

แกน xx กับแกน yy แบ่งระนาบเป็นสี่ส่วน เรียกว่าจตุภาค นับทวนเข็มนาฬิกาจากด้านขวาบนเป็นจตุภาคที่ 1 ถึง 4 จากหน้า 39.1 จุดปลายของมุมคือ (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) เครื่องหมายของโคไซน์จึงเป็นเครื่องหมายของพิกัด xx และเครื่องหมายของไซน์เป็นเครื่องหมายของพิกัด yy ไม่ต้องท่องเลย ให้ถามตัวเองว่าจุดอยู่ซ้ายหรือขวา บนหรือล่าง

แทนเจนต์นิยามเป็น tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{y}{x} เมื่อ cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0 ซึ่งก็คือความชันของเส้นปลายมุม เครื่องหมายของแทนเจนต์จึงเป็นบวกเมื่อ xx กับ yy มีเครื่องหมายเดียวกัน และเป็นลบเมื่อต่างกัน

จตุภาคตำแหน่งจุดปลายsin⁡θ\sin\thetacos⁡θ\cos\thetatan⁡θ\tan\theta
1ขวาบนบวกบวกบวก
2ซ้ายบนบวกลบลบ
3ซ้ายล่างลบลบบวก
4ขวาล่างลบบวกลบ

มุมที่จุดปลายอยู่บนแกนพอดีอ่านจากพิกัดได้เลย มุม 00 มีจุดปลาย (1,0)(1, 0) มุม π2\tfrac{\pi}{2} มีจุดปลาย (0,1)(0, 1) มุม π\pi มีจุดปลาย (−1,0)(-1, 0) และมุม 3π2\tfrac{3\pi}{2} มีจุดปลาย (0,−1)(0, -1) เช่น cos⁡π=−1\cos\pi = -1 และ sin⁡3π2=−1\sin\tfrac{3\pi}{2} = -1

นอกจากสามฟังก์ชันนี้ ยังมีฟังก์ชันส่วนกลับอีกสามตัว คือ csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta} sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta} และ cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} ส่วนกลับมีเครื่องหมายเดียวกับตัวเดิม และนิยามเฉพาะมุมที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

ลองคิดก่อน

tan⁡π2=0\tan\tfrac{\pi}{2} = 0 เพราะโคไซน์ของ π2\tfrac{\pi}{2} เป็นศูนย์ใช่ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ ที่ π2\tfrac{\pi}{2} จุดปลายคือ (0,1)(0, 1) แทนเจนต์คือ 10\tfrac{1}{0} โคไซน์อยู่ที่ตัวส่วน ศูนย์ที่ตัวส่วนหารไม่ได้ tan⁡π2\tan\tfrac{\pi}{2} จึงไม่มีนิยาม ศูนย์ที่ทำให้แทนเจนต์เป็นศูนย์ต้องอยู่ที่ตัวเศษ คือมุมที่ไซน์เป็นศูนย์ เช่น tan⁡π=0−1=0\tan\pi = \tfrac{0}{-1} = 0 ในภาพ เส้นปลายมุม π2\tfrac{\pi}{2} ตั้งตรง ความชันจึงไม่มีค่า

มุมอ้างอิงให้ขนาด จตุภาคให้เครื่องหมาย

มุมอ้างอิงของ θ\theta คือมุมแหลมที่เส้นปลายมุมทำกับแกน xx (ด้านที่ใกล้กว่า) เหตุผลที่ใช้ได้คือภาพสะท้อน จุดปลายของ θ\theta กับจุดปลายของมุมอ้างอิงในจตุภาคที่ 1 สะท้อนกันข้ามแกน จึงมีพิกัดขนาดเท่ากัน ต่างกันแค่เครื่องหมาย

ขั้นตอนหาค่าตรีโกณมิติของมุมใดๆ จึงมีสามขั้น

  1. ลดมุมให้อยู่ในหนึ่งรอบด้วยการบวกหรือลบ 2π2\pi แล้วดูว่าจุดปลายอยู่จตุภาคไหน
  2. หามุมอ้างอิง ถ้าอยู่จตุภาคที่ 2 ใช้ π−θ\pi - \theta จตุภาคที่ 3 ใช้ θ−π\theta - \pi จตุภาคที่ 4 ใช้ 2π−θ2\pi - \theta
  3. หาค่าของมุมอ้างอิงจากสามเหลี่ยมพิเศษ แล้วเติมเครื่องหมายตามจตุภาค

ค่าของมุมแหลมพิเศษจากสามเหลี่ยมในบทที่ 31 ที่ใช้บ่อย

θ\thetaπ6\tfrac{\pi}{6}π4\tfrac{\pi}{4}π3\tfrac{\pi}{3}
sin⁡θ\sin\theta12\tfrac{1}{2}22\tfrac{\sqrt{2}}{2}32\tfrac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ\cos\theta32\tfrac{\sqrt{3}}{2}22\tfrac{\sqrt{2}}{2}12\tfrac{1}{2}
tan⁡θ\tan\theta33\tfrac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}

