32.4 แผนภาพเวนน์และการดำเนินการ

นักเรียนบางคนเล่นดนตรี บางคนเล่นกีฬา และบางคนทำทั้งสองอย่าง ถ้าจะหาคนที่เล่นอย่างน้อยหนึ่งอย่าง ต้องรวมกลุ่มแต่ไม่นับคนที่อยู่สองกลุ่มซ้ำ ถ้าจะหาตัวแทนที่ทำได้ทั้งสองอย่าง ต้องเลือกเฉพาะคนที่อยู่ทั้งสองกลุ่ม คำว่า หรือ และ ไม่ ในประโยคเหล่านี้คือการดำเนินการของเซต ซึ่งสร้างเซตใหม่จากเซตเดิม เหมือนการบวกลบสร้างจำนวนใหม่จากจำนวนเดิม

กำหนดขอบเขตก่อน

เอกภพสัมพัทธ์ $U$ คือเซตที่กำลังพิจารณาทั้งหมด เช่นนักเรียนห้องเดียวกัน ทุกเซตในโจทย์ต้องเป็นสับเซตของ $U$ เหตุที่ต้องประกาศ $U$ ก่อน เพราะคำว่า คนที่ไม่เล่นดนตรี จะมีความหมายก็ต่อเมื่อรู้ว่ากำลังพูดถึงคนกลุ่มไหน ถ้าไม่กำหนด อาจนับคนทั้งประเทศเข้ามาด้วย

แผนภาพเวนน์ใช้สี่เหลี่ยมแทน $U$ และวงปิดแทนเซตอื่น สองวงที่ซ้อนกันแบ่ง $U$ เป็นสี่บริเวณที่ไม่ทับกัน สมาชิกทุกตัวของ $U$ ตกอยู่ในบริเวณเดียวพอดี ตำแหน่งจุดในบริเวณเดียวกันไม่ได้บอกขนาดของจำนวน

เมื่อเทียบกับสี่บริเวณในรูป $A\cup B$ คือ ก ข ค $A\cap B$ คือ ข $A-B$ คือ ก $B-A$ คือ ค และ $A\prime$ คือ ค กับ ง การดำเนินการทุกแบบจึงเป็นแค่การเลือกว่าจะเอาบริเวณใด จำสี่บริเวณนี้ไว้ แล้วโจทย์ที่ซับซ้อนจะแยกเป็นการเลือกบริเวณได้เสมอ

คำว่า หรือ ในยูเนียนรวมกรณีทั้งสองด้วย ต่างจากภาษาพูดบางครั้ง เช่น จะดื่มชาหรือกาแฟ ซึ่งมักหมายถึงเลือกอย่างเดียว ในคณิตศาสตร์ คนที่เล่นทั้งดนตรีและกีฬาก็ผ่านเงื่อนไข เล่นดนตรีหรือกีฬา เรื่องนี้จะกลับมาอีกในบทที่ 33 ส่วนคอมพลีเมนต์เปลี่ยนเมื่อเปลี่ยน $U$ แม้ $A$ ไม่เปลี่ยน ให้เขียนหรืออ่าน $U$ ก่อนหา $A\prime$ เสมอ

ถ้า $A\cap B=\varnothing$ คือบริเวณ ข ไม่มีสมาชิกเลย เรียกว่า $A$ กับ $B$ ไม่มีส่วนร่วมกัน เช่น เซตของจำนวนคู่กับเซตของจำนวนคี่

อ่านทีละวงเล็บ

การดำเนินการหลายขั้นทำจากวงเล็บชั้นในก่อน เหมือนลำดับการคำนวณของจำนวน เช่น $(A\cup B)-C$ รวมสองเซตก่อน แล้วตัดทุกตัวที่อยู่ใน $C$ ออก ส่วน $A\cup(B-C)$ ตัด $C$ ออกจาก $B$ เท่านั้น สมาชิกของ $A$ ไม่ถูกตัด จึงอาจให้คำตอบต่างกัน

เซตที่กำหนดด้วยเงื่อนไข

เมื่อเซตเขียนแบบบอกเงื่อนไข ยูเนียนคือเชื่อมเงื่อนไขด้วยคำว่า หรือ อินเตอร์เซกชันคือเชื่อมด้วยคำว่า และ บางครั้งเงื่อนไขที่ได้รวบเป็นเงื่อนไขเดียวที่อ่านง่ายกว่าเดิม

นิเสธเงื่อนไขสองอย่าง

คำว่า ไม่อยู่ในกลุ่มใดเลย ต้องไม่อยู่ทั้งสองกลุ่มพร้อมกัน ต่างจาก ไม่ได้อยู่ทั้งสองกลุ่ม ซึ่งแค่ขาดกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งก็พอ ในรูปเวนน์ ประโยคแรกคือบริเวณ ง อย่างเดียว ส่วนประโยคหลังคือ ก ค และ ง เพราะทุกบริเวณยกเว้น ข การแปลด้วยตัวอย่างสมาชิกช่วยแยกสองประโยคนี้

อ่านเป็นภาษาไทยได้ว่า ไม่อยู่ในกลุ่มใดเลย เท่ากับ ไม่อยู่ใน $A$ และไม่อยู่ใน $B$ ส่วน ไม่ได้อยู่ทั้งสองกลุ่ม เท่ากับ ไม่อยู่ใน $A$ หรือไม่อยู่ใน $B$ สังเกตว่าเมื่อขีดคอมพลีเมนต์ข้ามวงเล็บ ยูเนียนกลายเป็นอินเตอร์เซกชัน และอินเตอร์เซกชันกลายเป็นยูเนียน

หน้าถัดไปจะไม่ถามว่าสมาชิกคือใคร แต่ถามว่ามีกี่คนในแต่ละบริเวณ ซึ่งเป็นรูปแบบโจทย์สำรวจที่พบบ่อยที่สุด

สรุป

• ประกาศ $U$ ก่อนเสมอ ทุกเซตในโจทย์เป็นสับเซตของ $U$
• สองวงแบ่ง $U$ เป็นสี่บริเวณ การดำเนินการทุกแบบคือการเลือกบริเวณ
• ยูเนียนคือ หรือ ซึ่งรวมกรณีอยู่ทั้งสองเซต อินเตอร์เซกชันคือ และ
• การลบเซตสลับที่ไม่ได้ คอมพลีเมนต์ต้องอิงเอกภพสัมพัทธ์
• ทำในวงเล็บก่อน และขีดคอมพลีเมนต์ข้ามวงเล็บด้วยกฎของเดอมอร์แกน