28.4 เส้นสัมผัสวงกลม

วางไม้บรรทัดให้แตะขอบเหรียญพอดีโดยไม่ตัดผ่านเหรียญ จะมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว เมื่อเลื่อนไม้ผ่านเข้าไปจะตัดวงกลมสองจุด ความต่างนี้ทำให้แนวที่สัมผัสพอดีมีสมบัติพิเศษ

รัศมีตั้งฉากที่จุดสัมผัส

นิยาม

เส้นสัมผัสวงกลมคือเส้นตรงที่มีจุดร่วมกับวงกลมเพียงจุดเดียว เรียกจุดนั้นว่าจุดสัมผัส

สมบัติ

เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส และเส้นที่ผ่านจุดบนวงกลมแล้วตั้งฉากกับรัศมีที่จุดนั้นเป็นเส้นสัมผัส

ระยะตั้งฉากจากศูนย์กลางถึงเส้นสัมผัสเท่ากับรัศมี จุดอื่นบนเส้นอยู่ไกลกว่ารัศมี จึงไม่อยู่บนวงกลม ตรงนี้อธิบายได้ว่าทำไมต้องตั้งฉากที่จุดสัมผัส ไม่ใช่ที่จุดอื่น

ลาก P แล้วเทียบความยาว PA กับ PB รวมทั้งมุมฉากที่จุดสัมผัส

ตัวอย่าง 1

วงกลมศูนย์กลาง O รัศมี 8 ให้ OP ยาว 17 และ PT สัมผัสวงกลมที่ T หา PT

OT ตั้งฉาก PT จึงให้ OP เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
$PT^2=17^2-8^2=225$
ได้ $PT=15$ หน่วย ไม่ใช้ $17-8$ เพราะสองช่วงไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

เส้นสัมผัสจากจุดภายนอกเดียวกัน

จาก P ลากเส้นสัมผัส PA และ PB ได้สองแนว ลาก OA OB และ OP จะได้สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป มีด้านฉาก OP ร่วมกันและ OA=OB จึงเท่ากันทุกประการ ส่งผลให้ PA=PB และ OP แบ่งมุม APB ครึ่งหนึ่ง

ตัวอย่าง 2

PA และ PB สัมผัสวงกลมเดียวกัน ถ้า $PA=3x+1$ และ $PB=5x-7$ หา x และความยาวเส้นสัมผัสแต่ละเส้น

เส้นสัมผัสจาก P เดียวกันยาวเท่ากัน ได้ $3x+1=5x-7$
จัดรูปได้ $2x=8$ จึง $x=4$
แทนกลับได้ PA=PB=13 ตรวจทั้งสองค่าบวกและเท่ากัน

มุมระหว่างคอร์ดกับเส้นสัมผัส

มุมระหว่างเส้นสัมผัสที่ A กับคอร์ด AB เท่ากับมุมที่จุดบนวงกลมซึ่งรองรับคอร์ด AB ในส่วนโค้งตรงข้ามกับมุมระหว่างคอร์ดกับเส้นสัมผัสนั้น ต้องระบุด้านของมุมให้ชัด เพราะอีกมุมที่อยู่ติดกันรวมเป็น 180 องศา

ตัวอย่าง 3

เส้นสัมผัสที่ A มีรังสี AT และคอร์ด AB ทำมุม BAT เท่ากับ $52^\circ$ ให้ C อยู่บนส่วนโค้งฝั่งตรงข้ามกับมุม BAT หา ACB

AB คือคอร์ดที่เป็นแขนหนึ่งของมุมกับเส้นสัมผัส
C อยู่บนส่วนโค้งตรงข้ามตามเงื่อนไข จึงใช้สมบัติมุมระหว่างคอร์ดกับเส้นสัมผัสได้
มุม ACB เท่ากับ $52^\circ$ ส่วนมุมที่ติดกับ BAT บนเส้นตรงเป็น $128^\circ$

ลองคิดก่อน

จากจุด P และ Q คนละจุดนอกวงกลม ลากเส้นสัมผัส PA กับ QB แล้วบอกว่ายาวเท่ากันได้ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ได้ สมบัติใช้กับเส้นสัมผัสที่เริ่มจากจุดภายนอกเดียวกัน ถ้า P กับ Q อยู่ห่างศูนย์กลางต่างกัน ความยาวเส้นสัมผัสก็ต่างกัน ต้องเขียนเงื่อนไขว่าเริ่มจาก P จุดเดียวกันก่อนใช้ PA=PB

สรุป

รัศมีกับเส้นสัมผัสตั้งฉากกันที่จุดสัมผัส
เส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดภายนอกเดียวกันยาวเท่ากัน
มุมระหว่างคอร์ดกับเส้นสัมผัสเท่ามุมในส่วนโค้งตรงข้าม ต้องเลือกด้านให้ถูก