43.5 ทฤษฎีบททวินาม

เราจำได้ตั้งแต่ ม.ต้นว่า $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ถ้าต้องการ $(a+b)^3$ ก็คูณ $(a+b)$ เพิ่มอีกหนึ่งครั้ง แต่ถ้าโจทย์ถามสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ ใน $(1+x)^{10}$ การคูณวงเล็บสิบครั้งทั้งยาวและพลาดง่าย ที่จริงเราไม่ต้องคูณเลย เพราะสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นคำตอบของโจทย์นับแบบเดียวกับหน้า 43.3 คือเลือกวงเล็บที่จะหยิบตัวไหน

สัมประสิทธิ์มาจากการเลือกวงเล็บ

เขียน $(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$ เวลากระจาย เราหยิบ $a$ หรือ $b$ จากแต่ละวงเล็บมาคูณกัน หนึ่งวงเล็บหนึ่งตัว ทุกวิธีหยิบให้ผลคูณหนึ่งพจน์ ตามหลักการคูณจึงมีผลคูณย่อย $2^3=8$ พจน์ คือ

$aaa,\ aab,\ aba,\ abb,\ baa,\ bab,\ bba,\ bbb$

ผลคูณที่ได้ $a^2b$ คือแบบที่หยิบ $b$ จากหนึ่งวงเล็บและหยิบ $a$ จากอีกสองวงเล็บ จำนวนแบบเท่ากับจำนวนวิธีเลือก $1$ วงเล็บจาก $3$ วงเล็บให้เป็นวงเล็บที่หยิบ $b$ คือ $\binom{3}{1}=3$ พจน์ $a^2b$ จึงมีสัมประสิทธิ์ $3$ เหตุผลเดียวกันให้ $ab^2$ มีสัมประสิทธิ์ $\binom{3}{2}=3$ จึงได้

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

พจน์ที่มี $b^r$ เป็นพจน์ลำดับที่ $r+1$ เพราะพจน์แรกคือ $r=0$ จึงเขียนพจน์ทั่วไปว่า

$T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r,\qquad r=0,1,\ldots,n$

สังเกตสามอย่างจากสูตร ผลการกระจายมี $n+1$ พจน์ เลขชี้กำลังของ $a$ ลดทีละหนึ่งขณะที่ของ $b$ เพิ่มทีละหนึ่ง โดยผลบวกของเลขชี้กำลังในทุกพจน์เท่ากับ $n$ และสัมประสิทธิ์อ่านจากหน้าไปหลังกับจากหลังมาหน้าได้เท่ากัน เพราะ $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$

สามเหลี่ยมปาสคาล

ถ้าเขียนสัมประสิทธิ์ของ $(a+b)^n$ เป็นแถว เริ่มจาก $n=0$ แล้วจัดให้อยู่กึ่งกลาง จะได้รูปสามเหลี่ยมที่เรียกว่าสามเหลี่ยมปาสคาล

ทุกแถวขึ้นต้นและลงท้ายด้วย $1$ และเลขข้างในแต่ละตัวเท่ากับผลบวกของสองตัวที่อยู่เหนือมันพอดี เช่น $4+6=10$ เขียนเป็นสูตรได้ว่า $\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}$ เหตุผลมาจากการนับ ให้เลือกคณะ $r$ คนจาก $n$ คน และมองคนหนึ่งชื่อเอ คณะที่มีเอต้องเลือกอีก $r-1$ คนจาก $n-1$ คน คณะที่ไม่มีเอต้องเลือกครบ $r$ คนจาก $n-1$ คน สองกรณีไม่ทับกันและครอบคลุมทุกคณะ จึงบวกกันได้ตามหลักการบวก

สามเหลี่ยมปาสคาลสะดวกเมื่อ $n$ เล็ก เขียนต่อเองได้ในไม่กี่วินาที ถ้า $n$ ใหญ่หรือต้องการแค่พจน์เดียว ใช้พจน์ทั่วไปจะเร็วกว่า

หาพจน์ที่ต้องการจากพจน์ทั่วไป

ก่อนหาพจน์ที่ต้องการต้องดูเลขชี้กำลังของตัวแปร ไม่ถือว่าเลขลำดับพจน์เท่ากับเลขชี้กำลังโดยอัตโนมัติ ขั้นตอนที่ใช้ได้ทุกข้อคือ เขียน $T_{r+1}$ ให้ $x$ รวมเป็นกำลังเดียว แล้วตั้งสมการให้เลขชี้กำลังเท่ากับที่โจทย์ต้องการ ค่า $r$ ที่ได้ต้องเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ $0$ ถึง $n$ ถ้าไม่ใช่ แปลว่าไม่มีพจน์นั้น

ผลบวกของสัมประสิทธิ์

ถ้า $p(x)$ เป็นพหุนาม แทน $x=1$ แล้วทุกพจน์เหลือแค่สัมประสิทธิ์ ผลบวกของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดจึงเท่ากับ $p(1)$ วิธีนี้ไม่ต้องกระจายเลย ตัวอย่างที่ 1 ก็ใช้ข้อนี้ตรวจคำตอบไปแล้ว

แทน $a=b=1$ ในทฤษฎีบททวินาม จะได้ผลที่น่าสนใจ

$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}=(1+1)^n=2^n$

ด้านซ้ายคือจำนวนวิธีเลือกของจาก $n$ ชิ้น โดยเลือกกี่ชิ้นก็ได้ตั้งแต่ไม่เลือกเลยจนถึงเลือกทั้งหมด ด้านขวาตรงกับการนับด้วยหลักการคูณ คือของแต่ละชิ้นมีสองทาง เลือกหรือไม่เลือก

ประมาณค่าด้วยพจน์แรกๆ

เมื่อ $b$ เป็นจำนวนเล็กมาก กำลังสูงของ $b$ ยิ่งเล็กลงไปอีก พจน์แรกๆ ของทวินามจึงให้ค่าประมาณที่ดีโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

สรุป

• ทวินามนับการเลือกจากแต่ละวงเล็บ สัมประสิทธิ์ของ $a^{n-r}b^r$ คือ $\binom{n}{r}$
• พจน์ทั่วไป $T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$ พจน์แรกคือ $r=0$
• สามเหลี่ยมปาสคาลสร้างจาก $\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}$
• หาพจน์ที่ต้องการโดยรวมกำลังของ $x$ แล้วตั้งสมการหา $r$ ใส่เครื่องหมายลบไว้กับ $b$
• ผลบวกสัมประสิทธิ์ของ $p(x)$ คือ $p(1)$ และ $\binom{n}{0}+\cdots+\binom{n}{n}=2^n$

การนับทั้งหมดในบทนี้เป็นเครื่องมือหลักของบทที่ 44 เรื่องความน่าจะเป็น ซึ่งต้องนับทั้งจำนวนผลลัพธ์ที่สนใจและจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดให้ถูกก่อนจะหารกัน