ตัวอย่าง 1

หา sin⁡5π6\sin\tfrac{5\pi}{6} cos⁡5π6\cos\tfrac{5\pi}{6} และ tan⁡5π6\tan\tfrac{5\pi}{6}

  1. 5π6\tfrac{5\pi}{6} มากกว่า π2\tfrac{\pi}{2} แต่น้อยกว่า π\pi จุดปลายจึงอยู่จตุภาคที่ 2 คือซ้ายบน
  2. มุมอ้างอิงคือ π−5π6=π6\pi - \tfrac{5\pi}{6} = \tfrac{\pi}{6} ขนาดของไซน์และโคไซน์จึงเป็น 12\tfrac{1}{2} และ 32\tfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. จุดอยู่เหนือแกน xx ไซน์จึงบวก ได้ 12\tfrac{1}{2} จุดอยู่ซ้ายแกน yy โคไซน์จึงลบ ได้ −32-\tfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. แทนเจนต์เป็นผลหาร 1/2−3/2=−13=−33\dfrac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} เครื่องหมายลบตรงกับตารางของจตุภาคที่ 2

ตัวอย่าง 2

หาค่า tan⁡225∘\tan 225^\circ และ cos⁡(−60∘)\cos(-60^\circ)

  1. 225∘225^\circ อยู่ระหว่าง 180∘180^\circ กับ 270∘270^\circ จุดปลายจึงอยู่จตุภาคที่ 3 มุมอ้างอิงคือ 225∘−180∘=45∘225^\circ - 180^\circ = 45^\circ
  2. ในจตุภาคที่ 3 ทั้ง xx และ yy ติดลบ จุดปลายคือ (−22,−22)\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}, -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) แทนเจนต์คือลบหารลบ ได้ tan⁡225∘=1\tan 225^\circ = 1 เป็นบวก
  3. มุม −60∘-60^\circ หมุนตามเข็มนาฬิกา จุดปลายอยู่จตุภาคที่ 4 มุมอ้างอิง 60∘60^\circ โคไซน์คือพิกัด xx ซึ่งเป็นบวกในจตุภาคนี้ จึงได้ cos⁡(−60∘)=12\cos(-60^\circ) = \tfrac{1}{2} ตรงกับสมบัติ cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta จากหน้าก่อน

เอกลักษณ์พีทาโกรัส

จุดปลาย (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) อยู่บนวงกลม x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 ซึ่งก็คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสของสามเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 11 จึงได้

เอกลักษณ์

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

จริงสำหรับทุกมุม θ\theta และเมื่อหารทั้งสองข้างด้วย cos⁡2θ\cos^2\theta ในมุมที่ cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0 จะได้ tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta

sin⁡2θ\sin^2\theta หมายถึง (sin⁡θ)2(\sin\theta)^2 ไม่ใช่ sin⁡(θ2)\sin(\theta^2) เอกลักษณ์คือสมการที่จริงทุกค่าของตัวแปรที่นิยาม ต่างจากสมการในหน้า 39.4 ที่จริงเพียงบางค่า

เอกลักษณ์นี้ใช้หาฟังก์ชันหนึ่งจากอีกฟังก์ชันหนึ่ง แต่มีกับดักสำคัญ การยกกำลังสองทำให้เครื่องหมายหายไป ตอนถอดรากกลับจึงได้สองค่าบวกลบ ต้องใช้จตุภาคเลือกว่าเป็นค่าไหน

ตัวอย่าง 3

ถ้า sin⁡θ=35\sin\theta = \tfrac{3}{5} และ θ\theta อยู่จตุภาคที่ 2 หา cos⁡θ\cos\theta และ tan⁡θ\tan\theta

  1. จากเอกลักษณ์ cos⁡2θ=1−sin⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25}
  2. ถอดรากได้ cos⁡θ=45\cos\theta = \tfrac{4}{5} หรือ −45-\tfrac{4}{5} ตอนนี้ยังเลือกไม่ได้ เพราะทั้งสองค่ายกกำลังสองได้ 1625\tfrac{16}{25} เหมือนกัน
  3. จตุภาคที่ 2 จุดปลายอยู่ซ้ายแกน yy โคไซน์จึงลบ เลือก cos⁡θ=−45\cos\theta = -\tfrac{4}{5}
  4. tan⁡θ=3/5−4/5=−34\tan\theta = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}

ลองคิดก่อน

เพื่อนทำตัวอย่างที่ 3 ว่า cos⁡θ=1−925=45\cos\theta = \sqrt{1 - \tfrac{9}{25}} = \tfrac{4}{5} แล้วตอบเลย ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

สัญลักษณ์ x\sqrt{\phantom{x}} ให้เฉพาะค่าที่ไม่ติดลบ การเขียน cos⁡θ=1−sin⁡2θ\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} จึงแอบสมมุติว่าโคไซน์เป็นบวกไปแล้ว ซึ่งจริงเฉพาะจตุภาคที่ 1 และ 4 ที่ถูกต้องคือ cos⁡θ=±1−sin⁡2θ\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta} แล้วเลือกเครื่องหมายจากจตุภาค โจทย์ที่บอกจตุภาคมาให้ แปลว่าข้อมูลนั้นมีไว้ใช้เลือกเครื่องหมาย

