descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 4 ทศนิยมและเศษส่วนตรงกับหนังสือ ม.1 เล่ม 1 บทที่ 4

4.1 ทศนิยมและเศษส่วนที่เป็นลบ

ตู้เย็นสองเครื่องในร้านสะดวกซื้อ ช่องแช่แข็งของเครื่องแรกอ่านได้ −18.5-18.5 องศาเซลเซียส เครื่องที่สองอ่านได้ −18.25-18.25 องศาเซลเซียส ไอศกรีมในเครื่องไหนเย็นกว่า

คนจำนวนมากตอบว่าเครื่องที่สอง เพราะ 2525 มากกว่า 55 คำตอบนี้ผิดสองชั้น หน้านี้จะทำให้เห็นว่าผิดตรงไหน โดยใช้เส้นจำนวนแบบเดียวกับที่ใช้กับจำนวนเต็มในบทที่ 1

ทศนิยมคืออะไร

ทศนิยมคือการเขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1010 100100 10001000 ไปเรื่อยๆ โดยไม่ต้องเขียนตัวส่วน ตำแหน่งของเลขแต่ละตัวบอกว่าเป็นส่วนสิบ ส่วนร้อย หรือส่วนพัน

จำนวนหน่วยส่วนสิบส่วนร้อยส่วนพัน
2.3752.37522337755

จึงเขียนได้ว่า

2.375=2+310+7100+51000=23751000=1982.375 = 2 + \frac{3}{10} + \frac{7}{100} + \frac{5}{1000} = \frac{2375}{1000} = \frac{19}{8}

เลขศูนย์ที่ต่อท้ายทศนิยมไม่ทำให้ค่าเปลี่ยน 0.7=0.70=0.7000.7 = 0.70 = 0.700 เพราะ 710=70100=7001000\tfrac{7}{10} = \tfrac{70}{100} = \tfrac{700}{1000} ข้อนี้จะช่วยมากตอนเปรียบเทียบทศนิยม

ทศนิยมที่เป็นลบ

ในบทที่ 1 จำนวน −3-3 คือจำนวนตรงข้ามของ 33 อยู่ห่างจาก 00 ไปทางซ้าย 3 หน่วย ทศนิยมก็เหมือนกัน −18.5-18.5 คือจำนวนตรงข้ามของ 18.518.5 อยู่ห่างจาก 00 ไปทางซ้าย 18.518.5 หน่วย ซึ่งอยู่ระหว่าง −19-19 กับ −18-18

ขยายเส้นจำนวนช่วง −19-19 ถึง −18-18 แล้วแบ่งเป็นช่องละ 0.250.25 จะเห็นตำแหน่งของอุณหภูมิทั้งสองเครื่อง

−19−18.75−18.5−18.25−18AB
จุด A คือ −18.5-18.5 จุด B คือ −18.25-18.25 จุด A อยู่ทางซ้าย จึงน้อยกว่า

จุดที่อยู่ทางซ้ายมีค่าน้อยกว่าเสมอ −18.5-18.5 อยู่ทางซ้ายของ −18.25-18.25 จึงได้ −18.5<−18.25-18.5 < -18.25 ตู้เครื่องแรกเย็นกว่า

ส่วนที่คนตอบผิดเพราะเทียบ 55 กับ 2525 ผิดชั้นแรกคือ 0.5=0.500.5 = 0.50 ซึ่งมากกว่า 0.250.25 ไม่ใช่น้อยกว่า และผิดชั้นที่สองคือลืมว่ามีเครื่องหมายลบ

เปรียบเทียบทศนิยม

ทศนิยมที่เป็นบวกเทียบกันโดยเติมศูนย์ต่อท้ายให้จำนวนตำแหน่งเท่ากันก่อน แล้วเทียบทีละหลักจากซ้ายไปขวา เช่น 0.70.7 กับ 0.650.65 เขียนเป็น 0.700.70 กับ 0.650.65 หลักส่วนสิบ 7>67 > 6 จึงได้ 0.7>0.650.7 > 0.65

