descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 11 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริงตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 1 บทที่ 2

11.5 รากที่สาม

กล่องรูปลูกบาศก์ใบหนึ่งจุได้ 6464 ลูกบาศก์เซนติเมตร กล่องยาวด้านละกี่เซนติเมตร ถ้าด้านยาว ss ปริมาตรคือ s×s×s=s3s \times s \times s = s^3 จึงต้องหา ss ที่ s3=64s^3 = 64 คำตอบคือ 44 เพราะ 4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64

หน้าที่แล้วย้อนกลับการยกกำลังสอง หน้านี้ย้อนกลับการยกกำลังสาม

รากที่สามคืออะไร

นิยาม

ให้ aa เป็นจำนวนจริง รากที่สามของ aa คือจำนวนจริงที่ยกกำลังสามแล้วได้ aa เขียนแทนด้วย a3\sqrt[3]{a}

รากที่สามต่างจากรากที่สองสองข้อ

  • จำนวนลบมีรากที่สาม เพราะลบคูณกันสามตัวได้ลบ (−2)3=(−2)(−2)(−2)=−8(-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8 จึงได้ −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2
  • รากที่สามมีค่าเดียวเสมอ 23=82^3 = 8 แต่ (−2)3=−8(-2)^3 = -8 ไม่ใช่ 88 รากที่สามของ 88 จึงมีแค่ 22 ไม่มี ±\pm แบบรากที่สอง

จำนวนที่เป็นกำลังสามของจำนวนเต็มเรียกว่าจำนวนกำลังสามสมบูรณ์ ควรจำสิบตัวแรกไว้

nn12345678910
n3n^31827641252163435127291000

ตัวอย่าง 1

หาค่าของ 1253\sqrt[3]{125} −273\sqrt[3]{-27} 0.0013\sqrt[3]{0.001} 8273\sqrt[3]{\tfrac{8}{27}} และ −641253\sqrt[3]{-\tfrac{64}{125}}

  1. 53=1255^3 = 125 จึงได้ 1253=5\sqrt[3]{125} = 5
  2. (−3)3=−27(-3)^3 = -27 จึงได้ −273=−3\sqrt[3]{-27} = -3
  3. 0.13=0.1×0.1×0.1=0.0010.1^3 = 0.1 \times 0.1 \times 0.1 = 0.001 จึงได้ 0.0013=0.1\sqrt[3]{0.001} = 0.1
  4. (23)3=827\left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = \tfrac{8}{27} จึงได้ 8273=23\sqrt[3]{\tfrac{8}{27}} = \tfrac{2}{3}
  5. (−45)3=−64125\left(-\tfrac{4}{5}\right)^3 = -\tfrac{64}{125} จึงได้ −641253=−45\sqrt[3]{-\tfrac{64}{125}} = -\tfrac{4}{5}

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่ารากที่สามของ 6464 มีสองค่า คือ 44 กับ −4-4 เหมือนรากที่สองของ 1616 ที่มี 44 กับ −4-4 ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ตรวจด้วยการยกกำลังสามกลับ (−4)3=(−4)(−4)(−4)=16×(−4)=−64(-4)^3 = (-4)(-4)(-4) = 16 \times (-4) = -64 ไม่ใช่ 6464 รากที่สองมีสองค่าเพราะลบคูณลบสองครั้งได้บวก แต่ยกกำลังสามมีลบสามตัว ผลยังเป็นลบ รากที่สามของ 6464 จึงมี 44 ค่าเดียว ส่วน −4-4 เป็นรากที่สามของ −64-64

หาค่าด้วยการแยกตัวประกอบ

รากที่สองจับตัวประกอบเป็นคู่ รากที่สามก็ทำคล้ายกัน แต่จับเป็นกลุ่มละสามตัวที่เหมือนกัน แล้วแบ่งเป็นสามชุดเท่าๆ กัน

ตัวอย่าง 2

หาค่าของ 17283\sqrt[3]{1728} และ −27443\sqrt[3]{-2744}

  1. 1728=2×2×2×2×2×2×3×3×31728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 มี 22 หกตัว และ 33 สามตัว
  2. แบ่งเป็นสามชุดที่เหมือนกัน ชุดละ 2×2×3=122 \times 2 \times 3 = 12 ได้ 1728=12×12×12=1231728 = 12 \times 12 \times 12 = 12^3 จึงได้ 17283=12\sqrt[3]{1728} = 12
  3. จำนวนลบ ให้หารากที่สามของ 27442744 ก่อน 2744=2×2×2×7×7×7=(2×7)3=1432744 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7 = (2 \times 7)^3 = 14^3
  4. (−14)3=−2744(-14)^3 = -2744 จึงได้ −27443=−14\sqrt[3]{-2744} = -14

