26.1 ควอร์ไทล์

ฝนสอบย่อยคณิตศาสตร์ได้ 17 คะแนนจากเต็ม 20 ครูประกาศคะแนนของนักเรียนทั้งกลุ่ม 11 คนไว้หน้าห้องดังนี้

12 15 9 18 14 11 16 13 17 10 14

ฝนรู้จากบทที่ 16 ว่ามัธยฐานคือ 14 จึงรู้ว่าตัวเองอยู่ครึ่งบนของกลุ่ม แต่ครูบอกว่าจะให้นักเรียนกลุ่มหนึ่งในสี่ที่ได้คะแนนสูงที่สุดไปช่วยติวเพื่อน ฝนอยากรู้ว่าตัวเองอยู่ในกลุ่มนั้นไหม มัธยฐานแบ่งข้อมูลได้แค่สองส่วน จึงตอบคำถามนี้ไม่ได้ ต้องแบ่งให้ละเอียดขึ้นเป็นสี่ส่วน

ควอร์ไทล์คืออะไร

นิยาม

ควอร์ไทล์ (quartile) คือค่าที่แบ่งข้อมูลซึ่งเรียงจากน้อยไปมากแล้ว ออกเป็นสี่ส่วน แต่ละส่วนมีจำนวนข้อมูลเท่าๆ กัน ควอร์ไทล์มีสามค่า

ควอร์ไทล์ที่ 1 เขียนแทนด้วย $Q_1$ มีข้อมูลประมาณหนึ่งในสี่ หรือร้อยละ 25 ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $Q_1$
ควอร์ไทล์ที่ 2 เขียนแทนด้วย $Q_2$ มีข้อมูลประมาณครึ่งหนึ่งที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $Q_2$ ซึ่งก็คือมัธยฐานนั่นเอง
ควอร์ไทล์ที่ 3 เขียนแทนด้วย $Q_3$ มีข้อมูลประมาณสามในสี่ หรือร้อยละ 75 ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $Q_3$

พูดอีกแบบคือ ข้อมูลประมาณหนึ่งในสี่มีค่าตั้งแต่ $Q_3$ ขึ้นไป คำถามของฝนจึงกลายเป็นคำถามว่า $Q_3$ ของคะแนนชุดนี้เท่ากับเท่าไร

ที่ต้องใช้คำว่า "ประมาณ" เพราะข้อมูลส่วนใหญ่แบ่งเป็นสี่ส่วนเท่ากันพอดีไม่ได้ เช่นข้อมูล 11 ตัว หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

ตำแหน่งของควอร์ไทล์

หาควอร์ไทล์ทำแบบเดียวกับการหามัธยฐาน คือเรียงข้อมูลก่อน แล้วหาว่าควอร์ไทล์อยู่ที่ตำแหน่งไหน บทนี้ใช้กฎข้างล่างตลอดทั้งบท

ตำแหน่งของควอร์ไทล์

เรียงข้อมูล $N$ ตัวจากน้อยไปมาก ให้ $x_1$ เป็นตัวที่ 1 $x_2$ เป็นตัวที่ 2 ไปเรื่อยๆ ควอร์ไทล์ที่ $r$ อยู่ที่ตำแหน่ง

\frac{r(N + 1)}{4} \qquad r = 1, 2, 3

$Q_1$ อยู่ที่ตำแหน่ง $\tfrac{N + 1}{4}$
$Q_2$ อยู่ที่ตำแหน่ง $\tfrac{2(N + 1)}{4} = \tfrac{N + 1}{2}$ ตรงกับตำแหน่งของมัธยฐานในบทที่ 16
$Q_3$ อยู่ที่ตำแหน่ง $\tfrac{3(N + 1)}{4}$

ถ้าตำแหน่งเป็นจำนวนเต็ม $n$ ควอร์ไทล์คือ $x_n$ ถ้าตำแหน่งเป็น $n + p$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มและ $0 < p < 1$ ควอร์ไทล์อยู่ระหว่าง $x_n$ กับ $x_{n+1}$ โดยเลยจาก $x_n$ ไป $p$ ส่วนของระยะห่าง

x_n + p\,(x_{n+1} - x_n)