จากอัตราส่วนหนึ่งค่าไปหาค่าอื่น

อีกวิธีที่เร็วคือวาดจุดบนเส้นปลายมุม ถ้ารู้ tan⁡θ=yx\tan\theta = \tfrac{y}{x} ให้เลือกจุด (x,y)(x, y) ที่มีอัตราส่วนนี้ โดยใส่เครื่องหมายตามจตุภาค แล้วหาระยะจากจุดกำเนิด r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2} จะได้ sin⁡θ=yr\sin\theta = \tfrac{y}{r} และ cos⁡θ=xr\cos\theta = \tfrac{x}{r} เพราะการหารด้วย rr คือการย่อจุดลงมาอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย

ตัวอย่าง 4

ถ้า tan⁡θ=−34\tan\theta = -\tfrac{3}{4} และ θ\theta อยู่จตุภาคที่ 4 หา sin⁡θ\sin\theta และ sec⁡θ\sec\theta

  1. จตุภาคที่ 4 มี xx บวกและ yy ลบ จึงเลือกจุด (4,−3)(4, -3) ซึ่งให้ yx=−34\tfrac{y}{x} = -\tfrac{3}{4} ตรงกับโจทย์
  2. ระยะจากจุดกำเนิด r=42+(−3)2=5r = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5 จึงได้ sin⁡θ=−35\sin\theta = -\tfrac{3}{5} และ cos⁡θ=45\cos\theta = \tfrac{4}{5}
  3. เซแคนต์เป็นส่วนกลับของโคไซน์ ได้ sec⁡θ=54\sec\theta = \tfrac{5}{4} เป็นบวกเหมือนโคไซน์

แทนเจนต์ลบเพียงอย่างเดียวบอกได้แค่ว่าอยู่จตุภาคที่ 2 หรือ 4 ยังเลือกเครื่องหมายของไซน์หรือโคไซน์ไม่ได้ ถ้าโจทย์ไม่บอกจตุภาคต้องตอบทั้งสองกรณี

พิสูจน์เอกลักษณ์

การพิสูจน์เอกลักษณ์คือการแปลงข้างหนึ่งทีละขั้นจนได้อีกข้าง โดยใช้เอกลักษณ์ที่รู้แล้วและพีชคณิตจากบทก่อนๆ ห้ามย้ายข้างหรือคูณไขว้เหมือนแก้สมการ เพราะเรายังไม่รู้ว่าสองข้างเท่ากัน หลักที่ช่วยได้คือเริ่มจากข้างที่ซับซ้อนกว่า และเขียนทุกอย่างเป็นไซน์กับโคไซน์

ตัวอย่าง 5

พิสูจน์ว่า 11−sin⁡θ+11+sin⁡θ=2sec⁡2θ\dfrac{1}{1 - \sin\theta} + \dfrac{1}{1 + \sin\theta} = 2\sec^2\theta สำหรับทุกมุมที่ sin⁡θ≠±1\sin\theta \ne \pm 1

  1. ข้างซ้ายซับซ้อนกว่า เริ่มจากข้างซ้าย รวมเศษส่วนด้วยตัวส่วนร่วม (1−sin⁡θ)(1+sin⁡θ)(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta) ได้ (1+sin⁡θ)+(1−sin⁡θ)(1−sin⁡θ)(1+sin⁡θ)\dfrac{(1 + \sin\theta) + (1 - \sin\theta)}{(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta)}
  2. ตัวเศษ sin⁡θ\sin\theta ตัดกันเหลือ 22 ตัวส่วนเป็นผลต่างกำลังสอง 1−sin⁡2θ1 - \sin^2\theta
  3. จากเอกลักษณ์ 1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta ข้างซ้ายจึงเป็น 2cos⁡2θ=2sec⁡2θ\dfrac{2}{\cos^2\theta} = 2\sec^2\theta เท่ากับข้างขวา
  4. เงื่อนไข sin⁡θ≠±1\sin\theta \ne \pm 1 ทำให้ตัวส่วนเดิมไม่เป็นศูนย์ และตรงกับ cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0 ที่เซแคนต์ต้องการพอดี

หน้าถัดไปจะวาดค่าเหล่านี้ทุกมุมเป็นกราฟ จะเห็นว่าการที่ค่าซ้ำทุกหนึ่งรอบ และสมมาตรระหว่างจตุภาค กลายเป็นรูปคลื่นที่ใช้อธิบายสิ่งที่ขึ้นลงเป็นรอบได้

สรุป

  • เครื่องหมายของโคไซน์คือเครื่องหมายของ xx ไซน์คือเครื่องหมายของ yy แทนเจนต์บวกเมื่อสองตัวนี้เครื่องหมายเดียวกัน
  • มุมอ้างอิงให้ขนาดของค่า จตุภาคให้เครื่องหมาย
  • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 และ tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta
  • ถอดรากจากเอกลักษณ์ได้สองเครื่องหมาย ต้องใช้จตุภาคเลือก
  • ส่วนกลับและแทนเจนต์ต้องตรวจว่าตัวส่วนไม่เป็นศูนย์