30.4 ใช้ความน่าจะเป็นตัดสินใจ

คำว่าเกมยุติธรรมต้องบอกเกณฑ์ก่อน ถ้าทั้งสองฝ่ายจ่ายและรับรางวัลเท่ากัน เราอาจเทียบโอกาสชนะ แต่ถ้ารางวัลต่างกัน ดูเพียงโอกาสชนะยังตัดสินไม่ได้ บทนี้เริ่มจากเกมที่เงื่อนไขรางวัลเท่ากัน

นับทุกทาง ไม่ดูแค่ชื่อผล

ตัวอย่าง 1

เกมทอยลูกเต๋าเที่ยงตรงหนึ่งลูก ฝ่าย ก ชนะเมื่อแต้มเป็นจำนวนเฉพาะ ฝ่าย ข ชนะกรณีอื่น โดยได้รางวัลเท่ากัน เกมยุติธรรมตามโอกาสชนะหรือไม่

จำนวนเฉพาะบนลูกเต๋าคือ 2,3,5 ส่วน 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
ก ชนะ 3 ผลจาก 6 ข ชนะ 1,4,6 อีก 3 ผลจาก 6
ทั้งสองมีโอกาสชนะ $1/2$ จึงยุติธรรมตามเกณฑ์ที่ระบุ

ตารางช่วยนับสองขั้น

ตัวอย่าง 2

สุ่มเลือกเสื้อจากสีขาว น้ำเงิน แดง และกางเกงจากสีดำ เทา โดยแต่ละชิ้นมีโอกาสเท่ากัน โอกาสได้เสื้อแดงหรือกางเกงดำเท่าไร

ผลลัพธ์ทั้งหมด $3(2)=6$ ชุด เขียนเป็นคู่สีเสื้อกับสีกางเกง
เสื้อแดงมี 2 ชุด กางเกงดำมี 3 ชุด แต่ชุดแดงดำถูกนับสองครั้ง
ผลที่เข้าเงื่อนไขจึง $2+3-1=4$ ชุด โอกาส $4/6=2/3$
อีกวิธีนับส่วนที่ไม่เข้าเงื่อนไข คือขาวเทาและน้ำเงินเทา รวม 2 จาก 6 จึง $1-2/6=2/3$

คำว่า หรือ ในความหมายทางคณิตศาสตร์รวมกรณีที่ทั้งสองเงื่อนไขเกิดพร้อมกันด้วย จึงต้องนับชุดแดงดำหนึ่งครั้ง ไม่ใช่ตัดออก และไม่ใช่นับซ้ำ

หยิบคืนกับไม่คืนต่างกัน

ตัวอย่าง 3

กล่องมีบัตรแดง 2 ใบ น้ำเงิน 3 ใบ ทุกใบขนาดเท่ากัน หยิบสองครั้ง หาโอกาสแดงทั้งสองกรณีใส่คืนและไม่ใส่คืน

ใส่คืนแล้วสับใหม่ ทุกครั้งยังมีแดง 2 จาก 5 ใช้แผนภาพต้นไม้ได้ $(2/5)(2/5)=4/25$
ไม่ใส่คืน หลังแดงครั้งแรก เหลือแดง 1 จาก 4 จึงได้ $(2/5)(1/4)=1/10$
กรณีไม่คืนโอกาสแดงทั้งสองน้อยกว่า เพราะแดงถูกเอาออกไปก่อนครั้งที่สอง

การคูณในตัวอย่างนี้อ่านจากทางเดินของต้นไม้ โดยตัวคูณครั้งที่สองใช้จำนวนที่เหลือหลังทราบผลครั้งแรก ไม่ควรคูณโอกาสเดิมซ้ำโดยไม่ตรวจเงื่อนไข

ลองคิดก่อน

เกมหนึ่งชนะง่ายกว่าอีกเกม จึงน่าเล่นกว่าเสมอใช่ไหม

ดูคำตอบ

ยังสรุปไม่ได้ถ้าไม่รู้ค่าเล่นและรางวัล เกมที่ชนะบ่อยแต่รางวัลน้อยอาจเสียเงินโดยรวมมากกว่า บทนี้เปรียบเทียบโอกาสได้ แต่การตัดสินด้านเงินยังต้องใช้ข้อมูลอื่น อย่าเปลี่ยนข้อสรุปเรื่องโอกาสให้เป็นคำรับประกันผลตอบแทน

สรุป

ระบุเกณฑ์ก่อนเรียกเกมว่ายุติธรรม
เหตุการณ์ที่มีคำว่า หรือ ต้องระวังนับผลที่ซ้อนกัน
เมื่อไม่ใส่คืน จำนวนผลลัพธ์ครั้งที่สองเปลี่ยนตามครั้งแรก