8.3 ความสัมพันธ์เชิงเส้น

ร้านรับส่งพัสดุคิดค่าบริการครั้งละ 30 บาท บวกอีกกิโลเมตรละ 8 บาท ส่งไกล 1 กิโลเมตรจ่าย 38 บาท ไกล 2 กิโลเมตรจ่าย 46 บาท ทุกกิโลเมตรที่เพิ่มขึ้น ค่าส่งเพิ่มขึ้น 8 บาทเท่าเดิมเสมอ ความสัมพันธ์ที่เพิ่มหรือลดทีละเท่าๆ กันแบบนี้ เมื่อเขียนกราฟจะได้เส้นตรงทุกครั้ง

ความสัมพันธ์เชิงเส้นคืออะไร

นิยาม

ความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ กับ $y$ ที่เขียนได้ในรูป

y = ax + b

เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงเส้น เพราะเมื่อ $x$ เป็นจำนวนใดก็ได้ กราฟของมันเป็นเส้นตรง

ค่าส่งพัสดุเขียนได้ว่า $y = 8x + 30$ เมื่อ $x$ เป็นระยะทางเป็นกิโลเมตร และ $y$ เป็นค่าส่งเป็นบาท จึงมี $a = 8$ และ $b = 30$ ความสัมพันธ์ทั้งสามในหน้า 8.2 ก็เขียนในรูปนี้ได้ ส่วนเรื่องที่ $x$ เป็นได้แค่จำนวนนับ เช่นจำนวนไม้ลูกชิ้น กราฟจะเป็นจุดที่เรียงอยู่บนเส้นตรงนั้น

ความสัมพันธ์	$a$	$b$
ราคาลูกชิ้น $y = 5x$	$5$	$0$
ความสูงเทียน $y = 20 - 4x$	$-4$	$20$
เงินในกระปุก $y = 50x + 200$	$50$	$200$

ระวังความสัมพันธ์ของเทียน $y = 20 - 4x$ ต้องเรียงใหม่เป็น $y = -4x + 20$ ก่อนอ่าน $a$ จึงได้ $a = -4$ ไม่ใช่ $4$

เขียนกราฟของ y = ax + b

ตัวอย่าง 1

เขียนกราฟของ $y = 2x - 1$

เลือกค่า $x$ ที่คำนวณง่าย เช่น $-2$ ถึง $2$ แล้วแทนค่า เช่น $x = -2$ ได้ $y = 2(-2) - 1 = -5$
ตาราง

$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$
$y$ $-5$ $-3$ $-1$ $1$ $3$
จุด $(-2, -5)$ $(-1, -3)$ $(0, -1)$ $(1, 1)$ $(2, 3)$ บนระนาบ
ลากเส้นตรงผ่านทุกจุด และลากเลยออกไปทั้งสองข้าง เพราะ $x$ เป็นจำนวนใดก็ได้ ไม่ได้มีแค่ห้าค่าในตาราง

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

สองจุดพอ สามจุดปลอดภัย

เส้นตรงหนึ่งเส้นกำหนดได้ด้วยจุดสองจุด แต่ควรหาจุดที่สามไว้ตรวจ ถ้าสามจุดไม่อยู่ในแนวเดียวกัน แปลว่าคำนวณผิดสักจุด

จุดอยู่บนกราฟหรือไม่

จุด $(p, q)$ อยู่บนกราฟของ $y = ax + b$ ก็ต่อเมื่อแทน $x = p$ แล้วได้ $y = q$ พอดี ไม่ต้องวาดกราฟเลย

ตัวอย่าง 2

จุด $(2, -2)$ และ $(-1, 1)$ อยู่บนกราฟของ $y = -3x + 4$ หรือไม่

จุด $(2, -2)$ แทน $x = 2$ ได้ $y = -3(2) + 4 = -2$ ตรงกับพิกัด $y$ ของจุด จึงอยู่บนกราฟ
จุด $(-1, 1)$ แทน $x = -1$ ได้ $y = -3(-1) + 4 = 7$ ซึ่งไม่เท่ากับ $1$ จึงไม่อยู่บนกราฟ

ลองคิดก่อน

เพื่อนตรวจว่าจุด $(-2, 10)$ อยู่บนกราฟของ $y = -3x + 4$ หรือไม่ คิดได้ $-3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2$ จึงตอบว่าไม่อยู่ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก $-3 \times (-2)$ คือลบคูณลบ ได้ $6$ ไม่ใช่ $-6$ ที่ถูกคือ $-3(-2) + 4 = 6 + 4 = 10$ ตรงกับพิกัด $y$ จุดนี้จึงอยู่บนกราฟ เวลาแทนค่าติดลบให้ใส่วงเล็บทุกครั้ง แล้วคูณเครื่องหมายก่อนบวก

ค่า a และค่า b บอกอะไร

เลื่อนแถบ $a$ และ $b$ ทีละตัว เส้นประสีเขียวแสดงว่าเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $1$ ค่า $y$ เปลี่ยนไปเท่าไร ก่อนเลื่อน ลองเดาว่าถ้า $a$ ติดลบเส้นจะเอียงไปทางไหน

ลองตั้ง $a = 0$ แล้วดูว่าเส้นเป็นอย่างไร

สมบัติ

กราฟของ $y = ax + b$ เป็นเส้นตรงเสมอ และ

ตัดแกน $y$ ที่จุด $(0, b)$ เพราะแทน $x = 0$ ได้ $y = b$
เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $1$ ค่า $y$ เปลี่ยนไป $a$ เท่ากันทุกช่วง
ถ้า $a > 0$ เส้นเอียงขึ้นไปทางขวา ถ้า $a < 0$ เส้นเอียงลงไปทางขวา ถ้า $a = 0$ เส้นขนานกับแกน $x$
ยิ่ง $|a|$ มาก เส้นยิ่งชัน