ทศนิยมที่เป็นลบต้องคิดกลับด้าน ยิ่งอยู่ห่างจาก 00 ไปทางซ้ายมากเท่าไร ยิ่งมีค่าน้อย

สมบัติ

ถ้า aa และ bb เป็นจำนวนบวก และ a>ba > b แล้ว −a<−b-a < -b

เช่น 0.7>0.650.7 > 0.65 จึงได้ −0.7<−0.65-0.7 < -0.65

จำนวนลบทุกจำนวนน้อยกว่า 00 และน้อยกว่าจำนวนบวกทุกจำนวน จึงไม่ต้องเทียบทีละหลักเลยถ้าเครื่องหมายต่างกัน

ตัวอย่าง 1

เรียงจำนวนต่อไปนี้จากน้อยไปมาก 0.30.3 −1.2-1.2 −1.25-1.25 −0.3-0.3 1.051.05

  1. แยกเป็นสองกลุ่ม จำนวนลบคือ −1.2-1.2 −1.25-1.25 −0.3-0.3 จำนวนบวกคือ 0.30.3 1.051.05 กลุ่มจำนวนลบต้องมาก่อนทั้งหมด
  2. จำนวนลบ เทียบระยะห่างจากศูนย์ 1.25>1.20>0.301.25 > 1.20 > 0.30 ตัวที่ห่างมากที่สุดน้อยที่สุด จึงเรียงเป็น −1.25-1.25 −1.2-1.2 −0.3-0.3
  3. จำนวนบวก 0.30<1.050.30 < 1.05
  4. คำตอบคือ −1.25-1.25 −1.2-1.2 −0.3-0.3 0.30.3 1.051.05

ลองคิดก่อน

−0.125-0.125 กับ −0.5-0.5 จำนวนไหนน้อยกว่า เพื่อนตอบว่า −0.125-0.125 เพราะ 125125 มากกว่า 55 จึงติดลบมากกว่า

ดูคำตอบ

เพื่อนผิด เติมศูนย์ให้ตำแหน่งเท่ากันก่อน 0.5=0.5000.5 = 0.500 ซึ่งมากกว่า 0.1250.125 ดังนั้น −0.5-0.5 อยู่ห่างจาก 00 ไปทางซ้ายมากกว่า จึงได้ −0.5<−0.125-0.5 < -0.125 จำนวนหลักหลังจุดทศนิยมไม่ได้บอกว่าจำนวนไหนใหญ่กว่า

เศษส่วนที่เป็นลบ

−34-\tfrac{3}{4} คือจำนวนตรงข้ามของ 34\tfrac{3}{4} อยู่ห่างจาก 00 ไปทางซ้าย 34\tfrac{3}{4} หน่วย จากบทที่ 1 จำนวนลบหารด้วยจำนวนบวก หรือจำนวนบวกหารด้วยจำนวนลบ ได้ผลเป็นลบ จึงเขียนได้สามแบบที่มีค่าเท่ากัน

−34=−34=3−4-\frac{3}{4} = \frac{-3}{4} = \frac{3}{-4}

ส่วน −3−4\tfrac{-3}{-4} เป็นลบหารด้วยลบ จึงเท่ากับ 34\tfrac{3}{4} ซึ่งเป็นบวก ในหนังสือนิยมเขียนแบบแรก คือเอาเครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วน

เลื่อนแถบข้างล่างเพื่อดูว่าเศษส่วนอยู่ตรงไหนบนเส้นจำนวน ตัวส่วนบอกว่าแบ่งแต่ละหน่วยเป็นกี่ช่อง ตัวเศษบอกว่านับกี่ช่อง ถ้าตัวเศษเป็นลบให้นับไปทางซ้าย

ลองตั้งตัวเศษ −3-3 ตัวส่วน 44 แล้วเปลี่ยนเป็นตัวเศษ −6-6 ตัวส่วน 88 จุดอยู่ที่เดิมไหม

เศษส่วนที่เท่ากันและเศษส่วนอย่างต่ำ

คูณหรือหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ จะได้เศษส่วนที่เท่าเดิม บนกราฟข้างบน −34-\tfrac{3}{4} กับ −68-\tfrac{6}{8} จึงอยู่จุดเดียวกัน เศษส่วนที่ตัวเศษกับตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 11 เรียกว่าเศษส่วนอย่างต่ำ ทำได้โดยหารทั้งสองตัวด้วย ห.ร.ม.

