49.2 ค่ากลางของข้อมูล

เพื่อนห้าคนจ่ายค่าอาหารใกล้กันแต่มีคนหนึ่งซื้อเลี้ยงทั้งกลุ่ม ค่าเฉลี่ยอาจสูงกว่าค่าใช้จ่ายของคนส่วนใหญ่ มัธยฐานจึงตอบภาพคนทั่วไปได้ต่างออกไป

ค่ากลางทั้งสามชนิดเรียนมาแล้วในบทที่ 16 หน้านี้ทบทวนสั้นๆ แล้วไปต่อในสองเรื่องที่ ม.ต้น ยังไม่ได้ทำ คือการรวมค่าเฉลี่ยของหลายกลุ่มให้ถูก และการหาค่ากลางเมื่อมีแค่ตารางแจกแจงความถี่ เหมือนตารางเวลาเดินทางของนักเรียน $40$ คนในหน้า 49.1 ที่ไม่มีค่ารายคนเหลืออยู่แล้ว

ค่ากลางแต่ละชนิดตอบอะไร

นิยาม

ค่าเฉลี่ยคือ $\bar x=\sum x_i/n$ มัธยฐานคือค่ากึ่งกลางหลังเรียงข้อมูล ถ้าจำนวนเป็นคู่ให้เฉลี่ยสองค่ากลาง ฐานนิยมคือค่าที่มีความถี่สูงสุดและอาจมีหลายค่าหรือไม่มีค่าที่เด่นกว่า

ค่าเฉลี่ยใช้ข้อมูลทุกตัวและไวต่อค่าสุดโต่ง มัธยฐานทนต่อค่าสุดโต่งกว่า ฐานนิยมใช้กับข้อมูลคุณภาพได้ด้วย ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคือ $\sum w_ix_i/\sum w_i$ โดยน้ำหนักต้องสะท้อนความหมายจริง เช่นจำนวนคน ไม่เฉลี่ยค่าเฉลี่ยสองกลุ่มตรงๆ เมื่อขนาดต่างกัน

ตัวอย่าง 1

ค่าอาหาร $40,45,45,50,220$ บาท หาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม

ผลรวม $400$ หารห้าได้ค่าเฉลี่ย $80$ บาท
ค่ากลางคือ $45$ และค่าที่ซ้ำมากสุดคือ $45$ ดังนั้นมัธยฐานกับฐานนิยมเท่ากัน
ค่าเฉลี่ย $80$ บาทสูงกว่าที่สี่ในห้าคนจ่ายจริง เพราะ $220$ คนเดียวดึงผลรวมขึ้นไป ถ้าจะบอกว่าคนทั่วไปในกลุ่มจ่ายราวเท่าไร มัธยฐาน $45$ บาทตรงกว่า

ตัวอย่าง 2

ห้อง ก $20$ คน เฉลี่ย $60$ คะแนน ห้อง ข $30$ คน เฉลี่ย $70$ คะแนน ค่าเฉลี่ยรวมเท่าไร

ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารจำนวนคน จึงย้อนหาผลรวมได้จากค่าเฉลี่ยคูณจำนวนคน ห้อง ก มีคะแนนรวม $20(60)=1200$ ห้อง ข มี $30(70)=2100$
คะแนนรวมสองห้อง $1200+2100=3300$
หารจำนวนคน $50$ ได้ $66$ คะแนน ไม่ใช่ $65$ ที่ได้จากการเฉลี่ย $60$ กับ $70$ ตรงๆ เพราะห้อง ข มีคนมากกว่า จึงดึงค่าเฉลี่ยรวมเข้าหา $70$ มากกว่า

ลองคิดก่อน

ข้อมูลเรียง $2,4,8,10$ มีมัธยฐานเป็นค่าตัวที่สองคือ $4$ หรือไม่

ดูคำตอบ

มีจำนวนคู่จึงต้องเฉลี่ยตัวที่สองกับสาม ได้ $6$ มัธยฐานไม่จำเป็นต้องเป็นค่าหนึ่งที่ปรากฏจริง

ค่าสุดโต่งดึงค่าเฉลี่ยแต่ไม่ดึงมัธยฐาน

ค่าสุดท้ายอยู่ขวาของข้อมูลอีกสี่ค่าเสมอ จึงไม่เปลี่ยนตำแหน่งมัธยฐาน

เพิ่มค่าสุดท้ายทีละห้าแล้วดูค่าเฉลี่ยเพิ่มทีละหนึ่ง มัธยฐานยังเป็นสี่ เพราะค่าตัวที่สามหลังเรียงไม่เปลี่ยน การทดลองนี้แยกผลของขนาดข้อมูลกับผลของลำดับได้

