13.4 การแปลงหลายครั้ง

ดูลายขอบผ้าซิ่นหรือลายกระเบื้องปูพื้น จะเห็นลายเล็กๆ ลายเดียวซ้ำไปทั้งผืน บางช่วงลายถูกเลื่อนไป บางช่วงถูกพลิก บางช่วงถูกหมุน ช่างไม่ได้วาดใหม่ทุกครั้ง แต่ใช้ลายเดิมแปลงต่อกันหลายครั้ง หน้านี้ดูว่าการแปลงสองครั้งติดกันให้ผลเป็นอย่างไร และย้อนดูว่าภาพที่เห็นเกิดจากการแปลงแบบไหน

แปลงทีละครั้ง

การแปลงสองครั้งต่อกัน ให้ทำครั้งแรกจนได้ภาพ แล้วเอาภาพนั้นเป็นรูปต้นแบบของครั้งที่สอง จุด $A$ แปลงครั้งแรกได้ $A'$ แปลงครั้งที่สองได้ $A''$ อ่านว่า เอดับเบิลไพรม์

ตัวอย่าง 1

จุด $P(3, 2)$ สะท้อนข้ามแกน $y$ แล้วเลื่อนขนานไปทางขวา $4$ หน่วย ได้ภาพที่ใด ถ้าสลับลำดับเป็นเลื่อนขนานก่อนแล้วค่อยสะท้อน จะได้ที่เดิมไหม

สะท้อนข้ามแกน $y$ ก่อน $P(3, 2) \to P'(-3, 2)$
แล้วเลื่อนไปทางขวา $4$ $P'(-3, 2) \to P''(-3 + 4, 2) = P''(1, 2)$
สลับลำดับ เลื่อนก่อน $P(3, 2) \to (7, 2)$ แล้วสะท้อนข้ามแกน $y$ ได้ $(-7, 2)$
ได้คนละจุด ลำดับของการแปลงจึงสำคัญ ต้องทำตามลำดับที่โจทย์บอก

ลองคิดก่อน

ถ้าเปลี่ยนเป็นสะท้อนข้ามแกน $x$ แล้วเลื่อนขนานไปทางขวา $4$ หน่วย การสลับลำดับจะให้คำตอบต่างกันเหมือนตัวอย่างที่แล้วไหม ลองกับจุด $P(3, 2)$

ดูคำตอบ

ไม่ต่าง สะท้อนก่อนได้ $(3, -2)$ แล้วเลื่อนได้ $(7, -2)$ เลื่อนก่อนได้ $(7, 2)$ แล้วสะท้อนได้ $(7, -2)$ เหมือนกัน เพราะการสะท้อนข้ามแกน $x$ เปลี่ยนแต่พิกัด $y$ ส่วนการเลื่อนไปทางขวาเปลี่ยนแต่พิกัด $x$ สองอย่างไม่ไปยุ่งกัน แต่กรณีแบบนี้เป็นข้อยกเว้น ถ้าไม่แน่ใจให้ทำตามลำดับที่โจทย์บอกเสมอ

สะท้อนสองครั้ง

กราฟข้างล่างสะท้อนสามเหลี่ยม $ABC$ ข้ามเส้นที่ 1 ได้ภาพเส้นประ $A'B'C'$ แล้วสะท้อนภาพนั้นข้ามเส้นที่ 2 ได้ $A''B''C''$ สีส้ม ลองเลื่อนเส้นทั้งสอง แล้วดูว่า $A''B''C''$ เกี่ยวกับ $ABC$ อย่างไร

เส้นที่ 1 คือ $x = p$ เส้นที่ 2 คือ $x = q$ หรือ $y = q$ เมื่อติ๊กช่องแนวนอน

ภาพสุดท้ายไม่กลับด้าน เพราะพลิกสองครั้งก็กลับมาหันทางเดิม เมื่อสองเส้นขนานกัน ภาพสุดท้ายดูเหมือนแค่เลื่อน $ABC$ ไปตรงๆ ใช้กฎของการสะท้อนจากหน้า 13.2 ตรวจได้ สะท้อนข้าม $x = p$ ได้ $x' = 2p - x$ แล้วสะท้อนข้าม $x = q$ ได้

x'' = 2q - (2p - x) = x + 2(q - p)