ตัวอย่าง 1

หา $Q_1$ $Q_2$ และ $Q_3$ ของคะแนนสอบย่อย 11 คนข้างบน แล้วตอบว่าฝนซึ่งได้ 17 คะแนน อยู่ในกลุ่มหนึ่งในสี่ที่ได้คะแนนสูงที่สุดหรือไม่

เรียงจากน้อยไปมาก ได้ 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 มี $N = 11$ ตัว
$N + 1 = 12$ ตำแหน่งของ $Q_1$ คือ $\tfrac{12}{4} = 3$ ตำแหน่งของ $Q_2$ คือ $\tfrac{2(12)}{4} = 6$ ตำแหน่งของ $Q_3$ คือ $\tfrac{3(12)}{4} = 9$
ทุกตำแหน่งเป็นจำนวนเต็ม อ่านค่าได้เลย $Q_1 = x_3 = 11$ $Q_2 = x_6 = 14$ $Q_3 = x_9 = 16$
ฝนได้ 17 คะแนน มากกว่า $Q_3 = 16$ จึงอยู่ในกลุ่มหนึ่งในสี่ที่ได้คะแนนสูงที่สุด

ตัวเลขเล็กข้างบนคือตำแหน่ง ควอร์ไทล์ทั้งสามแบ่งคะแนน 11 ตัวออกเป็นสี่ส่วน ส่วนละ 2 ตัว

เมื่อตำแหน่งไม่เป็นจำนวนเต็ม

ข้อมูล 11 ตัวได้ $N + 1 = 12$ ซึ่งหารด้วย 4 ลงตัว ตำแหน่งจึงเป็นจำนวนเต็มทั้งหมด แต่ข้อมูลส่วนใหญ่ไม่โชคดีแบบนี้

ตัวอย่าง 2

ถามเพื่อน 10 คนว่าได้เงินค่าขนมไปโรงเรียนวันละกี่บาท ได้คำตอบ 40 60 50 45 80 55 50 70 65 100 หา $Q_1$ $Q_2$ และ $Q_3$

เรียงจากน้อยไปมาก ได้ 40 45 50 50 55 60 65 70 80 100 มี $N = 10$ ตัว จึงได้ $N + 1 = 11$
ตำแหน่งของ $Q_1$ คือ $\tfrac{11}{4} = 2.75$ อยู่ระหว่างตัวที่ 2 คือ 45 กับตัวที่ 3 คือ 50 เลยจากตัวที่ 2 ไป $0.75$ ของระยะห่าง ได้ $Q_1 = 45 + 0.75(50 - 45) = 48.75$ บาท
ตำแหน่งของ $Q_2$ คือ $\tfrac{2(11)}{4} = 5.5$ อยู่กึ่งกลางระหว่างตัวที่ 5 คือ 55 กับตัวที่ 6 คือ 60 ได้ $Q_2 = 55 + 0.5(60 - 55) = 57.5$ บาท ตรงกับการหามัธยฐานแบบบทที่ 16
ตำแหน่งของ $Q_3$ คือ $\tfrac{3(11)}{4} = 8.25$ อยู่ระหว่างตัวที่ 8 คือ 70 กับตัวที่ 9 คือ 80 ได้ $Q_3 = 70 + 0.25(80 - 70) = 72.5$ บาท

รูปข้างล่างขยายช่วงระหว่างตัวที่ 2 กับตัวที่ 3 ของตัวอย่างนี้ ตำแหน่ง 2.75 คือเดินจากตัวที่ 2 ไปสามในสี่ของทาง ค่าจึงเพิ่มจาก 45 ไปสามในสี่ของ 5 บาท

ตัวเลขข้างบนคือตำแหน่ง ตัวเลขข้างล่างคือค่าของข้อมูล

ลองคิดก่อน

เพื่อนหา $Q_1$ ของค่าขนมในตัวอย่าง 2 ได้ตำแหน่ง 2.75 แล้วปัดเป็น 3 ตอบว่า $Q_1 = 50$ บาท อีกคนหนึ่งตอบว่า $Q_1 = 2.75$ ทั้งสองคนพลาดตรงไหน