ผลนี้เชื่อมกับความเบ้ในหน้า 49.1 ข้อมูลเบ้ขวามีค่าใหญ่ไม่กี่ค่าอยู่ในหาง ค่าเหล่านี้ดึงค่าเฉลี่ยไปทางขวาแต่แทบไม่ขยับมัธยฐาน ข้อมูลเบ้ขวาจึงมักมีค่าเฉลี่ยมากกว่ามัธยฐาน ส่วนข้อมูลเบ้ซ้ายมักกลับกัน รายงานรายได้ครัวเรือนหรือราคาบ้านจึงนิยมใช้มัธยฐาน เพราะคนรวยมากไม่กี่คนทำให้ค่าเฉลี่ยสูงกว่าที่คนส่วนใหญ่มีจริง

ผลรวมระยะจากค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเป็นจุดสมดุลในความหมายว่าผลรวมระยะมีเครื่องหมายจากข้อมูลถึงค่าเฉลี่ยเท่ากับศูนย์ ข้อมูลเหนือค่าเฉลี่ยชดเชยข้อมูลใต้ค่าเฉลี่ยพอดี สมบัตินี้ช่วยหาเลขที่หายไปจากค่าเฉลี่ยได้ แต่ไม่แปลว่าทุกคนมีค่าตรงกลางเท่ากัน และไม่รับรองว่าค่าเฉลี่ยเป็นค่าที่พบจริง

ตัวอย่าง 3

ข้อมูลห้าค่ามีค่าเฉลี่ย $12$ สี่ค่าที่ทราบคือ $8,10,14,16$ ค่าที่เหลือเป็นเท่าไร

ผลรวมข้อมูลทั้งหมดต้องเป็น $5(12)=60$
สี่ค่ารวม $48$ จึงเหลือ $60-48=12$
ตรวจระยะจากค่าเฉลี่ย $-4,-2,2,4,0$ รวมศูนย์

ตรวจวิธีคิด

ถ้ารู้เพียงมัธยฐานจะย้อนหาผลรวมแบบนี้ไม่ได้ เพราะมัธยฐานไม่ได้กำหนดขนาดทุกตัว การเลือกใช้สมบัติจึงต้องดูชนิดค่ากลางที่โจทย์ให้ ไม่สลับสูตรกัน

สมบัติผลรวมระยะเป็นศูนย์จะสำคัญอีกครั้งในหน้า 49.3 เพราะเป็นเหตุผลที่การวัดการกระจายต้องยกกำลังสอง

ค่าเฉลี่ยจากตารางแจกแจงความถี่

เมื่อเหลือแค่ตาราง เราไม่รู้ว่าเวลาจริงของหกคนในช่วง $0\le x<10$ เป็นเท่าไร จึงสมมติให้ทุกคนในช่วงมีค่าเท่ากับจุดกึ่งกลางชั้น $x_i$ แล้วคิดเหมือนข้อมูลที่ซ้ำกัน $f_i$ ตัว

ค่าเฉลี่ยของข้อมูลจัดกลุ่ม

$\bar x \approx \frac{\sum f_i x_i}{N}$ เมื่อ $x_i$ เป็นจุดกึ่งกลางของช่วงที่ $i$ $f_i$ เป็นความถี่ของช่วงนั้น และ $N=\sum f_i$

ผลที่ได้เป็นค่าประมาณ ถ้าในแต่ละช่วงมีคนอยู่ทั้งต่ำกว่าและสูงกว่าจุดกึ่งกลางพอๆ กัน ความคลาดเคลื่อนจะหักล้างกันจนค่าประมาณใกล้ค่าจริงมาก

ตัวอย่าง 4

ใช้ตารางเวลาเดินทางของนักเรียน $40$ คนจากหน้า 49.1 ประมาณค่าเฉลี่ยของเวลาเดินทาง

หาจุดกึ่งกลางของแต่ละช่วงจากขอบล่างบวกขอบบนหารสอง เช่น $\tfrac{0+10}{2}=5$ ได้ $5,15,25,35,45,55$
คูณความถี่กับจุดกึ่งกลางทีละช่วง เพื่อแทนผลรวมเวลาของคนในช่วงนั้น ได้ $6(5)=30$ $11(15)=165$ $12(25)=300$ $7(35)=245$ $3(45)=135$ $1(55)=55$
บวกทั้งหมด $\sum f_ix_i=930$ นาที นี่คือผลรวมเวลาเดินทางโดยประมาณของทั้ง $40$ คน
หารด้วย $N=40$ ได้ $\bar x\approx 23.25$ นาที
ตรวจความสมเหตุสมผล ค่าเฉลี่ยอยู่ในช่วง $20\le x<30$ ซึ่งเป็นช่วงที่มีคนมากที่สุด และไม่ใช่ $30$ ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของจุดกึ่งกลางทั้งหกโดยไม่ถ่วงความถี่

