13.1 การเลื่อนขนาน

ยืนบนบันไดเลื่อนในห้าง ขั้นบันไดพาเราขึ้นไปชั้นบนโดยเราไม่ต้องขยับ หัว ไหล่ และเท้า เคลื่อนไปทางเดียวกันและไกลเท่ากันหมด ตัวเราไม่หมุน ไม่พลิก แค่ย้ายที่ การย้ายแบบนี้คือการเลื่อนขนาน ซึ่งเป็นการแปลงแบบแรกของบทนี้

การแปลงคืออะไร

การแปลงทางเรขาคณิตคือการย้ายทุกจุดของรูปไปอยู่ที่ใหม่ตามกฎที่ตกลงกันไว้ รูปเดิมเรียกว่ารูปต้นแบบ รูปที่ได้เรียกว่าภาพ ถ้าจุดบนรูปต้นแบบชื่อ $A$ ภาพของมันเขียนว่า $A'$ อ่านว่า เอไพรม์

บทนี้เรียนการแปลงสามแบบ คือ การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน ทั้งสามแบบมีสิ่งหนึ่งเหมือนกัน คือภาพมีขนาดและรูปร่างเหมือนรูปต้นแบบทุกอย่าง ตัดภาพออกมายกไปวางทับรูปต้นแบบได้สนิท

การเลื่อนขนานคืออะไร

นิยาม

การเลื่อนขนานคือการแปลงที่ทุกจุดของรูปต้นแบบเลื่อนไปในทิศทางเดียวกัน และเป็นระยะทางเท่ากัน

ทิศทางและระยะทางของการเลื่อน นิยมบอกด้วยลูกศรหนึ่งเส้น หัวลูกศรชี้ทิศทาง ความยาวของลูกศรคือระยะที่เลื่อน

บนกระดาษตาราง บอกการเลื่อนขนานได้ง่ายกว่านั้นอีก คือบอกว่าเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวากี่ช่อง และขึ้นหรือลงกี่ช่อง เช่น เลื่อนไปทางขวา 6 ช่องและลง 3 ช่อง

เลื่อนขนานบนระนาบพิกัด

เลื่อนจุดไปทางขวา 6 หน่วย พิกัด $x$ เพิ่มขึ้น 6 ส่วนพิกัด $y$ เท่าเดิม เลื่อนลง 3 หน่วย พิกัด $y$ ลดลง 3 ส่วนพิกัด $x$ เท่าเดิม สองอย่างนี้ทำพร้อมกันได้โดยไม่กวนกัน

สมบัติ

ถ้าเลื่อนขนานไปทางขวา $a$ หน่วย และขึ้น $b$ หน่วย จุด $(x, y)$ จะมีภาพเป็น

(x, y) \to (x + a,\ y + b)

ถ้าเลื่อนไปทางซ้าย ให้ $a$ เป็นจำนวนลบ ถ้าเลื่อนลง ให้ $b$ เป็นจำนวนลบ

ตัวอย่าง 1

สามเหลี่ยม $ABC$ มีจุดยอด $A(-6, 1)$ $B(-3, 1)$ และ $C(-5, 4)$ เลื่อนขนานไปทางขวา $6$ หน่วย และลง $3$ หน่วย จงหาพิกัดของจุดยอดของภาพ

ไปทางขวา $6$ คือ $a = 6$ ลง $3$ คือ $b = -3$ กฎคือ $(x, y) \to (x + 6,\ y - 3)$
$A(-6, 1) \to A'(-6 + 6,\ 1 - 3) = A'(0, -2)$
$B(-3, 1) \to B'(3, -2)$ และ $C(-5, 4) \to C'(1, 1)$
ตรวจด้วยการนับช่อง $AB$ ยาว $3$ หน่วยตามแนวนอน $A'B'$ ก็ยาว $3$ หน่วยตามแนวนอนเหมือนกัน รูปไม่ยืดไม่หด

สามเหลี่ยมในตัวอย่างนี้อยู่ในกราฟข้างล่างแล้ว ลองลากจุดยอด $A$ $B$ $C$ ไปที่อื่น หรือเลื่อนแถบ $a$ กับ $b$ แล้วสังเกตลูกศรสามเส้นที่เชื่อมจุดกับภาพของมัน

ลากจุดยอดของสามเหลี่ยมสีดำ ภาพสีส้มขยับตาม ค่า $a$ ติดลบคือเลื่อนไปทางซ้าย ค่า $b$ ติดลบคือเลื่อนลง

ซ้ายขวาเปลี่ยน x ขึ้นลงเปลี่ยน y

ข้อผิดพลาดที่เจอบ่อยคือเลื่อนจุด $(2, 5)$ ลง $3$ หน่วย แล้วตอบ $(-1, 5)$ เพราะไปลบ $3$ ออกจากพิกัดแรก การขึ้นลงเกี่ยวกับความสูง ซึ่งคือพิกัด $y$ คำตอบที่ถูกคือ $(2, 2)$