ลองคิดก่อน

0.83\sqrt[3]{0.8} เท่ากับ 0.20.2 ใช่ไหม เพราะ 83=2\sqrt[3]{8} = 2

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ 0.23=0.0080.2^3 = 0.008 ยกกำลังสามแล้วตำแหน่งทศนิยมเพิ่มเป็นสามเท่า 0.0083=0.2\sqrt[3]{0.008} = 0.2 จึงถูก แต่ 0.8=80010000.8 = \tfrac{800}{1000} และ 800800 ไม่ใช่จำนวนกำลังสามสมบูรณ์ 0.83\sqrt[3]{0.8} จึงไม่ใช่ทศนิยมรู้จบ มีค่าประมาณ 0.930.93 ซึ่งใกล้ 11 มากกว่า 0.20.2 เยอะ

ประมาณค่ารากที่สาม

รากที่สามของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนกำลังสามสมบูรณ์เป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น 23\sqrt[3]{2} 503\sqrt[3]{50} ประมาณค่าได้แบบเดียวกับรากที่สอง คือหาจำนวนกำลังสามสมบูรณ์ที่อยู่ติดกันมาประกบ ต่างกันตรงที่รากที่สามใช้กับจำนวนลบได้ด้วย

ตัวอย่าง 3

503\sqrt[3]{50} และ −1003\sqrt[3]{-100} อยู่ระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนใดที่อยู่ติดกัน

  1. 33=273^3 = 27 และ 43=644^3 = 64 ได้ 27<50<6427 < 50 < 64 จึงได้ 3<503<43 < \sqrt[3]{50} < 4
  2. 43=644^3 = 64 และ 53=1255^3 = 125 ได้ 64<100<12564 < 100 < 125 จึงได้ 4<1003<54 < \sqrt[3]{100} < 5
  3. รากที่สามของจำนวนลบคือค่าตรงข้ามของรากที่สามของจำนวนบวก −1003=−1003\sqrt[3]{-100} = -\sqrt[3]{100} ใส่ลบแล้วลำดับกลับข้าง ได้ −5<−1003<−4-5 < \sqrt[3]{-100} < -4

ใช้รากที่สามตอบโจทย์

ตัวอย่าง 4

ถังเก็บน้ำรูปลูกบาศก์จุน้ำได้ 216216 ลิตรพอดี ถังสูงกี่เซนติเมตร กำหนดให้ 11 ลิตร เท่ากับ 10001000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

  1. เปลี่ยนหน่วยก่อน 216216 ลิตร =216×1000=216000= 216 \times 1000 = 216000 ลูกบาศก์เซนติเมตร
  2. ให้ด้านยาว ss เซนติเมตร ได้ s3=216000=216×1000=63×103=603s^3 = 216000 = 216 \times 1000 = 6^3 \times 10^3 = 60^3
  3. จึงได้ s=2160003=60s = \sqrt[3]{216000} = 60 ถังสูง 6060 เซนติเมตร

ถ้าลืมเปลี่ยนหน่วย จะได้ 2163=6\sqrt[3]{216} = 6 แล้วตอบว่าถังสูง 66 เซนติเมตร ซึ่งเล็กกว่ากล่องนมหนึ่งกล่องเสียอีก ก่อนตอบให้ถามตัวเองเสมอว่าคำตอบสมเหตุสมผลไหม

สรุป

  • รากที่สามของ aa คือจำนวนที่ยกกำลังสามแล้วได้ aa เขียนว่า a3\sqrt[3]{a}
  • จำนวนจริงทุกจำนวนมีรากที่สามจำนวนเดียว จำนวนบวกได้รากเป็นบวก จำนวนลบได้รากเป็นลบ
  • จำนวนกำลังสามสมบูรณ์แยกตัวประกอบแล้วแบ่งเป็นสามชุดที่เหมือนกันได้
  • ประมาณรากที่สามด้วยจำนวนกำลังสามสมบูรณ์ที่อยู่ติดกัน เช่น 27<50<6427 < 50 < 64 ได้ 3<503<43 < \sqrt[3]{50} < 4
  • ตรวจคำตอบด้วยการยกกำลังสามกลับ และดูว่าหน่วยถูกต้องก่อนตอบ