ส่วนพิกัด $y$ ไม่เปลี่ยนเลย ผลรวมจึงเป็นการเลื่อนขนานไปทางขวา $2(q - p)$ หน่วย

สมบัติ

สะท้อนข้ามเส้นสองเส้นที่ขนานกันและห่างกัน $d$ หน่วย ได้ผลเท่ากับการเลื่อนขนาน $2d$ หน่วย ในทิศที่ตั้งฉากกับเส้น จากเส้นแรกไปหาเส้นที่สอง
สะท้อนข้ามเส้นสองเส้นที่ตั้งฉากกัน ได้ผลเท่ากับการหมุน $180^\circ$ รอบจุดตัดของสองเส้น

ตัวอย่าง 2

สามเหลี่ยม $ABC$ มีจุดยอด $A(-7, 1)$ $B(-4, 1)$ และ $C(-6, 4)$ สะท้อนข้ามเส้น $x = -2$ แล้วสะท้อนข้ามเส้น $x = 1$ จงหาพิกัดของภาพสุดท้าย

ครั้งแรก $x' = 2(-2) - x = -4 - x$ ได้ $A'(3, 1)$ $B'(0, 1)$ $C'(2, 4)$
ครั้งที่สอง $x'' = 2(1) - x' = 2 - x'$ ได้ $A''(-1, 1)$ $B''(2, 1)$ $C''(0, 4)$
ตรวจด้วยสมบัติ สองเส้นห่างกัน $1 - (-2) = 3$ หน่วย ภาพสุดท้ายต้องเลื่อนไปทางขวา $2 \times 3 = 6$ หน่วย ซึ่ง $A(-7, 1)$ เลื่อนไปทางขวา $6$ ได้ $(-1, 1)$ ตรงกัน

ลองคิดก่อน

ถ้าสลับลำดับในตัวอย่าง 2 เป็นสะท้อนข้าม $x = 1$ ก่อน แล้วค่อยสะท้อนข้าม $x = -2$ ภาพสุดท้ายจะอยู่ที่เดิมไหม

ดูคำตอบ

ไม่อยู่ที่เดิม ทิศของการเลื่อนคือจากเส้นแรกไปหาเส้นที่สอง ตอนนี้เส้นแรกคือ $x = 1$ เส้นที่สองคือ $x = -2$ ซึ่งอยู่ทางซ้าย ภาพสุดท้ายจึงเลื่อนไปทางซ้าย $6$ หน่วย เช่น $A(-7, 1)$ ไปอยู่ที่ $(-13, 1)$ ใช้สูตร $2(q - p) = 2(-2 - 1) = -6$ ก็ได้ผลเดียวกัน

ตัวอย่าง 3

จุด $P(3, 2)$ สะท้อนข้ามแกน $x$ แล้วสะท้อนข้ามแกน $y$ ได้ภาพที่ใด ผลรวมเท่ากับการแปลงครั้งเดียวแบบใด

ข้ามแกน $x$ ได้ $P'(3, -2)$ แล้วข้ามแกน $y$ ได้ $P''(-3, -2)$
ทั้งสองพิกัดเปลี่ยนเครื่องหมาย ตรงกับกฎ $(x, y) \to (-x, -y)$ ของการหมุน $180^\circ$ รอบจุดกำเนิด
ตรงกับสมบัติ แกน $x$ กับแกน $y$ ตั้งฉากกันและตัดกันที่จุดกำเนิด

ภาพนี้มาจากการแปลงแบบไหน

ถ้าเห็นรูปต้นแบบกับภาพ แล้วอยากรู้ว่าเกิดจากการแปลงครั้งเดียวแบบใด ให้ถามตามลำดับนี้

ภาพกลับด้านไหม ไล่จุดยอดตามลำดับแล้วดูทิศการวน ถ้าทิศการวนเปลี่ยน คือการสะท้อน
ด้านที่คู่กันหันไปทางเดียวกันไหม เช่น $AB$ ชี้ไปทางขวา $A'B'$ ก็ชี้ไปทางขวาด้วยความยาวเท่ากัน ถ้าเป็นแบบนี้ทุกด้าน คือการเลื่อนขนาน
ถ้าไม่กลับด้าน แต่ด้านหันไปทางอื่น คือการหมุน แล้วจึงหาจุดหมุนกับมุม

ตัวอย่าง 4

สามเหลี่ยม $ABC$ มีจุดยอด $A(1, 1)$ $B(3, 1)$ และ $C(1, 2)$ ภาพต่อไปนี้แต่ละภาพเกิดจากการแปลงครั้งเดียวแบบใด