มัธยฐานจากตารางแจกแจงความถี่

มัธยฐานคือค่าที่แบ่งข้อมูลเป็นสองซีกเท่ากัน ข้อมูลจัดกลุ่มมองเป็นปริมาณต่อเนื่อง จึงใช้ตำแหน่ง $\tfrac{N}{2}$ คือจุดที่พื้นที่ฮิสโทแกรมแบ่งครึ่งพอดี ไม่ใช่ $\tfrac{N+1}{2}$ แบบข้อมูลดิบ ขั้นแรกใช้ความถี่สะสมหาว่าตำแหน่งนี้ตกอยู่ช่วงไหน ขั้นที่สองสมมติว่าคนในช่วงนั้นกระจายเท่าๆ กันตลอดช่วง แล้วเดินเข้าไปในช่วงตามสัดส่วน

มัธยฐานของข้อมูลจัดกลุ่ม

$\text{Me} \approx L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F}{f}\right) I$ เมื่อ $L$ เป็นขอบล่างของช่วงที่มีมัธยฐาน $F$ เป็นความถี่สะสมของช่วงก่อนหน้า $f$ เป็นความถี่ของช่วงที่มีมัธยฐาน และ $I$ เป็นความกว้างของช่วง

ตัวอย่าง 5

ใช้ตารางเดียวกัน ประมาณมัธยฐานของเวลาเดินทาง แล้วเทียบกับค่าเฉลี่ย

ตำแหน่งมัธยฐานคือ $\tfrac{N}{2}=\tfrac{40}{2}=20$ หมายถึงต้องนับคนไปจนครบ $20$ คน
ความถี่สะสมจากหน้า 49.1 คือ $6,17,29,\ldots$ สองช่วงแรกมี $17$ คนยังไม่ถึง $20$ แต่ถึงช่วง $20\le x<30$ แล้วได้ $29$ ซึ่งเกิน $20$ มัธยฐานจึงอยู่ในช่วงนี้ ได้ $L=20$ $F=17$ $f=12$ $I=10$
ยังขาดอีก $20-17=3$ คน จาก $12$ คนในช่วง คิดเป็น $\tfrac{3}{12}$ ของช่วง ถ้าทั้ง $12$ คนเรียงเท่าๆ กันตลอด $10$ นาที ต้องเดินเข้าไป $\tfrac{3}{12}\times 10=2.5$ นาที
มัธยฐาน $\approx 20+2.5=22.5$ นาที
ค่าเฉลี่ย $23.25$ มากกว่ามัธยฐาน $22.5$ เล็กน้อย ตรงกับที่ฮิสโทแกรมในหน้า 49.1 เบ้ขวา นักเรียนไม่กี่คนที่บ้านไกลดึงค่าเฉลี่ยขึ้นไป

ส่วนฐานนิยมของข้อมูลจัดกลุ่ม ตอบเป็นชั้นฐานนิยม คือช่วงที่มีความถี่สูงสุด ในตารางนี้คือ $20\le x<30$ นาที ซึ่งมี $12$ คน ถ้าความกว้างช่วงไม่เท่ากันให้ดูความหนาแน่นแทนความถี่ ตามเหตุผลเดียวกับความสูงของแท่งในหน้า 49.1

ลองคิดก่อน

เพื่อนหาว่ามัธยฐานอยู่ช่วง $20\le x<30$ แล้วตอบว่ามัธยฐานคือ $25$ นาทีซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของช่วง ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

จุดกึ่งกลางเป็นค่ามัธยฐานได้ก็ต่อเมื่อคนที่ $20$ อยู่กลางช่วงพอดี แต่ก่อนถึงช่วงนี้มีแล้ว $17$ คน ขาดอีกแค่ $3$ คนจาก $12$ คน คนที่ $20$ จึงอยู่ค่อนไปทางต้นช่วง ประมาณหนึ่งในสี่ของช่วง ได้ $22.5$ นาที การใช้จุดกึ่งกลางทิ้งข้อมูลว่ามีคนสะสมมาก่อนเท่าไร

ค่ากลางบอกว่าข้อมูลอยู่ตรงไหน แต่สองห้องที่ค่าเฉลี่ยเท่ากันอาจมีคะแนนต่างกันมาก หน้า 49.3 จะวัดว่าข้อมูลกระจายออกจากค่ากลางมากน้อยเพียงใด

สรุป

มัธยฐานต้องเรียงข้อมูลก่อน
เลือกค่ากลางตามคำถามและรูปร่างข้อมูล ข้อมูลเบ้ขวามักมีค่าเฉลี่ยมากกว่ามัธยฐาน
ค่าเฉลี่ยรวมต้องถ่วงด้วยขนาดกลุ่ม
ข้อมูลจัดกลุ่ม ค่าเฉลี่ยประมาณด้วย $\sum f_ix_i/N$ จากจุดกึ่งกลางชั้น
มัธยฐานของข้อมูลจัดกลุ่มใช้ตำแหน่ง $N/2$ แล้วแทรกค่าภายในช่วงตามสัดส่วน