ตัวอย่าง 2

เขียน −1824-\tfrac{18}{24} เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

  1. ห.ร.ม. ของ 1818 กับ 2424 คือ 66
  2. หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 66 ได้ −18÷624÷6=−34-\tfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = -\tfrac{3}{4}

จำนวนคละที่เป็นลบ

74\tfrac{7}{4} เขียนเป็นจำนวนคละได้ 1341\tfrac{3}{4} ซึ่งหมายถึง 1+341 + \tfrac{3}{4} ส่วน −74-\tfrac{7}{4} เขียนได้ −134-1\tfrac{3}{4} ซึ่งหมายถึง −(1+34)-\big(1 + \tfrac{3}{4}\big) คือเครื่องหมายลบคลุมทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน ไม่ใช่ −1+34-1 + \tfrac{3}{4}

เปรียบเทียบเศษส่วน

วิธีที่ใช้ได้เสมอคือทำให้ตัวส่วนเท่ากันด้วย ค.ร.น. แล้วเทียบตัวเศษ อีกวิธีคือเปลี่ยนเป็นทศนิยมแล้วเทียบแบบหัวข้อที่แล้ว

ตัวอย่าง 3

−56-\tfrac{5}{6} กับ −79-\tfrac{7}{9} จำนวนไหนมากกว่า

  1. ค.ร.น. ของ 66 กับ 99 คือ 1818
  2. −56=−1518-\tfrac{5}{6} = -\tfrac{15}{18} และ −79=−1418-\tfrac{7}{9} = -\tfrac{14}{18}
  3. ตัวส่วนเท่ากันแล้ว 1518>1418\tfrac{15}{18} > \tfrac{14}{18} พอเป็นลบจึงกลับกัน −1518<−1418-\tfrac{15}{18} < -\tfrac{14}{18}
  4. ดังนั้น −79-\tfrac{7}{9} มากกว่า −56-\tfrac{5}{6}

ตัวอย่าง 4

38\tfrac{3}{8} กับ 0.40.4 จำนวนไหนมากกว่า

  1. เปลี่ยน 38\tfrac{3}{8} เป็นทศนิยม 3÷8=0.3753 \div 8 = 0.375
  2. เทียบ 0.3750.375 กับ 0.4000.400 หลักส่วนสิบ 3<43 < 4
  3. ดังนั้น 0.40.4 มากกว่า 38\tfrac{3}{8}

สรุป

  • ทศนิยมและเศษส่วนที่เป็นลบอยู่ทางซ้ายของ 00 บนเส้นจำนวน จุดที่อยู่ทางซ้ายน้อยกว่าเสมอ
  • ถ้า a>b>0a > b > 0 แล้ว −a<−b-a < -b ติดลบที่อยู่ห่างศูนย์มากกว่าจึงน้อยกว่า
  • เทียบทศนิยม เติมศูนย์ให้ตำแหน่งเท่ากันก่อน จำนวนหลักไม่ได้บอกขนาด
  • −34=−34=3−4-\tfrac{3}{4} = \tfrac{-3}{4} = \tfrac{3}{-4} และ −134-1\tfrac{3}{4} หมายถึง −(1+34)-\big(1 + \tfrac{3}{4}\big)
  • เทียบเศษส่วน ทำตัวส่วนให้เท่ากันด้วย ค.ร.น. หรือเปลี่ยนเป็นทศนิยม