ดูคำตอบ

คนแรกปัดตำแหน่ง ทั้งที่ตำแหน่ง 2.75 ยังไม่ถึงตัวที่ 3 ค่าที่ได้จึงต้องอยู่ระหว่าง 45 กับ 50 คือ $45 + 0.75(5) = 48.75$ ส่วนคนที่สองตอบตำแหน่งแทนค่า $\tfrac{N + 1}{4}$ บอกแค่ว่าควอร์ไทล์อยู่ลำดับที่เท่าไร ต้องกลับไปอ่านค่าของข้อมูลตรงลำดับนั้นอีกขั้นหนึ่ง ซึ่งเป็นความผิดพลาดแบบเดียวกับการตอบตำแหน่งของมัธยฐานในบทที่ 16

ข้อมูลจากแผนภาพต้นใบ

แผนภาพต้นใบที่เรียงใบแล้วคือข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมากเรียบร้อย นับใบไปทีละตัวก็หาควอร์ไทล์ได้ทันที

ตัวอย่าง 3

แผนภาพต้นใบข้างล่างแสดงจำนวนครั้งที่นักเรียน 15 คนลุกนั่งได้ใน 30 วินาที หา $Q_1$ $Q_2$ และ $Q_3$

ต้น	ใบ
1	5 8 9
2	0 2 2 4 6 7 9
3	0 1 3 5 8

นับใบ ได้ $3 + 7 + 5 = 15$ ตัว จึงได้ $N + 1 = 16$
ตำแหน่งของ $Q_1$ $Q_2$ $Q_3$ คือ $\tfrac{16}{4} = 4$ $\tfrac{2(16)}{4} = 8$ และ $\tfrac{3(16)}{4} = 12$ เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด
ต้น 1 มี 3 ตัว ตัวที่ 4 จึงเป็นใบแรกของต้น 2 ได้ $Q_1 = 20$ ครั้ง
ตัวที่ 8 คือใบที่ 5 ของต้น 2 ได้ $Q_2 = 26$ ครั้ง
ต้น 1 และต้น 2 รวมกันมี 10 ตัว ตัวที่ 12 จึงเป็นใบที่ 2 ของต้น 3 ได้ $Q_3 = 31$ ครั้ง

วิธีหาควอร์ไทล์มีมากกว่าหนึ่งแบบ

เครื่องคิดเลข โปรแกรมตารางคำนวณ หรือหนังสือบางเล่ม หาควอร์ไทล์ด้วยวิธีที่ต่างไปเล็กน้อย เช่นหามัธยฐานของข้อมูลครึ่งล่างแล้วเรียกว่า $Q_1$ เมื่อข้อมูลมีน้อยค่าที่ได้อาจต่างกันบ้าง อย่างค่าขนมในตัวอย่าง 2 วิธีนั้นได้ $Q_1 = 50$ แต่วิธีของบทนี้ได้ $48.75$ ไม่มีวิธีไหนผิด แต่ต้องใช้วิธีเดียวกันตลอดทั้งงาน ในบทนี้และแบบฝึกหัดทุกข้อใช้ตำแหน่ง $\tfrac{r(N + 1)}{4}$

สรุป

ควอร์ไทล์สามค่า $Q_1$ $Q_2$ $Q_3$ แบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วออกเป็นสี่ส่วนที่มีจำนวนข้อมูลประมาณเท่ากัน
$Q_2$ คือมัธยฐาน
เรียงข้อมูลก่อนเสมอ แล้วหาตำแหน่ง $\tfrac{r(N + 1)}{4}$
ตำแหน่งไม่เป็นจำนวนเต็ม ให้หาค่าระหว่างสองตัวที่ติดกันตามสัดส่วน ห้ามปัดตำแหน่ง
ตำแหน่งไม่ใช่ค่าของควอร์ไทล์ ต้องอ่านค่าของข้อมูลตรงตำแหน่งนั้น