(1) $A'(1, -1)$ $B'(3, -1)$ $C'(1, -2)$ (2) $A'(-1, -1)$ $B'(-3, -1)$ $C'(-1, -2)$ (3) $A'(4, 3)$ $B'(6, 3)$ $C'(4, 4)$

ภาพ (1) พิกัด $x$ เท่าเดิมทุกจุด พิกัด $y$ เปลี่ยนเครื่องหมายทุกจุด ตรงกับกฎ $(x, -y)$ คือสะท้อนข้ามแกน $x$ ตรวจทิศการวน $ABC$ วนทวนเข็มนาฬิกา แต่ $A'B'C'$ วนตามเข็มนาฬิกา กลับด้านจริง
ภาพ (2) ทั้งสองพิกัดเปลี่ยนเครื่องหมายทุกจุด ตรงกับกฎ $(-x, -y)$ คือหมุน $180^\circ$ รอบจุดกำเนิด สังเกตว่า $AB$ ชี้ไปทางขวา แต่ $A'B'$ ชี้ไปทางซ้าย จึงไม่ใช่การเลื่อนขนาน
ภาพ (3) ทุกจุดมีพิกัด $x$ เพิ่ม $3$ และพิกัด $y$ เพิ่ม $2$ เท่ากันหมด คือเลื่อนขนานไปทางขวา $3$ หน่วยและขึ้น $2$ หน่วย

ดูจุดเดียวไม่พอ

ในตัวอย่าง 4 ถ้าดูแค่จุด $A(1, 1)$ กับ $A'(-1, -1)$ ของภาพ (2) จะบอกไม่ได้ว่าเป็นการหมุน $180^\circ$ หรือการเลื่อนขนานไปทางซ้าย $2$ และลง $2$ เพราะทั้งสองแบบพา $A$ ไปที่เดียวกัน ต้องตรวจจุดอื่นด้วย การเลื่อนแบบนั้นพา $B(3, 1)$ ไปที่ $(1, -1)$ ไม่ใช่ $(-3, -1)$

ตัวอย่าง 5

ลายกังหันบนกระเบื้องแผ่นหนึ่งสร้างจากใบพัดเล็กๆ ใบเดียว ปลายใบพัดอยู่ที่จุด $(2, 1)$ เมื่อวางจุดกึ่งกลางกระเบื้องไว้ที่จุดกำเนิด ช่างหมุนใบพัดรอบจุดกำเนิดทวนเข็มนาฬิกาครั้งละ $90^\circ$ สามครั้ง ปลายใบพัดของใบใหม่ทั้งสามอยู่ที่ใด

หมุนครั้งแรกใช้ $(x, y) \to (-y, x)$ ได้ $(2, 1) \to (-1, 2)$
หมุนครั้งที่สอง เอาภาพเมื่อกี้มาหมุนต่อ $(-1, 2) \to (-2, -1)$ เท่ากับหมุนจุดเดิม $180^\circ$ พอดี
หมุนครั้งที่สาม $(-2, -1) \to (1, -2)$ ปลายใบพัดทั้งสี่อยู่ที่ $(2, 1)$ $(-1, 2)$ $(-2, -1)$ และ $(1, -2)$ ครบสี่จตุภาค
ถ้าหมุนอีกครั้ง $(1, -2) \to (2, 1)$ กลับมาที่เดิม เพราะ $4 \times 90^\circ = 360^\circ$ ครบหนึ่งรอบ

สรุป

แปลงหลายครั้ง ให้ใช้ภาพของครั้งก่อนเป็นรูปต้นแบบของครั้งถัดไป และทำตามลำดับที่โจทย์บอก เพราะสลับลำดับแล้วมักได้ภาพต่างกัน
สะท้อนข้ามเส้นขนานสองเส้นที่ห่างกัน $d$ ได้การเลื่อนขนาน $2d$ จากเส้นแรกไปเส้นที่สอง
สะท้อนข้ามเส้นตั้งฉากสองเส้นได้การหมุน $180^\circ$ รอบจุดตัด
ดูว่าภาพกลับด้านไหมก่อน แล้วดูทิศของด้าน จะบอกได้ว่าเป็นการสะท้อน การเลื่อนขนาน หรือการหมุน และต้องตรวจมากกว่าหนึ่งจุด