สมบัติของการเลื่อนขนาน

ลองลากจุดยอดในกราฟข้างบนไปหลายๆ แบบ จะเห็นว่ามีบางอย่างไม่เคยเปลี่ยน

สมบัติ

เมื่อเลื่อนขนานรูปใดๆ

ภาพมีขนาดและรูปร่างเหมือนรูปต้นแบบ ยกไปวางทับกันได้สนิท
ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกับภาพของมัน เช่น $AA'$ $BB'$ $CC'$ ยาวเท่ากันทุกเส้นและขนานกัน
ด้านของภาพขนานกับด้านที่คู่กันของรูปต้นแบบ เช่น $A'B'$ ขนานกับ $AB$
รูปไม่พลิกและไม่หมุน ถ้าไล่จาก $A$ ไป $B$ ไป $C$ แล้ววนตามเข็มนาฬิกา การไล่ $A'$ ไป $B'$ ไป $C'$ ก็วนตามเข็มนาฬิกาเหมือนกัน

ลองคิดก่อน

เลื่อนขนานจุด $P$ ไปทางขวา $3$ หน่วย แล้วขึ้น $4$ หน่วย เพื่อนบอกว่าจุด $P$ เคลื่อนที่ไปได้ระยะทาง $3 + 4 = 7$ หน่วย เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก $7$ หน่วยคือระยะที่เดินตามเส้นตาราง แต่ระยะระหว่าง $P$ กับ $P'$ คือความยาวของเส้นตรงที่เชื่อมสองจุด ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว $3$ กับ $4$ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสในบทที่ 10 ได้ $PP' = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ หน่วย

ย้อนกลับจากภาพไปหารูปต้นแบบ

ถ้ารู้ภาพแล้วอยากรู้ว่ารูปต้นแบบอยู่ที่ไหน ให้เลื่อนกลับทางตรงข้าม ระยะเท่าเดิม

ตัวอย่าง 2

จุด $P'(3, -2)$ เป็นภาพของจุด $P$ จากการเลื่อนขนานไปทางซ้าย $4$ หน่วย และขึ้น $5$ หน่วย จงหาพิกัดของจุด $P$

$P$ ถูกเลื่อนไปทางซ้าย $4$ และขึ้น $5$ จึงกลายเป็น $P'$ ถ้าจะกลับไปหา $P$ ต้องเลื่อน $P'$ ไปทางขวา $4$ และลง $5$
$P = (3 + 4,\ -2 - 5) = (7, -7)$
ตรวจ เลื่อน $(7, -7)$ ไปทางซ้าย $4$ และขึ้น $5$ ได้ $(7 - 4,\ -7 + 5) = (3, -2)$ ตรงกับ $P'$

หาการเลื่อนจากจุดคู่หนึ่ง

การเลื่อนขนานพาทุกจุดไปทางเดียวกันและไกลเท่ากัน รู้จุดหนึ่งกับภาพของมันเพียงคู่เดียว ก็รู้การเลื่อนทั้งหมดแล้ว

ตัวอย่าง 3

การเลื่อนขนานครั้งหนึ่งพาจุด $A(-2, 3)$ ไปที่ $A'(4, 1)$ จุด $B(0, -1)$ จะไปอยู่ที่ใด

พิกัด $x$ เปลี่ยนจาก $-2$ เป็น $4$ เพิ่มขึ้น $4 - (-2) = 6$ คือเลื่อนไปทางขวา $6$ หน่วย
พิกัด $y$ เปลี่ยนจาก $3$ เป็น $1$ ลดลง $2$ คือเลื่อนลง $2$ หน่วย
กฎคือ $(x, y) \to (x + 6,\ y - 2)$ จึงได้ $B'(0 + 6,\ -1 - 2) = B'(6, -3)$

ตัวอย่าง 4

เกมบนมือถือเกมหนึ่งวางตัวละครไว้บนตาราง กดปุ่มลูกศรหนึ่งครั้ง ตัวละครเดินไปหนึ่งช่องตามทิศของลูกศร ตอนนี้ตัวละครอยู่ที่ $(-3, -2)$ ถ้ากดขวา $5$ ครั้ง ขึ้น $4$ ครั้ง แล้วซ้าย $2$ ครั้ง ตัวละครจะไปอยู่ที่ใด

การกดแต่ละครั้งเป็นการเลื่อนขนานหนึ่งช่อง กดหลายครั้งรวมกันได้เป็นการเลื่อนขนานครั้งเดียว
แนวนอน ขวา $5$ ซ้าย $2$ รวมเป็นขวา $5 - 2 = 3$ ช่อง แนวตั้ง ขึ้น $4$ ช่อง
ตัวละครไปอยู่ที่ $(-3 + 3,\ -2 + 4) = (0, 2)$

สรุป

การเลื่อนขนานพาทุกจุดไปในทิศทางเดียวกันและเป็นระยะทางเท่ากัน
เลื่อนไปทางขวา $a$ และขึ้น $b$ ได้ $(x, y) \to (x + a, y + b)$ ทางซ้ายหรือลงใช้ค่าลบ
ภาพเท่ากับรูปต้นแบบทุกอย่าง ไม่พลิก ไม่หมุน และเส้นที่เชื่อมจุดกับภาพยาวเท่ากันและขนานกัน
ย้อนหารูปต้นแบบ ให้เลื่อนภาพกลับทางตรงข้ามระยะเท่าเดิม