ข้อที่สองคือเหตุผลที่กราฟเป็นเส้นตรง จุดถัดไปขยับขึ้นหรือลงเท่าเดิมทุกครั้ง แนวของจุดจึงไม่หักเลี้ยว ค่า $a$ นี้ในบทเรียนชั้นสูงขึ้นไปจะเรียกว่าความชันของเส้นตรง

เขียนความสัมพันธ์จากตาราง

ถ้าตารางมีค่า $x$ เพิ่มทีละ $1$ และค่า $y$ เพิ่มหรือลดทีละเท่ากัน ความสัมพันธ์นั้นเป็นเชิงเส้น หา $a$ จากการเปลี่ยนของ $y$ และหา $b$ จากค่า $y$ เมื่อ $x = 0$

ตัวอย่าง 3

เขียนความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ กับ $y$ จากตาราง

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$7$	$4$	$1$	$-2$

$x$ เพิ่มทีละ $1$ ค่า $y$ ลดลงทีละ $3$ เท่ากันทุกช่วง จึงเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น และ $a = -3$
เมื่อ $x = 0$ ได้ $y = 7$ จึงได้ $b = 7$
ความสัมพันธ์คือ $y = -3x + 7$
ตรวจกับช่องที่เหลือ $x = 3$ ได้ $y = -3(3) + 7 = -2$ ตรงกับตาราง

ลองคิดก่อน

ตารางของ $y = x^2$ คือ $x = 0, 1, 2, 3$ ได้ $y = 0, 1, 4, 9$ ความสัมพันธ์นี้เป็นเชิงเส้นไหม

ดูคำตอบ

ไม่เป็น $y$ เพิ่มขึ้นทีละ $1$ แล้ว $3$ แล้ว $5$ ไม่เท่ากันทุกช่วง จุดจึงไม่อยู่ในแนวเส้นตรง แต่โค้งขึ้นเรื่อยๆ ดูแค่ว่า $y$ เพิ่มขึ้นเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้นจึงไม่พอ ต้องเพิ่มขึ้นเท่ากันทุกช่วงด้วย

เขียนความสัมพันธ์จากสถานการณ์

ตัวอย่าง 4

ค่าส่งพัสดุคิดครั้งละ 30 บาท บวกกิโลเมตรละ 8 บาท เขียนความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางกับค่าส่ง และหาค่าส่งเมื่อส่งไกล 6 กิโลเมตร

ให้ $x$ แทนระยะทางเป็นกิโลเมตร และ $y$ แทนค่าส่งเป็นบาท
ค่าที่จ่ายแน่ๆ ทุกครั้งคือ $30$ บาท เป็นค่า $b$ ส่วนที่เพิ่มตามระยะทางคือกิโลเมตรละ $8$ บาท เป็นค่า $a$ ได้ $y = 8x + 30$
ส่งไกล $6$ กิโลเมตร ได้ $y = 8(6) + 30 = 78$ บาท

จุดตัดแกน

จุดที่กราฟตัดแกน $y$ หาได้จากการแทน $x = 0$ ส่วนจุดที่กราฟตัดแกน $x$ คือจุดที่ $y = 0$ ต้องแก้สมการหา $x$ จุดตัดแกนทั้งสองเป็นสองจุดที่หาง่ายที่สุดสำหรับวาดกราฟ

ตัวอย่าง 5

หาจุดตัดแกน $x$ และแกน $y$ ของกราฟ $y = -2x + 6$ แล้ววาดกราฟ

ตัดแกน $y$ แทน $x = 0$ ได้ $y = 6$ คือจุด $(0, 6)$
ตัดแกน $x$ ให้ $y = 0$ ได้ $0 = -2x + 6$ บวก $2x$ ทั้งสองข้างได้ $2x = 6$ จึงได้ $x = 3$ คือจุด $(3, 0)$
หาจุดที่สามไว้ตรวจ แทน $x = 1$ ได้ $y = 4$ คือ $(1, 4)$
ลากเส้นตรงผ่าน $(0, 6)$ $(1, 4)$ และ $(3, 0)$ เส้นเอียงลงไปทางขวาเพราะ $a = -2$ ติดลบ

เส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้ง

$y = 3$ คือ $y = 0x + 3$ มี $a = 0$ ทุกจุดมีพิกัด $y$ เป็น $3$ กราฟเป็นเส้นแนวนอนผ่าน $(0, 3)$
$x = -2$ หมายถึงทุกจุดมีพิกัด $x$ เป็น $-2$ เช่น $(-2, 0)$ $(-2, 5)$ กราฟเป็นเส้นแนวตั้งผ่าน $(-2, 0)$ เขียนในรูป $y = ax + b$ ไม่ได้ แต่กราฟก็เป็นเส้นตรงเหมือนกัน

สรุป

ความสัมพันธ์เชิงเส้นเขียนได้ในรูป $y = ax + b$ และกราฟเป็นเส้นตรง
วาดกราฟจากจุดอย่างน้อยสองจุด ใช้จุดที่สามตรวจ แล้วลากเลยออกไปทั้งสองข้าง
ตรวจว่าจุดอยู่บนกราฟ ให้แทนพิกัด $x$ แล้วดูว่าได้พิกัด $y$ ตรงกันไหม
$b$ คือจุดตัดแกน $y$ ส่วน $a$ คือค่าที่ $y$ เปลี่ยนไปเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $1$
จากตาราง ถ้า $y$ เปลี่ยนเท่ากันทุกช่วงจึงเป็นเชิงเส้น
จุดตัดแกน $x$ หาจากการให้ $y = 0$